一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問(wèn)題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識(shí)。
3.在復(fù)習(xí)的過(guò)程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
專題06 四點(diǎn)共圓（專項(xiàng)訓(xùn)練）
1．（2021秋?渝北區(qū)期末）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的外角∠ABE為80°，則∠ADC度數(shù)為（ ）
A．80°B．40°C．100°D．160°
【答案】A
【解答】解：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE＝80°，
故選：A．
2．（2021秋?濱湖區(qū)期中）如圖，AB＝AD＝6，∠A＝60°，點(diǎn)C在∠DAB內(nèi)部且∠C＝120°，則CB+CD的最大值（ ）
A．4B．8C．10D．6
【答案】A
【解答】解：如圖，連接AC，BD，在AC上取點(diǎn)M使DM＝DC，
∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∴A，B，C，D，四點(diǎn)共圓，
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ADB是等邊三角形，
∴∠ABD＝∠ACD＝60°，
∵DM＝DC，
∴△DMC是等邊三角形，
∴∠ADB＝∠ACD＝60°，
∴∠ADM＝∠BDC，
∵AD＝BD，
∴△ADM≌△BDC（SAS），
∴AM＝BC，
∴AC＝AM+MC＝BC+CD，
∵四邊形ABCD的周長(zhǎng)為AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，
且AD＝AB＝6，
∴當(dāng)AC最大時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大，則CB+CD最大，
此時(shí)C點(diǎn)在的中點(diǎn)處，
∴∠CAB＝30°，
∴AC的最大值＝AB×cs30°＝4，
∴CB+CD最大值為AC＝4，
故選：A．
3．（2022?靖江市二模）如圖，AB⊥BC，AB＝5，點(diǎn)E、F分別是線段AB、射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，以EF為斜邊向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，連接AD，則AD的最小值為 ．
【答案】
【解答】解：連接BD并延長(zhǎng)，如圖，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，∠EDF＝90°，
∴∠ABC+∠EDF＝180°，
∴B，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∵△DEF為等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠DFE＝45°，
∴∠DBF＝∠DEF＝45°，
∴∠DBF＝∠DBE＝45°，
∴點(diǎn)D的軌跡為∠ABC的平分線上，
∵垂線段最短，
∴當(dāng)AD⊥BD時(shí)，AD取最小值，
∴AD的最小值為AB＝，
故答案為：．
4．如圖，△ABC和△BCD均為直角三角形，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝2，連接AD．若∠ADB＝30°，則AC的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【解答】解：∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∵∠ADB＝30°，AB＝2，
∴∠ACB＝∠ADB＝30°，
∴BC＝2AB＝4，
∴AC＝．
故答案為：．
5．如圖，在四邊形ABCD中，BD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，則四邊形ABCD面積的最大值為 ．
【答案】18
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴A，C兩點(diǎn)在以BD為直徑的圓上，
∴當(dāng)AB＝AD，CB＝CD時(shí)，四邊形ABCD面積最大，
∵BD＝6，
∴AB＝AD＝CB＝CD＝3，
∴四邊形BCD的面積為3××＝18．
故答案為：18．
6．如圖，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，則AD的最大值為 ．
【答案】6
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝45°，
∴A，C，D，B四點(diǎn)共圓，
如圖，作⊙O經(jīng)過(guò)A，C，D，B四點(diǎn)，
當(dāng)AD（D′）為直徑時(shí)，AD有最大值，
∵∠ADC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AC＝6，
∴AO＝6×＝3，
∴AD′＝2AO＝6，即AD的最大值為6．
故答案為：6．
7．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝90°，連接EF，則∠DEF的度數(shù)為 ．
【答案】45°
【解答】解：如圖，連接AD，
∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，
而∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF，
而∠EDF＝90°，
∴∠DEF＝∠DFE＝45°．
故答案為：45°．
8．（2022秋?蕭山區(qū)月考）如圖，以C為公共頂點(diǎn)的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且點(diǎn)D在線段AB上，則∠ABE＝ 30° ，若AC＝10，CD＝9，則BE＝ ．
【答案】
【解答】解：∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，
∴∠DBC＝∠DEC＝60°，
∴B、C、D、E四點(diǎn)共圓，
∴∠DBE＝∠DCE＝30°，
∴∠ABE＝30°，
設(shè)BC＝x，則AB＝2x，
在Rt△ABC中，
由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，
∵AC＝10，
∴（2x）2＝102+x2，
解得：x＝，
∴BC＝，
設(shè)DE＝a，則CE＝2a，
在Rt△CED中，
由勾股定理得CE2＝DE2+CD2，
∵CD＝9，
∴（2a）2＝a2+92，
解得：a＝，
∴DE＝，CE＝，
∵∠ABC＝60°，∠ABE＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，
在Rt△CBE中，
由勾股定理得＝．
9．（2021秋?寬城區(qū)期末）【問(wèn)題原型】如圖①，在⊙O中，弦BC所對(duì)的圓心角∠BOC＝90°，點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)B、C重合），連結(jié)AB、AC．
（1）在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠A的度數(shù)是否發(fā)生變化？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．
（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．
【問(wèn)題拓展】如圖②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，則線段MN的最大值為 ．
【解答】解：【問(wèn)題原型】（1）∠A的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下：
∵，∠BOC＝90°，
∴；
（2）當(dāng)AC為⊙O的直徑時(shí)，AC最大，
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，
根據(jù)勾股定理，得OB2+OC2＝BC2，
∵OB＝OC，
∴，
∴，
即AC的最大值為；
【問(wèn)題拓展】如圖，畫(huà)△ABC的外接圓⊙O，連接OB，OC，ON，
則ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2，
∴OB＝，
∵M(jìn)、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN＝AC，
∴AC為直徑時(shí)，AC最大，此時(shí)AC＝2OB＝，
∴MN最大值為，
故答案為：．
10．（2022秋?儀征市期中）【問(wèn)題提出】
蘇科版九年級(jí)（上冊(cè)）教材在探究圓內(nèi)接四邊形對(duì)角的數(shù)量關(guān)系時(shí)提出了兩個(gè)問(wèn)題：
（1）小明發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1中的∠A與∠C、∠ABC與∠ADC都滿足互補(bǔ)關(guān)系，請(qǐng)幫助他完善問(wèn)題1的證明：
∵BD是⊙O的直徑，
∴ ，
∴∠A+∠C＝180°，
∵四邊形內(nèi)角和等于360°，
∴ ．
（2）請(qǐng)回答問(wèn)題2，并說(shuō)明理由；
【深入探究】
如圖（3），⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD恰有一個(gè)內(nèi)切圓⊙I，切點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F、G、H，連接GH，EF．
（3）直接寫(xiě)出四邊形ABCD邊滿足的數(shù)量關(guān)系 ；
（4）探究EF、GH滿足的位置關(guān)系；
（5）如圖（4），若∠C＝90°，BC＝3，CD＝2，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中陰影部分的面積．
【解答】解：【問(wèn)題提出】（1）∵BD是⊙O的直徑，
∴∠A＝∠C＝90°，
∴∠A+∠C＝180°，
∵四邊形內(nèi)角和等于360°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°；
故答案為：∠A＝∠C＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）成立，理由如下：
連接AC、BD，
∵∠DAC＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，
∴∠DAC+∠ACD＝∠DBC+∠ABD＝∠ABC，
∵∠DAC+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°；
同理，∠BAD+∠BCD＝180°；
【深入探究】（3）AD+BC＝AB+CD，理由如下：
連接AI、BI、CI、DI，
∵圓I是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，
∴AG＝AE，DE＝DH，CH＝CF，BF＝BG，
∴AD+BC＝AE+ED+BF+CF＝AG+DH+BG+CH＝AB+CD，
即AD+BC＝AB+CD，
故答案為：AD+BC＝AB+CD；
（4）EF⊥GH，理由如下：
連接EH、IH、IG、IF、GF，
∵四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠D＝180°，
∵BG⊥IG，IF⊥BF，
∴∠BGI＝∠IFB＝90°，
∴∠B+∠GIF＝180°，
∴∠GIF＝∠D，
∵GI＝IF，
∴∠GFI＝90°﹣∠GIF，
∵ED＝DH，
∴∠DEH＝90°﹣∠D，
∴∠GFI＝∠DEH，
∵＝，
∴∠GFE＝∠GHE，
∴∠GHE＝∠GFI+∠IFE，
∵IF＝IE，
∴∠IFE＝∠IEF，
∴∠FEH+∠EHG＝∠FEH+∠IEF+∠DEH＝∠EID＝90°，
∴EF⊥GH；
（5）連接BD，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝90°，
∵ABCD是圓O的內(nèi)接圓，
∴BD是圓O的直徑，
連接IF、IH，
∵I是四邊形ABCD的內(nèi)切圓圓心，
∴∠ADI＝∠IDH，∠ABI＝∠FBI，
∵IH⊥CD，IF⊥BC，
∴∠BIF＝90°﹣∠IBF，∠DIH＝90°﹣∠IDH，
∴∠BIF+∠DIH＝180°﹣（∠IBF+∠IDH）＝180°﹣（∠ADC+∠ABC），
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BIF+∠DIH＝90°，
∵IF⊥FC，IH⊥CD，∠C＝90°，IH＝IF，
∴四邊形IHCF是正方形，
∴∠HIF＝90°，
∴I點(diǎn)在BD上，
∵BC＝3，CD＝2，
∴S四邊形ABCD＝3×2＝6，
∵∠DIH+∠IDH＝90°，∠IBF+∠IDH＝90°，
∴∠DIH＝∠IBF，
∵∠IHD＝∠IFB＝90°，
∴△DHI∽△IFB，
∴＝，即＝，
解得IH＝，
∴S⊙I＝π，
∴陰影部分的面積＝6﹣π．
10．（2022?遵義）綜合與實(shí)踐
“善思”小組開(kāi)展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．
提出問(wèn)題：
如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
探究展示：
如圖2，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）
∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）
∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上
反思?xì)w納：
（1）上述探究過(guò)程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？
依據(jù)1： ；依據(jù)2： ．
（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為 ．
拓展探究：
（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于F，連接AE，DE．
①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；
②若AB＝2，AD?AF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】（1）解：依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；依據(jù)2：過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，
故答案為：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；
（2）解：∵∠1＝∠2，
∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，
∴∠3＝∠4，
∵∠3＝45°，
∴∠4＝45°，
故答案為：45°；
（3）①證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱，
∴AE＝AC，DE＝DC，
∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，
∴∠AED＝∠ACB，
∴∠AED＝∠ABC，
∴A，D，B，E四點(diǎn)共圓；
②解：AD?AF的值不會(huì)發(fā)生變化，
理由如下：如圖4，連接CF，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱，
∴FE＝FC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴∠FED＝∠FCD，
∵A，D，B，E四點(diǎn)共圓，
∴∠FED＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠FCD，
∴A，B，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，
∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，
∵∠BAD＝∠FAB，
∴△ABD∽△AFB，
∴＝，
∴AD?AF＝AB2＝8．
11．如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，CE＝BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，F(xiàn)E的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接DE．
（1）求證：FG是⊙O的切線；
（2）求證：EG2＝AG?BG；
（3）若BG＝1，EG＝，求sin∠CDE的值．
【解答】（1）證明：連接OE，
∵CE＝BE，OA＝BO，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∵E點(diǎn)在圓O上，
∴FG是⊙O的切線；
（2）證明：∵OE⊥GF，
∴∠OEG＝90°，
∴OG2＝OE2+EG2，
∵EG2＝OG2﹣OE2＝（OG+OE）（OG﹣OE），
∵EO＝BO＝OA，
∴EG2＝（OG+OA）（OG﹣OB）＝AG?BG；
（3）解：連接AE，過(guò)E點(diǎn)作EM⊥AB交于點(diǎn)M，
∵EG2＝AG?BG，BG＝1，EG＝，
∴AG＝2，
∴AB＝1，
∵AB是直徑，
∴∠AEB＝90°，
∵∠OEG＝90°，
∴∠AEO＝∠BEB，
∵AO＝OE，
∴∠EAO＝∠OEA，
∴∠BEG＝∠EAO，
∴△AEG∽△EBG，
∴＝＝，
設(shè)EB＝x，則AE＝x，
在Rt△ABE中，1＝x2+2x2，
解得x＝，
∴BE＝，AE＝，
∵AE?BE＝AB?EM，
∴EM＝，
∵A、B、E、D四點(diǎn)共圓，
∴∠CDE＝∠ABE，
∴sin∠CDE＝sin∠EBM＝＝＝．
1．如圖（1），在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，BD是⊙O的直徑．∠A與∠C、∠ABC與∠ADC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
2．如圖（2），若圓心O不在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線上，問(wèn)題（1）中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？

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