一、單選題
1．（1–i）4=（ ）
A．–4B．4
C．–4iD．4i
2．已知，則（ ）
A．B．C．D．
3．歐拉公式（其中i是虛數(shù)單位，e是自然對數(shù)的底數(shù)）是數(shù)學中的一個神奇公式．根據(jù)歐拉公式，復數(shù)在復平面上所對應的點在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
4．已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在虛軸上，則實數(shù)（ ）
A．B．0C．1D．2
5．已知復數(shù)，則（ ）
A．9B．6C．3D．
6．在復平面內(nèi)，一個正方形的3個頂點對應的復數(shù)分別是1＋2i，－2＋i，0，則第4個頂點對應的復數(shù)為（ ）
A．－1＋2iB．－1＋3iC．3iD．
7．若復數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A．1B．C．2D．3
8．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
9．已知參數(shù)方程，t∈[﹣1，1]，以下哪個圖符合該方程（ ）
A．B．
C．D．
10．已知復數(shù)，則下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若是虛數(shù)，則
C．不可能是純虛數(shù)
D．可表示復平面內(nèi)的點
11．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
12．已知復數(shù)對應的點在第二象限，為的共軛復數(shù)，有下列關于的四個命題：
甲：； 乙：；
丙：； ?。海?br>如果只有一個假命題，則該命題是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、填空題
13．請寫出一個同時滿足①；②的復數(shù)z，z= ．
14．曲線經(jīng)過變換得到曲線，則曲線的方程為 .
15．已知復數(shù)，則的虛部為 .
16．若對于任意，都存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是 .
三、解答題
17．已知函數(shù).
(1)在圖中畫出的圖象；
(2)求不等式的解集.
18．在直角坐標系中，圓的圓心為，半徑為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求的極坐標方程；
(2)若與在第一象限的交點為，且射線的極坐標方程為，求實數(shù)的值.
19．已知函數(shù).
(1)當時，求不等式的解集；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
20．如圖，在極坐標系Ox中，方程表示的曲線是一條優(yōu)美的心臟線．在以極軸Ox所在直線為x軸，極點O為坐標原點的直角坐標系xOy中，已知曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，且）．
(1)求曲線的極坐標方程；
(2)當時，與交于點A，將射線OA繞極點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，交于點B，求的值．
21．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；
(2)點分別為曲線與直線上的動點，求的最小值.
22．已知為正數(shù)，且.證明：
(1)；
(2).
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，結合復數(shù)的乘方運算性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】.
故選：A.
【點睛】本題考查了復數(shù)的乘方運算性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力，屬于基礎題.
2．C
【分析】
根據(jù)復數(shù)的概念及運算法則即可求解.
【詳解】
設，則，
因為，所以，
所以，解得所以.
故選：C.
3．A
【分析】由復數(shù)的幾何意義判斷.
【詳解】由歐拉公式，在復平面內(nèi)對應點在第一象限．
故選：A．
4．C
【分析】
根據(jù)復數(shù)的運算和幾何意義分析求解.
【詳解】
由題意可得：，
因為復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在虛軸上，則，解得.
故選：C.
5．D
【分析】先求出，再根據(jù)復數(shù)的乘除法運算結合復數(shù)模概念運算得解.
【詳解】由，得，
，
.
故選：D.
6．B
【分析】由復數(shù)的幾何意義及向量的坐標運算可求解.
【詳解】復數(shù)1＋2i，－2＋i，0所對應的點分別是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），
由題意可知，正方形以為鄰邊，設另一點為D（x，y），
所以
則，解得，
∴.
故選：B．
7．C
【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，復數(shù)模的概念求解.
【詳解】設在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，由，則，
所以復數(shù)對應的點表示以為圓心，1為半徑的圓，
所以的最大值為2.
故選：C.
8．C
【分析】按照正負分類討論取絕對值，運算得解.
【詳解】當，即或時，
不等式等價于，即，
解得，所以；
當，即時，不等式等價于不等式，即，
解得或，所以.
綜上，不等式的解集是.
故選：C.
9．B
【分析】
利用特殊值y＝0時，x的取值情況，即圖象與x軸的交點情況進行判斷，即可得到答案．
【詳解】
利用特殊值法進行排除，
當y＝0時，t＝0，1，﹣1；
當t＝0時，x＝0，當t＝1時，x＝﹣1，當t＝﹣1時，x＝1，
故當y＝0時，x＝0或1或﹣1，即圖象經(jīng)過（﹣1，0），（0，0），（1，0）三個點，
對照四個選項中的圖象，只有選項B符合要求．
故選：B．
【點睛】
本題考查了函數(shù)圖象的識別問題，解題的關鍵是掌握識別圖象的方法：可以從定義域、值域、函數(shù)值的正負、特殊點、特殊值、函數(shù)的性質(zhì)等方面進行判斷，考查了直觀想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．
10．D
【分析】
根據(jù)復數(shù)的概念、幾何意義及運算法則逐項判斷即可.
【詳解】對于A，若，則，
所以，解得或，
當時，，
當時，，故選項正確；
對于B，若是虛數(shù)，則，解得且，
所以，故選項B正確；
若表示純虛數(shù)，則，方程組無解，不可能是純虛數(shù)，故選項C正確；
若在復平面內(nèi)對應的點為，則，無解，
所以不可以表示復平面內(nèi)的點，故選項D錯誤.
故選：D.
11．B
【分析】
根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】
因為，當且僅當時取等號，
若，則，
故由能推出，即必要性成立；
反之，比如，，滿足，但是，
所以推不出，故充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
12．B
【分析】設，根據(jù)復數(shù)所在象限、復數(shù)加法、減法、乘法和除法，結合“只有一個假命題”進行分析，由此確定正確選項.
【詳解】設，
由于對應點在第二象限，所以，
，，
，.
甲，
乙，
丙，
丁，
由于“只有一個假命題”，所以乙是假命題，的值應為.
故選：B
13．
【分析】設，根據(jù)模長公式得出，進而得出.
【詳解】設，由條件①可以得到，兩邊平方化簡可得，故，；
故答案為：
14．
【分析】
將代入，整理即可得曲線的方程.
【詳解】
根據(jù)題意，將代入，可得，
整理得，所以曲線的方程為.
故答案為：.
15．
【分析】
根據(jù)的值的周期性特點，將原式化簡并重新按照四項為一組進行分組求和即得.
【詳解】
，
則的虛部為.
故答案為：.
16．
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式得到，進而對分類討論求出的最小值即可求出結果.
【詳解】解：設，，
易得，，
∴，
∴當時，，
∵對于任意，都存在，使得，
∴，
故的取值范圍為.
故答案為：.
17．(1)答案見解析
(2)或或
【分析】（1）將函數(shù)去絕對值寫成分段函數(shù)的形式，再分別作出三段的圖象即可；
（2）由可得或，分別解方程、，結合圖象即可得不等式的解集.
【詳解】（1）因為，作出函數(shù)的圖象如圖所示：
（2）由不等式得或，
當時，即或，可得或；
當時，即或，可得或，
由圖象可得：的解集為或，
的解集為，
所以的解集為：或或.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）先求出圓的直角坐標方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程，先求出的普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程；
（2）先由的方程得到原點為曲線的一個交點，再將點的極坐標設為，代入的極坐標方程解出后，再代入的極坐標方程解出實數(shù)的值.
【詳解】（1）圓的直角坐標方程為，
即，
由，
可得的極坐標方程為.
將的參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)，
得的普通方程為，
由，
得的極坐標方程為.
（2）由的方程可知，原點為曲線的一個交點，
設點的極坐標為，
代入中，可得，
解得.
把代入中，可得，
解得.
19．(1)
(2)
【分析】
（1）將代入的解析式，進而利用絕對值不等式的解法即可求解；
（2）根據(jù)題意進行分類，當時，不成立；當時，利用絕對值的三角不等式可得，進而得到關于的絕對值不等式，從而解不等式即可.
【詳解】（1）當時，.
當時，等價于，
解得，所以；
當時，等價于6，即，解得；
當時，等價于，
解得，所以.
綜上所述，不等式的解集為.
（2）當時，，則無解，舍去；
當時，即，不成立，舍去；
當時，，
因為，
當且僅當且時等號成立，
所以.
因為，所以，即.
解，得；
解，得或
又，所以.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
20．(1)（）
(2)
【分析】（1）首先將曲線消去參數(shù)得到普通方程，再根據(jù)得到曲線的極坐標方程；
（2）令、分別求出、，再根據(jù)數(shù)量積的定義計算可得；
【詳解】（1）解：因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）
所以（），又，所以，即（），
即曲線的極坐標方程為（）；
（2）解：當時，則，
再由，可得，
所以
21．(1)曲線為，直線為
(2)
【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關系式將曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，結合直角坐標與極坐標互化公式進行求解即可；
（2）根據(jù)點到直線距離公式，結合輔助角公式、余弦函數(shù)的最值性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】（1）因為，
將（為參數(shù)），消去參數(shù)，
可得.
由，得，
因為，所以.
所以曲線的普通方程為，
直線的直角坐標方程為.
（2）由點A在曲線上，設，
則點A到的距離為：
，
所以當時，，
所以的最小值為.
22．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）由關于三個重要不等式左右分別相加，得到，結合題設條件推得代入即得；
（2）先證明三維的柯西不等式，再利用柯西不等式將左式化成，再構造不等式
，化簡得到，代入條件即得.
【詳解】（1）因為為正數(shù)，，
所以，
因為，
所以，當且僅當時等號成立，
所以.
（2）先證明三維的柯西不等式.
已知求證:
,當且僅當時取等號.
證明：設
①當，即時，不等式顯然成立；
②當時，

∵對于任意實數(shù)，都有,當且僅當時取等號,
∴，即
∴,當且僅當時取等號.故得證.
由柯西不等式，得
，即.
因為，所以，
當且僅當，即時，等號成立，
故得：.

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