姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
題型一
正、余弦定理判定三角形形狀
1．（2023上·遼寧大連·高三校聯(lián)考期中）已知a,b,c是△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，AD是BC邊上的中線，設(shè)∠BAD=α，且α+C=90°.
(1)試判斷△ABC的形狀；
(2)若b=8,c=6，試求∠ADC的余弦值.
2．（2023上·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，A=π6，sin2B?sin2A=sinAsinC．
(1)判斷△ABC的形狀，并給出證明；
(2)若c=2，點(diǎn)D在邊AC上，且△ABD的周長為7+333，求△BCD的周長．
3．（2023下·陜西安康·高一校聯(lián)考期末）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，a+b+cb+c?a=3bc.
(1)求A的大??；
(2)若b+c=2a=23，試判斷△ABC的形狀.
4．（2023下·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a?b+cc=ba+b?c.
(1)求A；
(2)若b?c=33a，證明：△ABC是直角三角形.
5．（2023下·廣東佛山·高一大瀝高中?？茧A段練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且AB?AC+BA?BC=2CA?CB；
(1)若csAb=csBa，判斷△ABC的形狀并說明理由；
(2)若△ABC是銳角三角形，求csC的取值范圍.
題型二
幾何圖形中的計(jì)算
用向量證明線段垂直
用向量證明線段垂直
6．（2023上·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b=2，c=22，D是BC上的中點(diǎn)，AD⊥AC.
(1)求∠BAD的大??；
(2)E是AB上一點(diǎn)，DE⊥AB，求DE的長度.
7．（2023上·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sinB+3csB=2.
(1)求B;
(2)已知BC=23，D為邊AB上的一點(diǎn)，若BD=1，∠ACD=π2，求AC的長.
8．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？家荒＃┯洝鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asin(A+B)=csinB+C2．
(1)求A；
(2)已知c=3，b=1，邊BC上有一點(diǎn)D滿足S△ABD=3S△ADC，求AD．
9．（2023上·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期中）在凸四邊形ABCD中，對(duì)角線AC?BD交于點(diǎn)E，且BE=ED,AE=2EC,AB=4,AD=22.
(1)若EC=1，求∠BAD的余弦值；
(2)若∠ABD=π4，求邊BC的長.
10．（2023·全國·模擬預(yù)測）在①3b?ccsA=?asinC；②sinC?sinAb=sinB+sinAa+c這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足______．
(1)求C；
(2)點(diǎn)D在邊AB上，且AD=3DB，AC⊥DC，求csB．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分．
題型三
證明三角形中的恒等式或不等式
11．（2023下·湖北咸寧·高二統(tǒng)考期末）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，已知A=2B，且b≠c.
(1)若2a=3b，求sinA；
(2)證明：ab=b+ca;
12．（2023上·江蘇·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，直線AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB相交于點(diǎn)D、E、F．

(1)試證明：BDDC=ABsin∠BADACsin∠DAC
(2)若P為重心，AD=5,BE=4,CF=3，求△ABC的面積．
13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知2tanA+tanB=tanAcsB+tanBcsA．
（1）證明：a+b=2c；
（2）求C的最大值．
14．（2023下·浙江寧波·高一校聯(lián)考期末）在△ABC中，內(nèi)角A，B都是銳角.
(1)若∠C=π3，c=2，求△ABC周長的取值范圍；
(2)若sin2A+sin2B>sin2C，求證：sin2A+sin2B>1.
15．（2023下·廣東揭陽·高三校考階段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，且12sin2BcsC+cs2BsinC?sinA2csA2=0．
(1)求B；
(2)若△ABC外接圓的半徑為3，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，證明：BD=2a2+2c2?92．
題型四
求三角形面積的最值或范圍
16．（2023上·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知△ABC中，BC=3,M在線段BC上，2BM=MC,∠BAM=π6．
(1)若AB=2，求AC的長；
(2)求△AMC面積的最大值．
17．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sinA?sinCsinB+sinC=sinA+CsinA+sinC．
(1)求A；
(2)若角A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，且AD=2，求△ABC面積的取值范圍．
18．（2023上·江蘇蘇州·高三校考階段練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b=3，a2?c23=csC?bcsAcsC+bcsA≠1.
(1)求sinAsinC的值；
(2)求△ABC面積的最大值.
19．（2023上·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，BC⊥CD,AB=BC=2,∠ABC=θ,120°≤θ0,?π2

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