初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級下冊11.1 反比例函數(shù)精練

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A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】過點C作CE⊥x軸于點E，作CF⊥y軸于點F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證出△ACF≌△BCE（AAS），從而得出S矩形OECF＝S四邊形OBCA＝S△AOB＋S△ABC，根據(jù)直線AB的表達式利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點A、B的坐標，結(jié)合勾股定理可得出AB的長度，再根據(jù)三角形的面積結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即可求出k值，此題得解．
【詳解】解：過點C作CE⊥x軸于點E，作CF⊥y軸于點F，如圖所示，
∵CE⊥x軸，CF⊥y軸，
∴∠ECF＝90°．
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，
∴∠ACF＝∠BCE．
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（AAS），
∴S△ACF＝S△BCE，
∴S矩形OECF＝S四邊形OBCA＝S△AOB＋S△ABC．
∵將直線y＝?3x向上平移3個單位可得出直線AB，
∴直線AB的表達式為y＝?3x＋3，
∴點A（0，3），點B（1，0），
∴，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴，
∴S矩形OECF＝S△AOB＋S△ABC＝×1×3＋＝4．
∵反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過點C，
∴k＝4，
故選C．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、全等三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)圖象與幾何變換、等腰直角三角形以及三角形的面積，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合角的計算，證出△ACF≌△BCE（AAS）是解題的關(guān)鍵．
2．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，點A在反比例函數(shù)的圖像上，以為一邊作等腰直角三角形，其中∠=90°，，則線段長的最小值是（ ）
A．1B．C．D．4
【答案】C
【分析】如圖，過作軸，交y軸于M，過作軸，垂足為D，交MA于H，則 證明 可得 設(shè) 則 可得 再利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合完全平方公式的變形可得答案．
【詳解】解：如圖，過作軸，交y軸于M，過作軸，垂足為D，交MA于H，則






設(shè) 則


而當時，則

∴的最小值是8，
∴的最小值是
故選：C．
【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式的變形應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握“的變形公式”是解本題的關(guān)鍵．
3．（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，和都是等腰直角三角形，，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點B，則與的面積差為（ ）．
A．32B．16C．8D．4
【答案】C
【分析】已知反比例函數(shù)的解析式為，根據(jù)系數(shù)k的代數(shù)意義，設(shè)函數(shù)圖象上點B的坐標為(m，)再結(jié)合已知條件求解即可；
【詳解】解：如圖，設(shè)點C(n，0)，因為點B在反比例函數(shù)的圖象上，所以設(shè)點B(m，)．
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴點A的坐標為(n，n)，點D的坐標為(n，)，
由AD=BD，得n?=m?n，化簡整理得m2?2mn=?16．
∴S△OAC?S△BAD=n2?(m?n)2=?m2+mn=?(m2?2mn)，
即S△OAC?S△BAD=8．
故選C
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、等腰三角形的性質(zhì)以及面積公式，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義．
4．（2022秋·湖南懷化·九年級溆浦縣第一中學(xué)校考期中）如圖，和都是等腰直角三角形，，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點B．若，則k的值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】設(shè)B點坐標為，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得，，，，則變形為，利用平方差公式得到，所以，則有，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征易得．
【詳解】解：設(shè)B點坐標為，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：A．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標的積是定值k，即．
5．（2022秋·河南濮陽·九年級校考階段練習(xí)）如圖，是等腰直角三角形，直角頂點與坐標原點重合，若點B在反比例函數(shù)的圖象上，則經(jīng)過點A的函數(shù)圖象表達式為_________．
【答案】
【分析】作軸于，軸于，根據(jù)是等腰直角三角形，可證明，利用反比例函數(shù)的幾何意義得到，則，所以，然后求出得到經(jīng)過點的反比例函數(shù)解析式．
【詳解】解：如圖，作軸于，軸于，
，
，
，
，
，
，
，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
∴，
∴，
∴，
∵經(jīng)過點A的函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)，
，
經(jīng)過點的反比例函數(shù)解析式為．
故答案為：．
【點睛】此題考查了反比例函數(shù)k的意義，全等三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
6．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，把一個等腰直角三角形ACB放在平面直角坐標系中，∠ACB＝90°，點C(﹣2,0)，點B在反比例函數(shù)的圖象上，且y軸平分∠BAC，則k的值是________．
【答案】
【分析】過點B作BD⊥x軸于D，在OA上截取OE=OC，連接CE，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求∠CEO=45°，CE=2，由角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可得∠ECA=∠OAC=22.5°，可證CE=AE=2，由“AAS”可證△OAC≌△DCB，可得AO=CD=2+2，OC=BD=2，可得點B坐標，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點B作BD⊥x軸于D，在OA上截取OE=OC，連接CE，
∵點C(-2,0)，
∴CO=2，
∴CO=EO=2，
∴∠CEO=45°，CE=2，
∵△BAC為等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
∴BC=AC，∠OCA+∠DCB=90°，∠CAB=45°，
∵∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在△OAC和△DCB中
，
∴△OAC≌△DCB(AAS)，
∴AO=CD，OC=BD=2，
∵y軸平分∠BAC，
∴∠CAO=22.5°，
∵∠CEO=∠CEA+∠OAC=45°，
∴∠ECA=∠OAC=22.5°，
∴CE=AE=2，
∴AO=2+2=CD，
∴DO=2，
∴點B坐標為(2,-2)，
∵點B在反比例函數(shù)y=的圖象上，
∴k=(-2)×2=-4，
故答案為：-4．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，求得B的坐標是解題關(guān)鍵．
7．（2022秋·山東德州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，點B、D都在x軸上，點A、C都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，則點C的橫坐標為________．
【答案】##
【分析】過點A作AE⊥x軸于點E，過點C作AF⊥x軸于點F，設(shè)OE=m，則點A（m，m），點B（2m，0），再利用點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，求出m，點B的坐標；又設(shè)BF=n，，則點C（2m+n，n），再利用點C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象，求出n，點C的坐標．
【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥x軸于點E，過點C作AF⊥x軸于點F，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OE=AE=BE，
設(shè)OE=m，則點A（m，m），點B（2m，0），
∵點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，
∴，
解得：(舍去) ，
∴點B（2，0），
同理∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BF=CF，
設(shè)BF=n，則點C（2+n，n）．
∵點C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，
∴，
解得：(舍去)，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運用等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2022春·江蘇蘇州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，已知點A是一次函數(shù)圖象上一點，過點A作軸的垂線，是上一點在A上方，在的右側(cè)以為斜邊作等腰直角三角形，反比例函數(shù)的圖象過點，，若的面積為，則的面積是______．
【答案】
【分析】過作軸于，交于，設(shè)，根據(jù)直角三角形斜邊中線是斜邊一半得：，設(shè)，則，，因為、都在反比例函數(shù)的圖象上，列方程可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，過作軸于，交于．
軸，
，
是等腰直角三角形，
，
設(shè)，則，
設(shè)，則，，
，在反比例函數(shù)的圖象上，
，
解得，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積，熟練掌握反比例函數(shù)上的點符合反比例函數(shù)的關(guān)系式是關(guān)鍵．
9．（2022春·江蘇蘇州·八年級校考期中）如圖，已知點A在反比例函數(shù)y＝（x＜0）上，B，C兩點在x軸上，△ABC是以AC為底邊的等腰直角三角形，過點B作BD⊥AC交y軸于點E，交AC于點D，若△BCE的面積為3，則k的值為_____．
【答案】-6
【分析】設(shè)A（m，n），根據(jù)題意得出△BCE的面積＝OB．AB＝3，即可得到mn＝﹣6，從而求得k的值．
【詳解】∵△ABC是以AC為底邊的等腰直角三角形，BD⊥AC，
∴AB＝BC，∠EBC＝45°，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∴OB＝OE，
設(shè)A（m，n），
∴AB＝BC＝n，OB＝OE＝﹣m，
∵△BCE的面積為3，
∴BC?OE＝3，
∴OB?AB＝3，
∴（﹣m）?n＝3，
∴mn＝﹣6，
∴k＝﹣6，
故答案為﹣6．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何問題，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．
10．（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的斜邊軸于點A，經(jīng)過點B的反比例函數(shù)的圖象交邊于點，連接，．若點是中點，的面積為1，則的值是______．
【答案】
【分析】根據(jù)點B在反比例函數(shù)圖象上，可設(shè)B點坐標為，得出，，再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得C點坐標為，依據(jù)點是中點得出D點的坐標為，過點C作AB的垂線交OB于點E，如圖（見詳解），可得，列出，化簡得，最后利用點D也在反比例函數(shù)圖象上，列出，將代入即可求得k的值．
【詳解】解：∵軸于點A，點B和點在反比例函數(shù)的圖象上，
設(shè)，則，，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴．
∵點是中點，
∴．
過點C作AB的垂線交OB于點E，垂足為F，如圖所示，
∴F為AB的中點，且，
∴，，
∴，
化簡得．
又∵，化簡得，
將代入得到，
解得．
故答案為：
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象與三角形的綜合問題，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，并能將點的坐標和線段用字母表示出來，列出方程求解是解題的關(guān)鍵．
11．（2022春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點在第二象限，以為邊在的左側(cè)作菱形，滿足軸，過點作交于點，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與邊交于點，分別連接，，．若，則的值為__________．
【答案】
【分析】延長交軸于點，先證明，由，及四邊形是菱形，；在直角三角形中，，得出
，；再根據(jù)的圖象經(jīng)過點和，得，設(shè)，有，得，即可求解．
【詳解】解：延長交軸于點，
在中，
，
根據(jù)，
，
，
；
由，
，
又四邊形是菱形，
；
在直角三角形中，
，
，；
又反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，
，
設(shè)，
，
解得：，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，三角形全等的判定及性質(zhì)、菱形，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的幾何意義．
12．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分別以A1，A2，A3…為直角頂點，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點C1，C2，C3…均在反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象上，則點A2021的坐標為 ________．
【答案】（2，0）
【分析】先設(shè)點的坐標為，然后由點是的中點得到點的坐標為，進而得到的坐標為，即可得到，，然后由△是等腰直角三角形得到，解方程得到的值，即可得到點的坐標；然后設(shè)點的坐標為，進而得到點和的坐標，從而由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，求得的值即可得到的坐標，用同樣的方法求得點坐標，結(jié)合點、點、的坐標猜測規(guī)律，得到點的坐標．
【詳解】解：設(shè)點的坐標為，
點是的中點，
點的坐標為，
的坐標為，
，，
△是等腰直角三角形，
，即，
解得：或（舍，
點的坐標為；
設(shè)點的坐標為，
點是的中點，
點的坐標為，點的坐標為，
△是等腰直角三角形，
，即，
解得：或（舍，
點的坐標為，，
設(shè)點的坐標為，
點是的中點，
點的坐標為，，點的坐標為，，
，，
△是等腰直角三角形，
，即，
解得：或（舍，
點的坐標為，，，點的坐標為，，
故答案為：，．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是設(shè)中點的坐標得到點和點的坐標．
13．如圖，正方形AOCB的邊長為4，反比例函數(shù)的圖象過點E（3，4）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點D，直線過點D，與線段AB相交于點F，求點F的坐標；
（3）連接OF，OE，探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（4）若點P是x軸上的動點，點Q是（1）中的反比例函數(shù)在第一象限圖象上的動點，且使得△PDQ為等腰直角三角形，請求出點P的坐標．
【答案】（1）y＝；（2）點F的坐標為（2，4）；（3）∠AOF＝∠EOC，理由見解析；（4）P的坐標是（，0）或（-5，0）或（，0）或（5，0）
【分析】（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝，把點E（3，4）代入即可求出k的值，進而得出結(jié)論；
（2）由正方形AOCB的邊長為4，故可知點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4，由于點D在反比例函數(shù)的圖象上，所以點D的縱坐標為3，即D（4，3），由點D在直線上可得出b的值，進而得出該直線的解析式，再把y=4代入直線的解析式即可求出點F的坐標；
（3）在CD上取CG=AF=2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG，設(shè)直線EG的解析式為y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直線EG的解析式，故可得出H點的坐標，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根據(jù)勾股定理得OE=5，可知OC=OE，即OG是等腰三角形底邊EF上的中線，所以O(shè)G是等腰三角形頂角的平分線，由此即可得出結(jié)論；
（4）分△PDQ的三個角分別是直角，三種情況進行討論，作DK⊥x軸，作QR⊥x軸，作DL⊥QR，于點L，即可構(gòu)造全等的直角三角形，設(shè)出P的坐標，根據(jù)點在圖象上，則一定滿足函數(shù)的解析式即可求解，
【詳解】解：
（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)＝，
∵反比例函數(shù)的圖象過點E（3，4），
∴4＝，即k＝12，
∴反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)＝；
（2）∵正方形AOCB的邊長為4，
∴點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4，
∵點D在反比例函數(shù)的圖象上，
∴點D的縱坐標為3，即D（4，3），
∵點D在直線y＝﹣x+b上，
∴3＝﹣×4+b，
解得：b＝5，
∴直線DF為y＝﹣x+5，
將y＝4代入y＝﹣x+5，
得4＝﹣x+5，
解得：x＝2，
∴點F的坐標為（2，4），
（3）∠AOF＝∠EOC，理由為：
證明：在CD上取CG＝AF＝2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點H，
，
∴△OAF≌△OCG（SAS），
∴∠AOF＝∠COG，
，
∴△EGB≌△HGC（ASA），
∴EG＝HG，
設(shè)直線EG：y＝mx+n，
∵E（3，4），G（4，2），
∴，
解得，
∴直線EG：y＝﹣2x+10，
令y＝﹣2x+10＝0，得x＝5，
∴H（5，0），OH＝5，
在Rt△AOE中，AO＝4，AE＝3，根據(jù)勾股定理得OE＝5，
∴OH＝OE，
∴OG是等腰三角形底邊EH上的中線，
∴OG是等腰三角形頂角的平分線，
∴∠EOG＝∠GOH，
∴∠EOG＝∠GOC＝∠AOF，
即∠AOF＝∠EOC；
（4）當Q在D的右側(cè)（如圖1），且∠PDQ=90°時，作DK⊥x軸，作QL⊥DK，于點L，
則△DPK≌△QDK，
設(shè)P的坐標是（a，0），則KP=DL=4-a，QL=DK=3，則Q的坐標是（4+3，4-3+a）即（7，-1+a），
把（7，-1+a）代入y=得：
7（-1+a）=12，
解得：a=，
則P的坐標是（，0）；
當Q在D的左側(cè)（如圖2），且∠PDQ=90°時，作DK⊥x軸，作QR⊥x軸，作DL⊥QR，于點L，
則△QDL≌△PDK，
則DK=DL=3，設(shè)P的坐標是b，則PK=QL=4-b，則QR=4-b+3=7-b，OR=OK-DL=4-3=1，
則Q的坐標是（1，7-b），代入y=得：
b=-5，
則P的坐標是（-5，0）；
當Q在D的右側(cè)（如圖3），且∠DQP=90°時，作DK⊥x軸，作QR⊥x軸，作DL⊥QR，于點L，
則△QDL≌△PQK，則DK=DL=3，
設(shè)Q的橫坐標是c，則縱坐標是，
則QK=QL=，
又∵QL=c-4，
∴c-4=，
解得：c=-2（舍去）或6，
則PK=DL=DR-LR=DR-QK=3-=1，
∴OP=OK-PK=6-1=5，
則P的坐標是（5，0）；
當Q在D的左側(cè)（如圖3），且∠DQP=90°時，不成立；
當∠DPQ=90°時，（如圖4），作DK⊥x軸，作QR⊥x軸，
則△DPR≌△PQK，
∴DR=PK=3，RP=QK，
設(shè)P的坐標是（d，0），
則RK=QK=d-4，
則OK=OP+PK=d+3，
則Q的坐標是（d+3，d-4），代入y=得：
（d+3）（d-4）=12，
解得：d=或（舍去），
則P的坐標是（，0），
綜上所述，P的坐標是（，0）或（-5，0）或（，0）或（5，0），
【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，掌握待定系數(shù)法求解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
14．（2022春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點，分別在反比例函數(shù)和的圖象上，軸于點，軸于點，是線段的中點，，．
(1)求反比例函數(shù)的表達式；
(2)連接，，，求的面積；
(3)是線段上的一個動點，是線段上的一個動點，試探究是否存在點，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合條件點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出點的坐標，利用待定系數(shù)法可求反比例函數(shù)的表達式；
（2）分別算出，，的面積，利用即可得到答案；
（3）分三種情況，當，時；當，時；當，時，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意可知，
∵點在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∵是線段的中點，∴，
∵，
∴點的坐標為，
∴，
∴反比例函數(shù)的表達式為；
（2）解：∵，
，
，
∴；
（3）解：存在
分三種情況，∵，
∴直線的表達式為．
①如圖1，當，時，
設(shè)點，則
∵
∴平分．
∴，解得
∴
∴；
②如圖2，當，時，設(shè)點．
∵平分，
∴，
∴
∴
∴
∴；
③如圖3，當，時，點與點重合，
∴，
∴，
∴，
綜上所述，存在點使得是等腰直角三角形，其坐標為或或．
【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分三種情況求出點的坐標．
15．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谥校┤鐖D，為等腰直角三角形，斜邊在軸上，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，交軸于點，反比例函數(shù)（）的圖像也經(jīng)過點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）過點作于點，求的值；
（3）若點是軸上的動點，點在反比例函數(shù)的圖像上使得為等腰直角三角形？直接寫出所有符合條件的點的坐標．
【答案】（1）；（2）；（3），，．
【分析】（1）根據(jù)題意為等腰直角三角形，過點分別作軸于，軸于，則設(shè)，根據(jù)一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點,求得的值，進而求得的坐標,即可求得反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)在中，①，在中，②，①－②即可求得；
（3）分三種情況討論①若，，如圖，連接，證明，進而求得，從而求得的坐標，即可求得點的坐標；②若，如圖，過點作軸于，過分別作軸，垂足分別為，證明，設(shè)，由，可得，解方程即可求得點坐標；③若，如圖，過點作軸于，過作軸于，證明，設(shè)，則，由，可得，解方程即可求得點坐標；綜合①②③即可求得所有的坐標．
【詳解】（1）過點分別作軸于，軸于，如圖，
四邊形是矩形，
是等腰直角三角形，
，
四邊形是正方形，
，
設(shè)，
點在直線上，
，
解得，
，
反比例函數(shù)（）的圖像經(jīng)過點，
，
，
反比例函數(shù)的解析式為；
（2）
,
把代入，解得，
，
，
在中，①，
在中，②，
①-②,得，
（3）①若，，如圖，連接，
在與中，
，
，
，
又，
，
即，
，
，
把代入，得，
，
②若，如圖，過點作軸于，過分別作軸，垂足分別為，
在與，
，
，
，
設(shè)，則，
由，
可得，
解得，
經(jīng)檢驗，m是原方程的解，
，
，
，
③若，如圖，過點作軸于，過作軸于，
在與中，
，
，
，
設(shè)，則，
由，
可得，
解得，
經(jīng)檢驗，m是原方程的解，
，
，
，
綜上所述，存在點符合題意，其坐標為，，．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)與判定，解可化為一元二次方程的分式方程，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
16．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，反比例函數(shù)y（m≠0）的圖象與一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）的圖象交于A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）兩點，直線AB分別與x軸、y軸交于點C、D．
(1)分別求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
(2)若P（t，0）（t≠2）是x軸的正半軸上一動點，過P作x軸的垂線，分別與一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象交于點M、N，設(shè)MN的長為d，求出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)在第二象限內(nèi)是否存在點Q，使得△CDQ是等腰直角三角形．若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y，yx＋3
(2)
(3)（﹣3，9）或（﹣9，3）或（，）
【分析】（1）將點A，B坐標代入反比例函數(shù)解析式中求出a，m，得出反比例函數(shù)解析式和點A，B坐標，最后將點A，B坐標代入直線AB的解析式求解，即可求出一次函數(shù)解析式；
（2）由題意得，M（t，t＋3），N（t，），得出PMt＋3，PN，分兩種情況得出答案；
（3）先求出OC，OD，再分三種情況，利用三垂線構(gòu)造全等三角形求解，即可求出答案．
【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)y（m≠0）的圖象經(jīng)過A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）兩點，
∴，
解得：
∴A（2，4）、B（﹣8，﹣1），反比例函數(shù)的解析式是y，
把A（2，4）、B（﹣8，﹣1）分別代入y＝kx＋b得，
解得，
∴一次函數(shù)的解析式為yx＋3；
（2）解：由題意得，M（t，t＋3），N（t，），
∴PMt＋3，PN，
當t＞2時，d＝PM﹣PN；
當0＜t≤2時，d＝PN﹣PM
（3）解：由（1）知，直線AB的解析式為yx＋3，
令x＝0，則yx＋3＝3，
令y＝0，則0x＋3，
∴x＝﹣6，
∴C（﹣6，0），D（0，3），
∴OC＝6，OD＝3，
如圖，
∵是等腰直角三角形，
∴①當∠CDQ＝90°時，CD＝QD，
過點Q作QH⊥y軸于H，
∴∠QDH＋∠DQH＝90°，
∵∠CDQ＝90°，
∴∠QDH＋∠CDO＝90°，
∴∠CDO＝∠DQH，
∴，
∴QH＝OD＝3，DH＝OC＝6，
∴OH＝OD＋DH＝9，
∴Q（﹣3，9）；
②當∠DCQ＝90°時，同理可得，（﹣9，3）；
③當∠CQD＝90°時，
同理可得，，
∴，CL＝DK，
∴設(shè)（﹣a，a），
∴＝a，
∴CL＝6﹣a，DK＝a﹣3，
∴6﹣a＝3﹣a，
∴a，
∴（，），
即滿足條件的點Q的坐標為（﹣3，9）或（﹣9，3）或（，）．
【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法，屬反比例綜合題，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形．
17．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A，C分別在x軸，y軸上，D是BC的中點，過點D的反比例函數(shù)的圖象交AB于點E，連接DE．若，．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)若點P在x軸上，且以P，A，E為頂點的三角形是等腰直角三角形，請直接寫出P點坐標．
【答案】(1)
(2)P點坐標
【詳解】（1）∵四邊形是矩形
∴，
在中，
∵
∴，
∴，
∴
把代人得，
∴
∴反比例函數(shù)的解析式為；
（2）∵點D是CB中點，
∴B（8,3）
當x=8時

∴E（8，）
當AEP構(gòu)成等腰三角形時，只能是PA=EA=
P點可位于E點左邊或右邊
當P點位于E點左邊時：
P的橫坐標x=8-=
當P點位于E點右邊時：
P的橫坐標為x=8+=
故P點坐標
【點睛】本題考查待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)表達式、矩形性質(zhì)在求坐標中的應(yīng)用，等腰三角形性質(zhì)，掌握這些才能解出此題．
18．（2022·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A(a，-2)、B兩點．
(1)求反比例函數(shù)的解析式和點B的坐標．
(2)點P為第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點，過點P作y軸的平行線，交直線AB于點C，連接PO，如果POC的面積為3，求點P的坐標．
(3)點E在y軸上，反比例函數(shù)圖象上是否存在一點F，使BEF是以∠F為直角的等腰直角三角形，如果存在，直接寫出點F的坐標；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)，B(4，2)
(2)或(2，4)
(3)存在，F(xiàn)(2，4)或(-4，-2)
【分析】（1）把A（a，-2）代入，可得A（-4，-2），再把A（-4，-2）代入，然后根據(jù)點B和點A關(guān)于原點對稱，即可求解；
（2）過點P作PD⊥x軸于點D，交AB于C，設(shè)，則，可得，再由POC的面積為3，可得，即可求解；
（3）分兩種情況討論：當E點在y軸正半軸時，當點E在y軸負半軸時，即可求解．
（1）
解：將A（a，-2）代入，得，
解得：a＝-4，
∴A（-4，-2），
將A（-4，-2）代入，得，解得：k＝8，
∴反比例函數(shù)的解析式為，
∵點B和點A關(guān)于原點對稱，
∴B（4，2）；
（2）
解：如圖，過點P作PD⊥x軸于點D，交AB于C，
設(shè)，則，
∴，
∵，
∴，
解得：或2，
∴或（2，4）；
（3）
解：存在，理由如下：
如圖甲所示，當E點在y軸正半軸時，過點F作HG⊥y軸于點H，過點B作BG∥y軸交HG于點G，則BG⊥HG，
∴∠G=90°，
∴∠BFG+∠FBG＝90°，
∵∠BFE=90°，
∴∠BFG+∠HFE＝90°，
∴∠HFE＝∠FBG，
又∵∠EHF＝∠FGB，
∴，
∴FG＝HE，BG＝HF，
∵點B（4，2），
∴HG=4，
設(shè)FH＝m，BG=m，則F（m，2+m），
∵點F在反比例函數(shù)圖象上，
∴，
解得m＝2或m＝-4（舍去），
∴F（2，4）；
當點E在y軸負半軸時，如圖乙所示，
同理可得F（-4，-2），
綜上：F（2，4）或（-4，-2）．

圖甲 圖乙
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
19．（河南省南陽市南召縣2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）【模型建立】（1）如圖一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過點A作AD⊥ED于D，過點B作BE⊥ED于E．求證：AD＝CE．
【模型應(yīng)用】（2）如圖二，直線l1：y＝x＋4與坐標軸交于點A、B，將直線l1繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l2，求直線l2的函數(shù)表達式；
【拓展探究】（3）如圖三，一次函數(shù)的圖象與坐標軸分別相交于點A、B，點C在反比例函數(shù)的圖象上，若△ABC為等腰直角三角形，請直接寫出k的所有可能的值 ．
【答案】（1）見解析；（2）y＝x＋4；（3）－112、－84、－49
【詳解】（1）根據(jù)為等腰直角三角形，，，可判定，從而得結(jié)論；
（2）根據(jù)，求得，最后運用待定系數(shù)法求直線的函數(shù)表達式；
（3）根據(jù)為等腰直角三角形分三種情況：以A，B，C三個頂點為直角頂點，作輔助線構(gòu)建三角形全等可得點C的坐標，根據(jù)可得結(jié)論．
解：（1）如圖1，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°．
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD與△CBE中
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴AD＝CE；
（2）∵直線y＝x＋4與y軸交于點A，與x軸交于點B，
∴A（0，4）、B（－3，0），
如圖2，
圖2
過點B做BC⊥AB交直線l2于點C，過點C作CD⊥x軸，
在△BDC和△AOB中，
，
∴△BDC≌△AOB（AAS），
∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4，
∴OD＝OB＋BD＝3＋4＝7，
∴C點坐標為（－7，3），
設(shè)l2的解析式為y＝kx＋b，將A，C點坐標代入，
得，
解得，
∴l(xiāng)2的函數(shù)表達式為y＝x＋4；
（3）分三種情況：
①如圖3，，過點C作軸于E，
當時，，
當時，，
∴，
∴，．
∵是等腰直角三角形，
∴，，
由（1）同理可得，
∴，，
∴，
∴；
②如圖4，，過點C作軸于F，
由（1）同理可得，
∴，，
∴，
∴；
③如圖5，，過點C作軸，過點B作軸，
同（1）可得，
∴，，
設(shè)，
則，
∴，
∴，
∴，
∴．
綜上，k的所有可能的值是-112或－84或-49．
故答案為：-112、－84、-49．
【點睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，主要考查了點的坐標、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，運用全等三角形的性質(zhì)進行計算，解題時注意分類思想的運用．