1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
考試時間為120分鐘，滿分150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．3D．2
3．已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．“或”是“圓與圓存在公切線”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．已知，則（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，是一個正三棱臺，而且下底面邊長為4，上底面邊長和側(cè)棱長都為2，則異面直線與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)在上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．已知曲線，點為曲線上一動點，則下列敘述正確的是（ ）
A．若，則曲線的離心率為
B．若，則曲線的漸近線方程為
C．若曲線是雙曲線，則曲線的焦點一定在軸上
D．若曲線是圓，則的最大值為4
10．已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．B．數(shù)列為遞減數(shù)列
C．數(shù)列為等差數(shù)列D．
11．如圖，球的半徑為，球面上的三個點的外接圓為圓，且，則下列說法正確的是（ ）
A．球的表面積為
B．若的面積為
C．若，則三棱錐的體積是
D．三棱錐體積的最大值為
12．已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．在處的切線方程為B．的最小值為
C．的最小值為D．若恒成立，則
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知向量滿足，，則_______．
14．在中，角所對的邊分別為，且，若，則_______．
15．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則的最小值為_______．
16．已知，點為橢圓上的動點，當取最小值時，點的橫坐標的值為_______．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）求函數(shù)在上的值域．
18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的公比為．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令求數(shù)列的前10項和．
19．（12分）已知中，在線段上，．
（1）若，求的長；
（2）求面積的最大值．
20．（12分）在直三棱柱中，分別為的中點，．
（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．
21．（12分）已知拋物線，垂直于軸的直線與圓相切，且與交于不同的兩點．
（1）求；
（2）已知，過的直線與拋物線交于兩點，過作直線的垂線，與直線分別交于兩點，求證：．
22．（12分）已知函數(shù)有兩個零點．
（1）求的取值范圍；
（2）設兩零點分別為，證明：．
數(shù)學參考答案及評分意見
1．A 【解析】．故選A．
2．B 【解析】．故選B．
3．C 【解析】．故選C．
4．C 【解析】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以兩圓的圓心距為，兩圓內(nèi)含時，即，解得，所以當兩圓有公切線時，或，所以“或”是“圓與圓存在公切線”的充要條件．故選C．
5．D 【解析】由題意得．故選D．
6．D 【解析】作的中點，連接，則或其補角（為針角時）的余弦值即為所求．，則異面直線與的夾角的余弦值為．故選D．
7．A 【解析】由題意得為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，又，．故選A．
8．B 【解析】因為函數(shù)在上有兩個極值點，所以在上有兩個變號零點，．令，，令，得，令，得在上遞增，在上遞減．．故選B．
9．AC 【解析】A選項，時，曲線為，曲線的離心率為，故A選項正確；B選項，時，曲線為，則曲線的漸近線方程為，故B選項錯誤；C選項，若曲線是雙曲線，則，則曲線的焦點一定在軸上，故C選項正確；D選項，若曲線是圓，則4，即，令，則的最大值為，故D選項錯誤．故選AC．
10．BCD 【解析】，，，故A錯誤，BCD正確．故選BCD．
11．ACD 【解析】A選項，，故A正確；B選項，，，，故B錯誤；C選項，設，由，可得，因為為的外心，所以，故，由已知，，所以，所以，由球的截面性質(zhì)可得平面，所以三棱錐的體積，故C正確；D選項，設，令，則，令當時，的最大值為，故D正確．故選ACD．
12．ABD 【解析】的定義域為，則，故切線方程為，即，故A正確．由得，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，故B正確，C錯誤．恒成立，其中，所以，記，則，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則實數(shù)的取值范圍為，D正確．故選ABD．
13． 【解析】，，，．
14． 【解析】由，得，因為解得，又，由余弦定理得，解得．
15． 【解析】（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立），故的最小值為．
16． 【解析】因為為橢圓的右焦點，設橢圓左焦點為，則，由橢圓的定義，得，所以為射線與橢圓交點時，取最小值，因為直線方程為，設，聯(lián)立消去得或（舍）．
17．解：（1）
，
的最小正周期為．
令，
得，
化簡得，
的單調(diào)減區(qū)間為．
（2），
．
令，則，
，
，
在上的值域為．
18．解：（1）當時，
，
，
，
，
當時，
．
經(jīng)檢驗，當時，滿足上式，
．
（2）
設的前10項和為，
．
19．解：（1）在中，，
，
，
，
．
在中，
，
．
另解：，
，
．
（2）在中，，
，
，當且僅當時，等號成立．
，
的最大值為．
，
的最大值為．
20．（1）證明：連接交于點，連接，延長與延長線交于點．
因為，所以，所以，所以，則．
又因為，所以為的中位線，則．
因為平面平面，所以平面．
（2）解：因為，所以．
如圖，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，
則，
則．
設為平面的一個法向量，
則即令，解得．
又平面的一個法向量，
設所求夾角為，則．
21．（1）解：由題意得的方程為．又，
不妨設，代入拋物線，解得．
（2）證明：①當直線中有一條直線斜率存在時，
不妨設直線的斜率不存在，則，此時直線的斜率為0．
，
．
（2）當直線斜率均存在時，
記直線斜率為，直線斜率為到直線的距離為，到直線的距離為，
設，則，
．
由得，則，
．
因為，同理，
，則．
22．（1）解：令，得，令，則，
令，得，令，得．則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
當時，，當時，，
若要與有兩個交點，則．
（2）證明：易知，令．
設，
令，則在上單調(diào)遞減，且，則存在唯一的，使在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
又，則在上，即在上恒成立．
設，則，
令，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，
則，則在上單調(diào)遞增，又，所以，即在上恒成立．
令得到，由且在上單調(diào)遞增，則；
令得到，由且在上單調(diào)遞減，則．
則．

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