第I卷（選擇題共60分）
一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.（ ）
A.-4 B.4 C. D.
2.已知，則（ ）
A. B. C. D.
3.歐拉公式（其中是虛數(shù)單位，是自然對數(shù)的底數(shù)）是數(shù)學中的一個神奇公式.根據(jù)歐拉公式，復數(shù)在復平面上所對應的點位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在虛軸上，則實數(shù)（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.已知復數(shù)，則（ ）
A.9 B.6 C.3 D.
6.在復平面內(nèi)，一個正方形的3個頂點對應的復數(shù)分別是，則第4個頂點對應的復數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
7.若復數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A.1 B. C.2 D.3
8.不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
9.已知參數(shù)方程為參數(shù)，，則下列選項的圖中，符合該方程的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知復數(shù)，則下列結論錯誤的是（ ）
A.若，則
B.若是虛數(shù)，則
C.不可能是純虛數(shù)
D.可表示復平面內(nèi)的點
11.已知，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
12.已知復數(shù)對應的點在第二象限，為的共軛復數(shù)，有下列關于的四個命題：
甲；
乙
丙
丁.
如果只有一個假命題，則該命題是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
第II卷（非選擇題共90分）
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.若復數(shù)同時滿足①；②，則__________.
14.曲線經(jīng)過變換得到曲線，則曲線的方程為__________.
15.已知復數(shù)，則的虛部為__________.
16.若對于任意，都存在，使，則實數(shù)的取值范圍是__________.
三?解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.（10分）
已知函數(shù).
（1）在圖中畫出的圖象；
（2）求不等式的解集.
18.（12分）
在直角坐標系中，圓的圓心為，半徑為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求的極坐標方程；
（2）若與在第一象限的交點為，且射線的極坐標方程為，求實數(shù)的值.
19.（12分）
已知函數(shù).
（1）當時，求不等式的解集；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
20.（12分）
如圖，在極坐標系中，方程表示的曲線是一條優(yōu)美的心臟線.在以極軸所在直線為軸，極點為坐標原點的直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，且.
（1）求曲線的極坐標方程；
（2）當時，與交于點，將射線繞極點按順時針方向旋轉，交于點，求的值.
21.（12分）
在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.
（1）求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；
（2）點分別為曲線與直線上的動點，求的最小值.
22.（12分）
已知為正數(shù)，且.證明：
（1）；
（2）.
參考答案
一?選擇題
1.A 【解析】.
2.C 【解析】設，則，因為，所以，所以解得所以.
3.A 【解析】由歐拉公式，得在復平面內(nèi)對應的點在第一象限.
4.C 【解析】因為，所以當復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在虛軸上時，且，解得.
5.D 【解析】由，得.
6.B 【解析】復數(shù)所對應的點分別是，2），，由題意可知，正方形以為鄰邊，設另一點為，所以，則即解得所以.
7.C 【解析】設在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，則，它表示以為圓心，1為半徑的圓，所以的最大值為2.
8.C 【解析】當，即或時，不等式等價于不等式，即，解得，所以；當，即時，不等式等價于不等式，即，解得或，所以.
綜上，不等式的解集是.
9.B 【解析】由題意，參數(shù)方程為參數(shù)，，當時，可得，所以圖象過原點，排除；當時，可得，所以圖象過點，可排除和；當時，可得，解得，從而得到，所以選項B適合.
10.D 【解析】若，則，所以，解得或.當時，，當時，，故選項正確；若是虛數(shù)，則，即且，所以，故選項B正確；若表示純虛數(shù)，則無解，故選項C正確；若在復平面內(nèi)對應的點為，則，無解，故選項D錯誤.
11.B 【解析】，因為，所以，故后者能推出前者；反之，比如，推不出后者，故為必要不充分條件.
12.B 【解析】設，由于對應的點在第二象限，所以.甲：-1，乙，丙：，丁，得，由于“只有一個假命題”，所以乙是假命題，的值應為.
二?填空題
13. 【解析】設，由條件①可以得到，兩邊平方化簡可得.由得，則，故.
14. 【解析】由題設，將代入：，可得，整理得，所以曲線的方程為.
15.-1012 【解析】
，則的虛部為-1012.
16. 【解析】設，，易得，所以所以當時，.因為對于任意，都存在，使，所以，故的取值范圍為.
三?解答題
17.解：（1）因為
作出函數(shù)的圖象如圖所示：
（2）由不等式得或，
當時，即或，可得-2或；
當時，即或，可得或.
由圖象可得：的解集為或}的解集為，
所以的解集為或或}.
18.解：（1）圓的直角坐標方程為，
即，
由，
可得的極坐標方程為.
將的參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)，
得的普通方程為，
由，
得的極坐標方程為.
（2）由的方程可知，原點為曲線的一個交點，
設點的極坐標為，
代入中，可得，
解得.
把代入中，可得，
解得.
19.解：（1）當時，.
當時，等價于，
解得，所以；
當時，等價于6，
解得；
當時，等價于，
解得，所以.
綜上，不等式的解集為，.
（2）當時，趨近于趨近于，不符合題意，舍去；
當時，即，不成立，舍去；
當時，，
因為，當且僅當且時等號成立，
所以.
因為，所以，
即.
解，得；解，得-3或
又，所以.
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
20.解：（1）因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且，
所以.
又所以，
即，
所以曲線的極坐標方程為.
（2）當時，則，
再由可得，
所以.
21.解：（1）因為，
所以將（為參數(shù)）消去參數(shù)，
可得.
由，得-2，
因為，所以.
所以曲線的普通方程為，
直線的直角坐標方程為.
（2）由點在曲線上，設，
則點到的距離為
，
所以當時，，
所以的最小值為.
22.證明：（1）因為為正數(shù)，，
所以，
因為，
所以，當且僅當時等號成立，
所以.
（2）由柯西不等式，得
，
即.
因為，所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以.

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