一、復習方法
1.以專題復習為主。 2.重視方法思維的訓練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習慣。
二、復習難點
1.專題的選擇要準，安排時間要合理。 2.專項復習要以題帶知識。
3.在復習的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當增加變式和難度，提高能力。

專題01 角平分線四大模型在三角形中的應用（知識解讀）
【專題說明】
角平分線在幾何中占有重要地位，是解決許多問題的橋梁和紐帶，角平分線把一個角分成相等的兩個部分，其“軸承對稱功能”衍生出“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”以及“等腰三角形三線合一”、“三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等”等性質(zhì)，而角平分線與平行線相結(jié)合構(gòu)造出等腰三角形，也常在解題中給我們帶來幫助，本專題介紹四種?？冀忸}方法。
【方法技巧】
模型1 角平分線上的點向兩邊作垂線
如圖，P是∠MON的平分線上一點，過點P作PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B。
結(jié)論：PB=PA。

【模型分析】
利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口。
模型2 截取構(gòu)造對稱全等
如圖，P是∠MON的平分線上一點，點A是射線OM上任意一點，在ON上截取OB=OA，連接PB。
結(jié)論：△OPB≌△OPA。
【模型分析】
利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得到對應邊、對應角相等。利用對稱性把一些線段或角進行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。
模型3 角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形
如圖，P是∠MO的平分線上一點，AP⊥OP于P點，延長AP于點B。
結(jié)論：△AOB是等腰三角形。
【模型分析】
構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形，進而得到對應邊、對應角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。
模型4 角平分線+平行線
如圖，P是∠MO的平分線上一點，過點P作PQ∥ON，交OM于點Q。
結(jié)論：△POQ是等腰三角形。
【模型分析】
有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。
【典例分析】
【模型1 角平分線上的點向兩邊作垂線】
【典例1】（2019秋?江北區(qū)期末）如圖，D是∠EAF平分線上的一點，若∠ACD+∠ABD＝180°，請說明CD＝DB的理由．
【變式1-1】（2020秋?西城區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，
求證：∠A+∠C＝180°．
【變式1-2】已知，如圖，∠A＝∠B＝90°，M是AB的中點，DM平分∠ADC，求證：CM平分∠BCD．（提示：需過點M作CD的垂線段）
【典例2】如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC＝40°，求∠CAB和∠CAP的度數(shù)．
【變式2】如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【模型2 截取構(gòu)造對稱全等】
【典例3】在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，P是AD上的任意一點，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由．
【變式3-1】已知：如圖，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，且AC＝6，AD＝2．求BC的長．
【變式3-2】已知，如圖AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求證：BC＝AB+CD．
【變式3-3】如圖，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分線．延長BD至E，使DE＝AD，連接EC
（1）直接寫出∠CDE的度數(shù)：∠CDE＝ ；
（2）猜想線段BC與AB+CE的數(shù)量關(guān)系為 ，并給出證明．
【模型3 角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形】
【典例4】如圖所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為點E，求證：BD＝2CE．
【變式4-2】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足為E．
（1）求∠EAC的度數(shù)；
（2）用等式表示線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【變式4-3】如圖．在△ABC中，BE是角平分線，AD⊥BE，垂足為D，求證：∠2＝∠1+∠C．
【模型4 角平分線+平行線】
【典例5】如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系．
（2）如圖2，若AB≠AC，其他條件不變，在第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？并說明理由．
（3）如圖3，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關(guān)系又如何？說明你的理由．
【變式5-1】如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于點M，交AC于點N．若BM+CN＝7，則MN的長為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【變式5-2】如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，
（1）請判斷△BME與△ECN的形狀，并說明理由？
（2）若BM+CN＝9，求線段MN的長．
【變式5-3】如圖，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求證：EF∥AB．
【變式5-4】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點E．試說明AD＝AB﹣BC的理由．
專題01 角平分線四大模型在三角形中的應用（知識解讀）
【專題說明】
角平分線在幾何中占有重要地位，是解決許多問題的橋梁和紐帶，角平分線把一個角分成相等的兩個部分，其“軸承對稱功能”衍生出“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”以及“等腰三角形三線合一”、“三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等”等性質(zhì)，而角平分線與平行線相結(jié)合構(gòu)造出等腰三角形，也常在解題中給我們帶來幫助，本專題介紹四種?？冀忸}方法。
【方法技巧】
模型1 角平分線上的點向兩邊作垂線
如圖，P是∠MON的平分線上一點，過點P作PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B。
結(jié)論：PB=PA。
【模型分析】
利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口。
模型2 截取構(gòu)造對稱全等
如圖，P是∠MON的平分線上一點，點A是射線OM上任意一點，在ON上截取OB=OA，連接PB。
結(jié)論：△OPB≌△OPA。
【模型分析】
利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得到對應邊、對應角相等。利用對稱性把一些線段或角進行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。
模型3 角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形
如圖，P是∠MO的平分線上一點，AP⊥OP于P點，延長AP于點B。
結(jié)論：△AOB是等腰三角形。
【模型分析】
構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形，進而得到對應邊、對應角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。
模型4 角平分線+平行線
如圖，P是∠MO的平分線上一點，過點P作PQ∥ON，交OM于點Q。
結(jié)論：△POQ是等腰三角形。
【模型分析】
有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。
【典例分析】
【模型1 角平分線上的點向兩邊作垂線】
【典例1】（2019秋?江北區(qū)期末）如圖，D是∠EAF平分線上的一點，若∠ACD+∠ABD＝180°，請說明CD＝DB的理由．
【解答】解：過點D分別作AE，AF的垂線，交AE于M，交AF于N
則∠CMD＝∠BND＝90°，
∵AD是∠EAF的平分線，
∴DM＝DN，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∠ACD+∠MCD＝180°，
∴∠MCD＝∠NBD，
在△CDM和△BDN中，
∠CMD＝∠BND＝90°，
∠MCD＝∠NBD，
DM＝DN，
∴△CDM≌△BDN，
∴CD＝DB．
【變式1-1】（2020秋?西城區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，
求證：∠A+∠C＝180°．
【解答】證明：過點D作DE⊥BC于E，過點D作DF⊥AB交BA的延長線于F，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，
在RtCDE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴∠FAD＝∠C，
∴∠BAD+∠C＝∠BAD+∠FAD＝180°．
【變式1-2】已知，如圖，∠A＝∠B＝90°，M是AB的中點，DM平分∠ADC，求證：CM平分∠BCD．（提示：需過點M作CD的垂線段）
【解答】證明：作MN⊥CD于N，如圖所示：
∵DM平分∠ADC，∠A＝90°，MN⊥CD，
∴MA＝MN，
∵M是AB的中點，
∴MA＝MB，
∴MB＝MN，
∵∠B＝90°，MN⊥CD，
∴CM是∠BCD的平分線，
即CM平分∠BCD．
【典例2】如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC＝40°，求∠CAB和∠CAP的度數(shù)．
【解答】解：在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分別是∠ABC和∠ACD的平分線，
∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，
∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝40°+∠ABC，
∴∠ACD＝∠ABC+40°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝80°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝80°，
即∠CAB＝80°．
作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∵PE⊥BA，PF⊥AC，PE＝PF，
∴∠CAP＝∠CAE＝50°．
【變式2】如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【解答】解：延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
設(shè)∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故選：C．
【模型2 截取構(gòu)造對稱全等】
【典例3】在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，P是AD上的任意一點，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由．
【解答】解：PB+PC＞AB+AC（2分）
如圖，在BA的延長線上取一點E，使AE＝AC，連接EP．（4分）
由AD是∠BAC的外角平分線，可知∠CAP＝∠EAP，
又AP是公共邊，AE＝AC，
故△ACP≌△AEP（6分）
從而有PC＝PE，在△BPE中，PB+PE＞BE（7分）
而BE＝AB+AE＝AB+AC，（8分）
故PB+PE＞AB+AC，
所以PB+PC＞AB+AC（10分）
【變式3-1】已知：如圖，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，且AC＝6，AD＝2．求BC的長．
【解答】解：如圖，在BC上截取CE＝CA，連接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
在△ACD和△ECD中，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD＝ED，∠A＝∠CED，
∵∠A＝2∠B，
∴∠CED＝2∠B，
∵∠CED＝∠B+∠BDE，
∴∠BDE＝∠B，
∴BE＝ED，
∵AC＝6，AD＝2，
∴AD＝BE＝2，AC＝CE＝6，
∴BC＝BE+CE＝2+6＝8．
【變式3-2】已知，如圖AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求證：BC＝AB+CD．
【解答】證明：在線段BC上截取BE＝BA，連接DE．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC．
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD．（SAS）
∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．
又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ABD＝∠EBD＝18°．
∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．
∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．
∴∠CDE＝∠DEC．
∴CD＝CE．
∴BC＝BE+EC＝AB+CD．
【變式3-3】如圖，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分線．延長BD至E，使DE＝AD，連接EC
（1）直接寫出∠CDE的度數(shù)：∠CDE＝ ；
（2）猜想線段BC與AB+CE的數(shù)量關(guān)系為 ，并給出證明．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝20°
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝60°＝∠CDE，
故答案為：60°
（2）BC＝AB+CE
理由如下：如圖，在BC上截取BF＝AB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，且BD＝BD，AB＝BF，
∴△ABD≌△FBD（SAS）
∴AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°
∴∠FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，且DE＝DF，CD＝CD
∴△CDF≌△CDE（SAS）
∴CE＝CF，
∴BC＝BF+CF＝AB+CE
故答案為：BC＝AB+CE
【模型3 角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形】
【典例4】如圖所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為點E，求證：BD＝2CE．
【解答】證明：如圖所示，延長BA，CE交于點F，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
又∵AB＝AC，
在Rt△ABD和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
在Rt△FBE和Rt△CBE中，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBE＝∠CBE，
在Rt△FBE和Rt△CBE中，
，
∴Rt△FBE≌Rt△CBE（ASA），
∴EF＝EC，
∴CF＝2CE，
∴BD＝2CE．
【變式4-2】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足為E．
（1）求∠EAC的度數(shù)；
（2）用等式表示線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠E＝∠C＝90°，
∵∠ADB＝∠E+∠EAC＝∠C+∠CBD，
∴∠EAC＝∠CBD＝22.5°；
（2）BD＝2AE，理由如下：延長AE、BC交于點F，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠EDA＝∠CDB，
∴∠FAC＝∠DBC，
在△AFC與DBC中，
，
∴△AFC≌△DBC（ASA），
∴AF＝BD，
在△ABE與△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，
∴BD＝AF＝2AE，
【變式4-3】如圖．在△ABC中，BE是角平分線，AD⊥BE，垂足為D，求證：∠2＝∠1+∠C．
【解答】證明：如圖，延長AD交BC于點F，
∵BE是角平分線，AD⊥BE，
∴△ABF是等腰三角形，且∠2＝∠AFB，
又∵∠AFB＝∠1+∠C，
∴∠2＝∠1+∠C．
【模型4 角平分線+平行線】
【典例5】如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系．
（2）如圖2，若AB≠AC，其他條件不變，在第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？并說明理由．
（3）如圖3，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關(guān)系又如何？說明你的理由．
【解答】解：（1）EF與BE、CF之間的關(guān)系為：EF＝BE+CF．理由：
∵BO是∠ABC的平分線，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
同理：CF＝FO．
∴EF＝OE+OF＝BE+CF．
（2）第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在，即EF＝BE+CF．理由：
∵BO是∠ABC的平分線，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
同理：CF＝FO．
∴EF＝OE+OF＝BE+CF．
∴第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在．
（3）圖中還存在等腰三角形△BEO和△CFO，此時EF＝BE﹣CF，理由：
∵BO是∠ABC的平分線，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
∴△BEO是等腰三角形，
同理可證△CFO是等腰三角形，
∵BE＝EO，OF＝FC
∴BE＝EF+FO＝EF+CF，
∴EF＝BE﹣CF．
【變式5-1】如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于點M，交AC于點N．若BM+CN＝7，則MN的長為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∴MN＝ME+EN，
即MN＝BM+CN，
∵BM+CN＝7，
∴MN＝7，
故選：B．
【變式5-2】如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，
（1）請判斷△BME與△ECN的形狀，并說明理由？
（2）若BM+CN＝9，求線段MN的長．
【解答】解：（1）△BME與△ECN都是等腰三角形；理由如下：
∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∴△BME與△ECN都是等腰三角形；
（2）∵MN＝ME+EN，BM＝ME，EN＝CN，
∴MN＝BM+CN．
∵BM+CN＝9，
∴MN＝9．
【變式5-3】如圖，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求證：EF∥AB．
【解答】解：過E作AC的平行線于AD延長線交于G點，
∵EG∥AC，
∴∠DEG＝∠C，
在△DEG和△DCA中，
，
∴△DEG≌△DCA（ASA），
∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC
故EG＝AC
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EG＝EF，
∴∠G＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠BAD，
∴EF∥AB．
【變式5-4】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點E．試說明AD＝AB﹣BC的理由．
【解答】證明：在AB上找到F使得AF＝AD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠EAF，
∵在△AEF和△AED中，，
∴△AEF≌△AED，（SAS）
∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°
∴∠C＝∠BFE，
∵BE平分∠BAD，
∴∠FBE＝∠C，
∵在△BEC和△BEF中，，
∴△BEC≌△BEF，（AAS）
∴BF＝BC，
∵AB＝AF+BF，
∴AB＝AD+BC，即AD＝AB﹣BC．

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專題01 角平分線四大模型在三角形中的應用（專項訓練）-備戰(zhàn)中考數(shù)學《重難點解讀?專項訓練》（全國通用）

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專題02 中點四大模型在三角形中的應用（知識解讀）-備戰(zhàn)中考數(shù)學《重難點解讀?專項訓練》（全國通用）

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專題01 角平分線四大模型在三角形中的應用（能力提升）-備戰(zhàn)中考數(shù)學《重難點解讀?專項訓練》（全國通用）

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