類型一、利用被開方數(shù)的非負(fù)性化簡二次根式
例．等式成立的條件是（ ）
A．B．C．或D．
【變式訓(xùn)練1】已知，為實(shí)數(shù)，且，則________．
【變式訓(xùn)練2】已知a，b，c是的三邊長，且滿足關(guān)系的形狀是_______．
【變式訓(xùn)練3】若，則x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練4】已知a、b、c為一個(gè)等腰三角形的三條邊長，并且a、b滿足，求此等腰三角形周長．
類型二、利用數(shù)軸化簡二次根式
例．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡的結(jié)果是是（ ）
A．B． C．D．
【變式訓(xùn)練1】已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡＝_____
【變式訓(xùn)練2】實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練3】已知實(shí)數(shù)、、表示在數(shù)軸上如圖所示，化簡．
【變式訓(xùn)練4】如圖，a，b，c是數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)A、B、C所對應(yīng)的實(shí)數(shù)．試化簡：．
類型三、利用字母的取值范圍化簡二次根式
例1．已知，化簡：，__________．
例2.的三邊長分別為1、k、3，則化簡_____．
【變式訓(xùn)練1】已知，化簡二次根式的正確結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練2】若，則_______；
【變式訓(xùn)練3】化簡：_______．
【變式訓(xùn)練4】已知 .
(1)求a的值；
(2)若a 、b分別為一直角三角形的斜邊長和一直角邊長，求另一條直角邊的長度.
類型四、雙重二次根式的化簡
例.閱讀下列材料，然后回答問題．
在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會碰上如一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：
以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．
（1）化簡；
（2）化簡；
【變式訓(xùn)練1】閱讀理解
“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點(diǎn)的無理數(shù)，如：對于
設(shè)，
易知
故，由
解得，即．
根據(jù)以上方法，化簡
【變式訓(xùn)練2】先閱讀材料，然后回答問題．
（1）小張同學(xué)在研究二次根式的化簡時(shí)，遇到了一個(gè)問題：化簡．
經(jīng)過思考，小張解決這個(gè)問題的過程如下：
①
②
③
④
在上述化簡過程中，第 步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，化簡的正確結(jié)果為 ；
（2）請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡 ①． ②．
【變式訓(xùn)練3】先閱讀下列解答過程，然后再解答：小芳同學(xué)在研究化簡中發(fā)現(xiàn)：首先把化為﹐由于，，即：， ，所以，
問題：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：形如的化簡，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化簡：（請寫出化簡過程）
【變式訓(xùn)練4】閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：
設(shè)（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；
（3）化簡：．
課后作業(yè)
1．已知等腰三角形的兩邊長滿足，那么這個(gè)等腰三角形的周長為（ ）
A．8B．10C．8或10D．9
2．化簡二次根式的正確結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
3．已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的化簡結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
4．若，則的平方根是______．
5．設(shè)，是整數(shù)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根是，則___________．
6．已知、為實(shí)數(shù)，，則的值等于______．
7．已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且，化簡
8．閱讀：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，有：．根據(jù)這一性質(zhì)，我們可以將一些“雙重二次根式”去掉一層根號，達(dá)到化簡效果．
如：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)化簡．
解：設(shè)（，為非負(fù)有理數(shù)），則．
∴
由①得，，代入②得：，解得，
∴，
∴
請根據(jù)以上閱讀理解，解決下列問題：
(1)請直接寫出的化簡結(jié)果是__________；
(2)化簡；
(3)判斷能否按照上面的方法化簡，如果能化簡，請寫出化簡后的結(jié)果，如果不能，請說明理由．
9．在二次根式的計(jì)算和比較大小中，有時(shí)候用“平方法”會取得很好的效果，例如，比較a＝2和b＝3的大小，我們可以把a(bǔ)和b分別平方，∵a2＝12，b2＝18，則a2＜b2，∴a＜b．
請利用“平方法”解決下面問題：
(1)比較c＝4，d＝2大小，c d（填寫＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝，n＝之間的大小，并證明．
(3)化簡：＝ （直接寫出答案）．
10．（1）已知、為實(shí)數(shù)，且，求、的值．
（2）已知實(shí)數(shù)滿足，求的值．
專題01 二次根式化簡的四種題型全攻略
類型一、利用被開方數(shù)的非負(fù)性化簡二次根式
例．等式成立的條件是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【詳解】解：根據(jù)題意，可得，
解不等式組，得 ，
所以，等式成立的條件是．
故選：A．
【變式訓(xùn)練1】已知，為實(shí)數(shù)，且，則________．
【答案】
【詳解】依題意可得m-2≥0且2-m≥0，∴m=2，∴n-3=0
∴n=3，∴=
故答案為：．
【變式訓(xùn)練2】已知a，b，c是的三邊長，且滿足關(guān)系的形狀是_______．
【答案】等腰直角三角形
【詳解】解：，
，，
，且，
為等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形．
【變式訓(xùn)練3】若，則x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：，
可得，
解得：，
故選：B．
【變式訓(xùn)練4】已知a、b、c為一個(gè)等腰三角形的三條邊長，并且a、b滿足，求此等腰三角形周長．
【答案】17
【詳解】解：由題意得：，解得：a=3，則b=7，
若c=a=3時(shí)，3+3＜7，不能構(gòu)成三角形．
若c=b=7，此時(shí)周長為17．
類型二、利用數(shù)軸化簡二次根式
例．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡的結(jié)果是是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【詳解】解：由數(shù)軸知：，
∴，
∴原式＝
＝
＝．故選：A．
【變式訓(xùn)練1】已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡＝_____
【答案】
【詳解】解：由數(shù)軸可知：，
∴，
∴
，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練2】實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：a＜0＜b，∴a-b＜0，
則原式=|a|+|a-b|=-a+b-a= -2a+b．
故選：A．
【變式訓(xùn)練3】已知實(shí)數(shù)、、表示在數(shù)軸上如圖所示，化簡．
【答案】
【詳解】由題意可知：，，，且，
∴，，
∴原式
【變式訓(xùn)練4】如圖，a，b，c是數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)A、B、C所對應(yīng)的實(shí)數(shù)．試化簡：．
【答案】
【詳解】解：由圖可知：，，，，
∴，，
∴
．
類型三、利用字母的取值范圍化簡二次根式
例1．已知，化簡：，__________．
【答案】##
【詳解】解：，
，，
，
故答案為：．
例2.的三邊長分別為1、k、3，則化簡_____．
【答案】1
【詳解】解：∵的三邊長分別為1、k、3，
∴，
∴，，
∴


．故答案為：1．
【變式訓(xùn)練1】已知，化簡二次根式的正確結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：，
，所以a和b同號，，
，故選：D．
【變式訓(xùn)練2】若，則_______；
【答案】2
【詳解】解：∵，
∴，
故答案為：2．
【變式訓(xùn)練3】化簡：_______．
【答案】0
【解析】由題意可知：3-x≥0，∴====0
故答案為：0．
【變式訓(xùn)練4】已知 .
(1)求a的值；
(2)若a 、b分別為一直角三角形的斜邊長和一直角邊長，求另一條直角邊的長度.
【答案】(1)；(2)
【詳解】（1）解：，
，，；
（2）解：，，，解得，
、b分別為一直角三角形的斜邊長和一直角邊長，
另一條直角邊的長度為：．
類型四、雙重二次根式的化簡
例.閱讀下列材料，然后回答問題．
在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會碰上如一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：
以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．
（1）化簡；
（2）化簡；
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）；
（2）．
【變式訓(xùn)練1】閱讀理解
“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點(diǎn)的無理數(shù)，如：對于
設(shè)，
易知
故，由
解得，即．
根據(jù)以上方法，化簡
【答案】
【詳解】解：設(shè)，易知，∴
∴，∴，∴
∵ ，∴原式
【變式訓(xùn)練2】先閱讀材料，然后回答問題．
（1）小張同學(xué)在研究二次根式的化簡時(shí)，遇到了一個(gè)問題：化簡．
經(jīng)過思考，小張解決這個(gè)問題的過程如下：
①
②
③
④
在上述化簡過程中，第 步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，化簡的正確結(jié)果為 ；
（2）請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡 ①． ②．
【答案】（1）④；；（2）①；②
【詳解】解：（1）第④步出現(xiàn)了錯(cuò)誤；
=
=．
（2）①
=
=
=．
②==
．
【變式訓(xùn)練3】先閱讀下列解答過程，然后再解答：小芳同學(xué)在研究化簡中發(fā)現(xiàn)：首先把化為﹐由于，，即：， ，所以，
問題：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：形如的化簡，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化簡：（請寫出化簡過程）
【答案】（1），；（2）；（3）
【詳解】解：（1）；
；
（2）；
（3）==．
【變式訓(xùn)練4】閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：
設(shè)（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；
（3）化簡：．
【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）﹣1．
【詳解】解：（1）∵，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案為：m2+6n2，2mn；
（2）∵，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均為正整數(shù)，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）∵，
則．
課后作業(yè)
1．已知等腰三角形的兩邊長滿足，那么這個(gè)等腰三角形的周長為（ ）
A．8B．10C．8或10D．9
【答案】B
【詳解】解：∵
∴，，解得，
當(dāng)腰長為2，底邊為4時(shí)，∵，不滿足三角形三邊條件，不符合題意；
當(dāng)腰長為4，底邊為2時(shí)，∵，，滿足三角形三邊條件，
此時(shí)等腰三角形的周長為．
故選：B
2．化簡二次根式的正確結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：由題意得，，
，故選：A．
3．已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的化簡結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：根據(jù)a、b、c在數(shù)軸上的位置可知，，，
∴，，
∴
．
故選：C．
4．若，則的平方根是______．
【答案】
【詳解】解：，，，
，，
，，
，
的平方根，
故答案為：．
5．設(shè)，是整數(shù)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根是，則___________．
【答案】1
【詳解】∵，
∴把代入方程有，
整理得，
∵，是整數(shù)，
∴，
解得，
∴．
故答案為：1
6．已知、為實(shí)數(shù)，，則的值等于______．
【答案】16
【詳解】解：∵，
∴，即：，
∴，
∴；
故答案為：．
7．已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且，化簡
【答案】．
【詳解】解：由題意可得，，
又∵，
∴，，
∴
，
，
．
8．閱讀：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，有：．根據(jù)這一性質(zhì)，我們可以將一些“雙重二次根式”去掉一層根號，達(dá)到化簡效果．
如：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)化簡．
解：設(shè)（，為非負(fù)有理數(shù)），則．
∴
由①得，，代入②得：，解得，
∴，
∴
請根據(jù)以上閱讀理解，解決下列問題：
(1)請直接寫出的化簡結(jié)果是__________；
(2)化簡；
(3)判斷能否按照上面的方法化簡，如果能化簡，請寫出化簡后的結(jié)果，如果不能，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由見解析
【詳解】（1）解：
＝
＝
＝
＝．
故答案為：；
（2）設(shè)（，為非負(fù)有理數(shù)），則，
∴，
由①得，，代入②得：，
解得，，
∴，，
∴，
∴；
（3）不能，理由如下：
設(shè)（，為非負(fù)有理數(shù)），則，
∴，
由①得，，代入②得：，
即：，
，
∴關(guān)于的一元二次方程無解，
∴不能按照上面的方法化簡．
9．在二次根式的計(jì)算和比較大小中，有時(shí)候用“平方法”會取得很好的效果，例如，比較a＝2和b＝3的大小，我們可以把a(bǔ)和b分別平方，∵a2＝12，b2＝18，則a2＜b2，∴a＜b．
請利用“平方法”解決下面問題：
(1)比較c＝4，d＝2大小，c d（填寫＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝，n＝之間的大小，并證明．
(3)化簡：＝ （直接寫出答案）．
【答案】(1)c>d
(2)md2，
∴c>d；
故答案為：>．
（2）解：猜想：m

相關(guān)試卷

人教版八年級數(shù)學(xué)下冊常考點(diǎn)微專題提分精練專題01含字母的二次根式的化簡(原卷版+解析)：

這是一份人教版八年級數(shù)學(xué)下冊?？键c(diǎn)微專題提分精練專題01含字母的二次根式的化簡(原卷版+解析)，共16頁。試卷主要包含了根據(jù)化簡結(jié)果求字母范圍，符號帶坑化簡等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教版七年級數(shù)學(xué)上冊專題01絕對值化簡的四種考法(原卷版+解析)：

這是一份人教版七年級數(shù)學(xué)上冊專題01絕對值化簡的四種考法(原卷版+解析)，共24頁。

人教版八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期題型模型培優(yōu)專題練專題02化簡含字母的二次根式的化簡-原卷版+解析：

這是一份人教版八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期題型模型培優(yōu)專題練專題02化簡含字母的二次根式的化簡-原卷版+解析，共14頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

人教版八年級數(shù)學(xué)下冊 專題03勾股定理應(yīng)用的四種考法全攻略(原卷版+解析)

人教版八年級數(shù)學(xué)下冊 專題03勾股定理應(yīng)用的四種考法全攻略(原卷版+解析)
人教版八年級數(shù)學(xué)下冊 專題2 二次根式化簡求值技巧（原卷版+解析）

人教版八年級數(shù)學(xué)下冊 專題2 二次根式化簡求值技巧（原卷版+解析）
初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊16.1 二次根式復(fù)習(xí)練習(xí)題

初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊16.1 二次根式復(fù)習(xí)練習(xí)題
2023年初中數(shù)學(xué)8年級下冊同步壓軸題 專題01 二次根式化簡的四種題型全攻略（學(xué)生版+解析版）

2023年初中數(shù)學(xué)8年級下冊同步壓軸題 專題01 二次根式化簡的四種題型全攻略（學(xué)生版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部