想一想：1.菱形、矩形的定義？2.它們分別比平行四邊形多了哪些性質(zhì)？3.怎樣判定一個(gè)四邊形是矩形？
有一角是直角的平行四邊形叫做矩形.
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
互相垂直且平分每一組對(duì)角
有一角是直角的平行四邊形
對(duì)角線相等的平行四邊形
三個(gè)角都是直角的四邊形
同學(xué)們想一想，我們?cè)趯W(xué)習(xí)平行四邊形的判定和矩形的判定時(shí)，我們是如何到的它們的判定方法呢？那么類比著它們，菱形的判定方法是什么？
由對(duì)角線的位置關(guān)系判定菱形
1. 用一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小 釘子，做成一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的十字架，四周圍上一根橡 皮筋，做成一個(gè)四邊形.2. 任意轉(zhuǎn)動(dòng)木條，這個(gè)四邊形 總有什么特征？你能證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？繼續(xù)轉(zhuǎn) 動(dòng)木條，觀察什么時(shí)候橡皮筋周圍的四邊形變成菱 形？你能證明你的猜想嗎？
猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3. 這個(gè)命題的前提是什么？結(jié)論是什么？用幾何語言表示命題如下：已知：在□ABCD 中，對(duì)角線AC⊥BD，求證：□ABCD 是菱形.分析：我們可根據(jù)菱形的定義來證明這個(gè)平行四邊形是菱形，由平行四邊形的性質(zhì)得到BO=DO，由∠AOB=∠AOD=90o及AO=AO，得△AOB ≌△AOD，可得到AB=AD (或根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)定理,得到AB=AD ) ，最后證得□ABCD 是菱形.
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.提示：此方法包括兩個(gè)條件——(1)是一個(gè)平行四邊形；(2)兩條對(duì)角線互相垂直.對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.
例1 如圖，在平行四邊形ABCD 中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O 作直線EF⊥BD，分別交AD，BC 于點(diǎn)E 和點(diǎn)F，連接BE，DF. 求證：四邊形BEDF 是菱形．
若要證明四邊形BEDF 是菱形，需要先證明四邊形BEDF 是平行四邊形，而由題意易知DE∥BF，只需要證明DE＝BF，即可判定四邊形BEDF 是平行四邊形，證明DE＝BF 可通過證明△OED ≌△OFB 來實(shí)現(xiàn)．
∵四邊形ABCD 是平行四邊形，∴OB＝OD，AD∥BC.∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB.∴△OED ≌△OFB. ∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四邊形BEDF 是平行四邊形.∵EF⊥BD，∴四邊形BEDF 是菱形．
證明一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，若已知要證的四邊形的對(duì)角線互相垂直，則要考慮證明這個(gè)四邊形是平行四邊形．
已知：如圖，在?ABCD 中，O 為對(duì)角線AC 的中點(diǎn)，過點(diǎn)O 作AC 的垂線與邊AD，BC 分別交于點(diǎn)E，F(xiàn). 求證：四邊形AFCE 是菱形.
∵O 為AC 的中點(diǎn)，EF⊥AC，∴AE＝EC，AF＝FC，在?ABCD 中，∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠OCF，在△AEO 與△CFO 中，∴△AEO ≌△CFO，∴AE＝CF.∴AE＝EC＝CF＝FA.∴四邊形AFCE 是菱形．
如圖，四邊形 ABCD 是軸對(duì)稱圖形，且直線 AC 是對(duì)稱軸，BD 與AC 交于點(diǎn)O，AB∥CD，則下列結(jié)論：①AC⊥BD；②AD∥ BC；③四邊形 ABCD 是菱形；④△ABD ≌△CDB.其中正確的是____________(只填寫序號(hào)).
如圖，畫兩條等長(zhǎng)的線段AB，AD.分別以點(diǎn)B， D 為圓心，AB 為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C 連接BC，CD.得到四邊形ABCD.四邊形ABCD 是菱形嗎？
事實(shí)上，我們有：四條邊相等的四邊形是菱形.現(xiàn)在，我們來證明這個(gè)結(jié)論.已知：如圖，在四邊形ABCD 中，AB=BC=CD=DA.求證：四邊形是菱形.證明：∵AB=CD.且BC=AD，∴四邊形ABCD 是平行四邊形.又∵AB=AD.∴四邊形ABCD 是菱形.
四條邊相等的四邊形是菱形.
例2 已知：如圖，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分線，DE∥AC，交AB 于點(diǎn)E，DF∥AB，交AC 于點(diǎn)F.求證：四邊形AEDF 是菱形.
∵ DE∥AC， DF∥AB，∴四邊形AEDF 是平行四邊形.∴∠1=∠3.又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3.∴AE=DE.∴四邊形AEDF 是菱形.
能證明四邊形是平行四邊形時(shí)，可以先證明四邊形是平行四邊形，然后證明有一組鄰邊相等來證明四邊形是菱形 .
1 如圖，在△ABC 中，AB=AC，畫出點(diǎn)A 關(guān)于BC 的對(duì)稱點(diǎn)A'.請(qǐng)用兩種不同的方法證明四邊形ABA'C 是菱形.
如圖，E 是菱形ABCD 的邊AD 的中點(diǎn)，EF⊥ BD 于點(diǎn)H，交BC 延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交DC 于點(diǎn)G. 求證：DC 與EF 互相平分.
連接AC，則AC⊥BD，又因?yàn)镋F⊥BD，∴AC∥EF.∵E 是AD 的中點(diǎn)，∴G 是DC 中點(diǎn)．易得△DEG ≌△CFG，∴EG＝FG，∴DC 與EF 互相平分．
已知：如圖，四邊形ABCD 是菱形，兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，DE 為∠ADB 的平分線，交AC 于點(diǎn)E，DF 為∠CDB 的平分線，交AC 于點(diǎn)F，連接BE，BF. 求證：四邊形DEBF 是菱形.
∵四邊形ABCD 是菱形，AC、BD 是其兩條對(duì)角線，∴EF 垂直平分DB，∴ED＝EB，DF＝BF.∵DE、DF 分別平分∠ADB，∠CDB，∠ADB＝∠CDB，∴∠ADE＝∠CDF.在△ADE 和△CDF 中，∴△ADE ≌△CDF，∴DE＝DF，∴DE＝DF＝BE＝BF.∴四邊形DEBF 是菱形．
例3 如圖，在四邊形ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD， 點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H 分別是AD，BD，BC，AC 的中 點(diǎn)．試說明：四邊形EFGH 是菱形．
由于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H 分別是AD，BD，BC，AC 的中點(diǎn)，可知EH，HG，GF，F(xiàn)E 分別是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD的中位線，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，根據(jù)“四條邊相等的四邊形是菱形”可得四邊形EFGH 是菱形．
∵點(diǎn)E，H 分別為AD，AC 的中點(diǎn)，∴EH 為△ACD 的中位線，∴EH＝ CD.同理可證：EF＝ AB，F(xiàn)G＝ CD，HG＝ AB.∵AB＝CD，∴EH＝EF＝FG＝HG，∴四邊形EFGH 是菱形．
有較多線段相等的條件時(shí)，我們可考慮通過證明四條邊相等來證明這個(gè)四邊形是菱形．注意：本例也可以通過先證四邊形EFGH 是平行四邊形，再證一組鄰邊相等，只不過步驟復(fù)雜一點(diǎn)，大家不妨試一試．
如圖在?ABCD 中，∠D=60°，以頂點(diǎn)A 為圓心，AB 為半徑畫弧，交BC 于點(diǎn)E，交AD 于點(diǎn)F.請(qǐng)你指出圖中的等腰三角形、平行四邊形和菱形.
△ABE，△AEF 是等腰三角形．四邊形ABCD、四邊形ABEF、四邊形CDFE 是平行四邊形，四邊形ABEF 是菱形．
如圖，在菱形ABCD 中，∠BAD =60°，M 為AB 中點(diǎn)，P 為對(duì)角線AC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PM+PB 的最小值是3. 求AB 的長(zhǎng).
作點(diǎn)M 關(guān)于AC 對(duì)稱的點(diǎn)M ′，則M ′在邊AD上．且M ′為AD 的中點(diǎn)，連接BM ′，易得BM ′的長(zhǎng)為PM＋PB 的最小值，∴BM ′＝3. 連接BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD 為等邊三角形．∴∠ABM ′＝30°，∠AM ′B＝90°，∴AM ′＝ AB，AB 2－AM ′2＝BM ′2＝9，∴AB＝2 .
如圖，綠絲帶下部重疊部分是什么圖形？請(qǐng)說明理由.
解：菱形. 理由略．
如圖，四邊形ABCD 的對(duì)角線AC，BD 互相垂直，則下列條件能判定四邊形ABCD 為菱形的是(　　)A．BA＝BC B．AC，BD 互相平分C．AC＝BD D．AB∥CD
如圖，在?ABCD 中，對(duì)角線AC，BD 相交于點(diǎn)O，添加下列條件不能判定?ABCD 是菱形的只有(　　)A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
如圖，將?ABCD 沿AE 翻折，使點(diǎn)B 恰好落在AD上的點(diǎn)F 處，則下列結(jié)論不一定成立的是(　　)A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BE
如圖，在△ABC 中，點(diǎn)D 是邊BC 上的點(diǎn)(與B，C 兩點(diǎn)不重合)，過點(diǎn)D 作DE∥AC，DF∥AB，分別交AB，AC 于E，F(xiàn) 兩點(diǎn)，下列說法正確的是(　　)A．若AD⊥BC，則四邊形AEDF 是矩形B．若AD 垂直平分BC，則四邊形AEDF 是矩形C．若BD＝CD，則四邊形AEDF 是菱形D．若AD 平分∠BAC，則四邊形AEDF 是菱形
如圖，四邊形ABCD 的四邊相等，且面積為120 cm2，對(duì)角線AC ＝24 cm，則四邊形ABCD 的周長(zhǎng)為 (　　)A．52 cm　 B．40 cm C．39 cm D．26 cm
如圖，在△ABC 中，AD 是角平分線，DE∥AC 交AB 于點(diǎn)E，DF∥AB 交AC 于點(diǎn)F.如果AE＝4 cm，那么四邊形AEDF 的周長(zhǎng)為(　　)A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．22 cm
下列命題：①四邊都相等的四邊形是菱形；②兩組鄰邊分別相等的四邊形是菱形；③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；④對(duì)角線相等的四邊形是菱形；⑤一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形．其中正確的是__________(填序號(hào))．
易錯(cuò)點(diǎn)：臆造菱形的判定方法導(dǎo)致出錯(cuò)
如圖，四邊形ABCD 是平行四邊形，點(diǎn)E 是邊CD上一點(diǎn)，且BC＝EC，CF⊥BE 交AB 于點(diǎn)F，P 是EB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，下列結(jié)論：①BE 平分∠CBF；②CF 平分∠DCB；③BC＝FB； ④PF＝PC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(　　)A．1 B．2 C．3 D．4
如圖，分別以Rt△ABC 的斜邊AB 和直角邊AC 為邊向△ABC 外作等邊三角形ABD 和等邊三角形ACE，F(xiàn) 為AB 的中點(diǎn)，DE 與AB 交于點(diǎn)G，EF 與AC 交于點(diǎn)H，∠BAC＝30°.給出以下結(jié)論：①EF⊥AC；　　?、谒倪呅蜛DFE 為菱形；③AD＝4AG；④FH＝ BD.其中正確的結(jié)論是(　　)A．①②③　 B．①②④　 C．①③④　 D．②③④
如圖，在△ABC 中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E 分別是邊BC，AB上的中點(diǎn)，連接DE 并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EF＝2DE，連接CE，AF.(1)求證：AF＝CE；(2)當(dāng)∠B＝30°時(shí)，試判斷四邊形ACEF 的形狀并說明理由．
(1)證明：∵點(diǎn)D，E 分別是邊BC，AB上的中點(diǎn)， ∴DE∥AC，且DE＝ AC. ∴AC＝2DE.∵EF＝2DE， ∴EF＝AC，又∵EF∥AC， ∴四邊形ACEF 是平行四邊形．∴AF＝CE.(2)解：四邊形ACEF 是菱形．理由如下： ∵在Rt△ABC 中，E 為AB 的中點(diǎn)，∴EC＝ AB. ∵∠B＝30°，∴AC＝ AB.∴AC＝EC. ∵四邊形ACEF 是平行四邊形， ∴四邊形ACEF 是菱形．
如圖，在矩形ABCD 中，∠ABD、∠CDB 的平分線BE、DF 分別交邊AD、BC 于點(diǎn)E、F.(1)求證：四邊形BEDF 是平行四邊形；(2)當(dāng)∠ABE 為多少度時(shí)，四邊形BEDF 是菱形？請(qǐng)說明理由．
(1)∵四邊形ABCD 是矩形， ∴AB∥DC、AD∥BC， ∴∠ABD＝∠CDB. ∵BE 平分∠ABD、DF 平分∠BDC， ∴∠EBD＝ ∠ABD，∠FDB＝ ∠BDC. ∴∠EBD＝∠FDB. ∴BE∥DF. 又∵AD∥BC， ∴四邊形BEDF 是平行四邊形．
(2)當(dāng)∠ABE＝30°時(shí)，四邊形BEDF 是菱形． 理由：∵BE 平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°. ∵四邊形ABCD 是矩形，∴∠A＝90°. ∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°. ∴∠EDB＝∠EBD＝30°. ∴EB＝ED. 又∵四邊形BEDF 是平行四邊形， ∴四邊形BEDF 是菱形．
如圖，在平行四邊形ABCD 中，邊AB 的垂直平分線交AD 于點(diǎn)E，交CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF，BE.(1)求證：△AGE ≌△BGF；(2)試判斷四邊形AFBE 的形狀，并說明理由．
(1)證明：∵四邊形ABCD 是平行四邊形， ∴AD∥BC.∴∠AEG＝∠BFG. ∵EF 垂直平分AB，∴AG＝BG. 在△AGE 和△BGF 中， ∴△AGE ≌△BGF (AAS)．(2)解：四邊形AFBE 是菱形，理由如下： ∵△AGE ≌△BGF，∴AE＝BF. ∵AD∥BC，∴四邊形AFBE 是平行四邊形． 又∵EF⊥AB，∴四邊形AFBE 是菱形．
如圖①，將一張矩形紙片ABCD 沿著對(duì)角線BD 向上折疊，頂點(diǎn)C 落到點(diǎn)E 處，BE 交AD 于點(diǎn)F.(1)求證：△BDF 是等腰三角形；(2)如圖②，過點(diǎn)D 作DG∥BE，交BC 于點(diǎn)G，連接FG 交BD 于點(diǎn)O.①判斷四邊形BFDG 的形狀，并說明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG 的長(zhǎng)．
(1)由折疊得，△BDC ≌△BDE， ∴∠DBC＝∠DBE. 又∵四邊形ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∴∠DBC＝∠FDB， ∴∠DBE＝∠FDB，∴DF＝BF， ∴△BDF 是等腰三角形．
(2)①四邊形BFDG 是菱形．理由如下： ∵四邊形ABCD 是矩形， ∴FD∥BG.∵DG∥BE， ∴四邊形BFDG 是平行四邊形． ∵DF＝BF， ∴四邊形BFDG 是菱形．
②∵四邊形ABCD 是矩形，∴∠A＝90°.∴BD＝ ＝10.∵四邊形BFDG 是菱形，∴GF⊥BD，F(xiàn)G＝2OF，OB＝ BD＝5.設(shè)DF＝BF＝x，則AF＝AD－DF＝8－x，在Rt△ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得：x＝ . ∴FB＝ .在Rt△FOB 中，F(xiàn)O＝ ，∴FG＝2FO＝ .

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