1.經(jīng)歷菱形判定定理的探究過(guò)程，掌握菱形的判定定理2.會(huì)用這些菱形的判定方法進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算
1.菱形的定義是什么？
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
2.菱形的性質(zhì)有哪些？
具有平行四邊形的所有性質(zhì)；
菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
思考：怎樣判斷一個(gè)四邊形是否是菱形呢?
探究一 菱形的判定定理1
已知線段AC,你能用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)菱形ABCD,使AC為菱形的一條對(duì)角線嗎？
小剛：分別以A、C為圓心,以大于 AC的長(zhǎng)為半徑作弧,兩條弧分別相交于點(diǎn)B、D,依次連接A、B、C、D四點(diǎn).
想一想：根據(jù)小剛的作法你有什么猜想？你能驗(yàn)證小剛的作法對(duì)嗎？
猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.
證一證：已知：如圖，四邊形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.
∴四邊形ABCD是菱形.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴AB=CD , BC=AD，
證明：∵AB=BC=CD=AD，
AB=BC=CD=AD
∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
四條邊相等的四邊形是菱形.
1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，AF⊥BC．求證：四邊形ADFE是菱形．
證明：∵AF⊥BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，
∴DF=AD=EF=AE，
∴四邊形ADFE是菱形．
證明：∵AD是角平分線,
又∵AE=AC，AD=AD，
∴△ACD≌△AED(SAS)，
同理△ACF≌△AEF(SAS) ，
∴四邊形CDEF是菱形(四條邊相等的四邊形是菱形).
∴CD=ED=CF=EF,
2.如圖,在△ABC中, AD是角平分線，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且AE=AC，EF=ED.求證：四邊形CDEF是菱形.
用一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木條,在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘,做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字,四周?chē)弦桓鹌そ?做成一個(gè)平行四邊形.那么轉(zhuǎn)動(dòng)木條,這個(gè)平行四邊形什么時(shí)候變成菱形?對(duì)此你有什么猜想？
猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
探究二 菱形的判定定理2
證一證：已知:如圖,在□ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AC⊥BD. 求證: □ABCD是菱形.
證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴BD是線段AC的垂直平分線
∴四邊形ABCD是菱形(菱形的定義)
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
幾何語(yǔ)言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD,
問(wèn)題提出：如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F,求證：四邊形AFCE是菱形．
(2)結(jié)合題中給出線段的垂直平分線，你能聯(lián)想到什么性質(zhì)嗎？
垂直并且平分這條線段，即EF⊥AC，OA=OC
(1)題中給出了對(duì)角線，你能聯(lián)想到菱形的什么判定定理呢？
(3)只需證得四邊形AFCE為平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定定理2即可得證.
證明: ∵四邊形ABCD是矩形,
又∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴四邊形AFCE是平行四邊形.
∴四邊形AFCE是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形).
3.如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB=5，AO=4，BO=3.求證：四邊形ABCD是菱形.
證明：∵OA=4，OB=3，AB=5，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，即AC⊥BD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
1.在□ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得四邊形ABCD成為菱形，這個(gè)條件可以是 .（寫(xiě)出一種情況即可）
2.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，則∠AOF= 度．
3.如圖，在?ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求?ABCD的周長(zhǎng).
解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴平行四邊形ABCD為菱形，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=4×2=8．
注意：判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，要結(jié)合條件靈活選擇方法．
4.如圖，在?ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，AE、BF交于點(diǎn)O，連接EF，OC．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∵E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵BC=2AB=2BE，
∴BC∥AD，BC=AD，
∴平行四邊形ABEF是菱形．
4.如圖，在?ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，AE、BF交于點(diǎn)O，連接EF，OC．（2）若AB=4，∠ABC=60°，求OC的長(zhǎng)．
解：過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，如圖所示：
∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，
∴∠OBE=30°，∠BOE=90°，
∴OE=2，∠OEB=60°，
由(1)可知：AB=BE=CE=4，
∴GC=GE+CE=5，

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22.5 菱形

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