類型一、分母有理化問題
例．已知，則的值為___________．
【變式訓(xùn)練1】閱讀下列材料，然后回答問題．
①在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會碰上如一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡： 以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．
②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計(jì)算，比如我們熟悉的下面這個(gè)題：已知 a?b?2，ab? ?3 ，求．我們可以把a(bǔ)?b和ab看成是一個(gè)整體，令 x?a?b ， y ? ab ，則．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結(jié)果．
(1)計(jì)算：；
(2)m 是正整數(shù)， a ?，b ?且．求 m．
(3)已知，求的值．
【變式訓(xùn)練2】在進(jìn)行二次根式化簡時(shí)，我們有時(shí)會遇到形如，這樣的式子可以用如下的方法將其進(jìn)一步化簡：；以上這種化簡的方法叫做分母有理化．
(1)化簡：①＝ ，②＝ ，③＝ ；
(2)已知n是正整數(shù)，化簡＝ ；
(3)利用（2）的啟示，請化簡：；
(4)聯(lián)系與拓廣：，則 ．
【變式訓(xùn)練3】先閱讀，再解答:由 可以看出，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，有時(shí)可以化去分母中的根號，例如：
，請完成下列問題：
(1)的有理化因式是 _______；
(2)化去式子分母中的根號： _____．（直接寫結(jié)果）
(3) （填或）
(4)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算下列式子的值：
【變式訓(xùn)練4】小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式進(jìn)行了以下探索：
．請你仿照小明的方法解決下列問題：
（1），則______，_______；
（2）已知是的算術(shù)平方根，求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，化簡_______．
【變式訓(xùn)練5】閱讀下述材料：
我們在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用．其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”，
與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：
比較和的大?。梢韵葘⑺鼈兎肿佑欣砘缦拢?br>， ，
因?yàn)?，所以?br>再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
當(dāng)時(shí)，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解決下述問題：
（1）比較和的大??；
（2）求的最大值和最小值．
類型二、規(guī)律性問題
例．閱讀材料已知下面一列等式：
；；；
(1)請用含的等式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律___________________；
(2)證明一下你寫的等式成立；
(3)利用等式計(jì)算：；
(4)計(jì)算：．
【變式訓(xùn)練1】閱讀下列材料，解答后面的問題：
；
；
(1)寫出下一個(gè)等式；
(2)計(jì)算的值；
(3)請求出的運(yùn)算結(jié)果．
【變式訓(xùn)練2】觀察下列各式及證明過程：
①；
②；
③．
驗(yàn)證：；
．
（1）按照上述等式及驗(yàn)證過程的基本思想，猜想的變形結(jié)果，并進(jìn)行驗(yàn)證；
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用（為正整數(shù)，且）表示的等式．
【變式訓(xùn)練3】觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題：，，，…
（1）填空：＝ ；
（2）請你用含n（n為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律．并證明你的結(jié)論．
（3）利用上面的結(jié)論，求下列式子的值：．
【變式訓(xùn)練4】（1）用計(jì)算器計(jì)算：
________________；
_______________；
_____________；
____________．
（2）觀察（1）中各式的計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
（3）試運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想出下式的結(jié)果，并用計(jì)算器驗(yàn)證你的猜想__________．
專題02 二次根式計(jì)算的兩種壓軸題全攻略
類型一、分母有理化問題
例．已知，則的值為___________．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴，
∴
故答案為：
【變式訓(xùn)練1】閱讀下列材料，然后回答問題．
①在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會碰上如一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡： 以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．
②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計(jì)算，比如我們熟悉的下面這個(gè)題：已知 a?b?2，ab? ?3 ，求．我們可以把a(bǔ)?b和ab看成是一個(gè)整體，令 x?a?b ， y ? ab ，則．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結(jié)果．
(1)計(jì)算：；
(2)m 是正整數(shù)， a ?，b ?且．求 m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)m=2
(3)
【詳解】（1）原式
，
（2）∵a ?，b ?，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整數(shù)，
∴m=2．
（3）由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【變式訓(xùn)練2】在進(jìn)行二次根式化簡時(shí)，我們有時(shí)會遇到形如，這樣的式子可以用如下的方法將其進(jìn)一步化簡：；以上這種化簡的方法叫做分母有理化．
(1)化簡：①＝ ，②＝ ，③＝ ；
(2)已知n是正整數(shù)，化簡＝ ；
(3)利用（2）的啟示，請化簡：；
(4)聯(lián)系與拓廣：，則 ．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
(4)727
【詳解】（1）解：①;
②;
③
故答案為：；；;
（2）解：
=；
（3）
=
=；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：727．
【變式訓(xùn)練3】先閱讀，再解答:由 可以看出，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，有時(shí)可以化去分母中的根號，例如：
，請完成下列問題：
(1)的有理化因式是 _______；
(2)化去式子分母中的根號： _____．（直接寫結(jié)果）
(3) （填或）
(4)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算下列式子的值：
【答案】（1）+1；（2）；（3）
∴

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