專題7.1 復(fù)數(shù)的概念-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期高效講練測(cè)（人教A版必修第二冊(cè)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc29519" 【題型1 復(fù)數(shù)的分類及辨析】 PAGEREF _Tc29519 \h 2
\l "_Tc1868" 【題型2 根據(jù)復(fù)數(shù)的相等條件求參數(shù)】 PAGEREF _Tc1868 \h 3
\l "_Tc984" 【題型3 復(fù)數(shù)的幾何意義】 PAGEREF _Tc984 \h 6
\l "_Tc21848" 【題型4 復(fù)數(shù)的向量表示】 PAGEREF _Tc21848 \h 7
\l "_Tc31072" 【題型5 共軛復(fù)數(shù)的求解】 PAGEREF _Tc31072 \h 9
\l "_Tc14817" 【題型6 復(fù)數(shù)的模的計(jì)算】 PAGEREF _Tc14817 \h 10
\l "_Tc20483" 【題型7 復(fù)數(shù)的模的幾何意義】 PAGEREF _Tc20483 \h 11
【知識(shí)點(diǎn)1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念】
1．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念
(1)復(fù)數(shù)的引入
為了解決+1=0這樣的方程在實(shí)數(shù)系中無解的問題，我們引入一個(gè)新數(shù)i，規(guī)定：
①=-1，即i是方程+1=0的根；
②實(shí)數(shù)可以和數(shù)i進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，且加法和乘法的運(yùn)算律仍然成立.
在此規(guī)定下，實(shí)數(shù)a與i相加，結(jié)果記作a+i；實(shí)數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi；實(shí)數(shù)a與bi相加，結(jié)果
記作a+bi.注意到所有實(shí)數(shù)以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數(shù)都在擴(kuò)充后的新數(shù)集中.
(2)復(fù)數(shù)的概念
我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做復(fù)數(shù)集.這樣，方程+1=0在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.
(3)復(fù)數(shù)的表示
復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.
(4)復(fù)數(shù)的分類
對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)b≠0時(shí)，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，它叫做純虛數(shù).
顯然，實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即RC.
復(fù)數(shù)z=a+bi可以分類如下：
復(fù)數(shù)，
復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系，可用圖表示.
2．復(fù)數(shù)相等
在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個(gè)數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)
a=c且b=d，即當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等時(shí)，兩個(gè)復(fù)數(shù)才相等.
【題型1 復(fù)數(shù)的分類及辨析】
【例1】（2023·高一課前預(yù)習(xí)）在2+7，27i，8+5i，(1?3)i，0.618這五個(gè)數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的分類判斷．
【解答過程】27i，(1?3)i是純虛數(shù)，2+7，0.618是實(shí)數(shù)，8+5i是虛數(shù)．故純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為2．
故選：C．
【變式1-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列關(guān)于復(fù)數(shù)x+i的說法一定正確的是（）
A．是虛數(shù)B．存在x使得x+i是純虛數(shù)
C．不是實(shí)數(shù)D．實(shí)部和虛部均為1
【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的分類，逐項(xiàng)判斷即可．
【解答過程】由復(fù)數(shù)x+i，
當(dāng)x=?i時(shí)，x+i=0為實(shí)數(shù)，故A、C不正確；
當(dāng)x=0時(shí)，x+i=i，故B正確；
由于x的取值未知，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
【變式1-2】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）下列四種說法正確的是（）
A．如果實(shí)數(shù)a=b，那么a?b+(a+b)i是純虛數(shù)．
B．實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)．
C．如果a=0，那么z=a+bi是純虛數(shù)．
D．任何數(shù)的偶數(shù)次冪都不小于零．
【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及分類，逐項(xiàng)判定，即可看求解.
【解答過程】對(duì)于A中，若a=b=0，那么a?b+(a+b)i=0∈R，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，由復(fù)數(shù)的概念，可得實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)，所以B正確；
對(duì)于C中，若a=0且b=0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi=0∈R，所以C不正確；
對(duì)于D中，由虛數(shù)單位i2=?1，可得D錯(cuò)誤.
故選：B.
【變式1-3】（2023下·湖南長沙·高一校考階段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）
A．若x2+1=0，則x=iB．實(shí)部為零的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)
C．z=x2+1i可能是實(shí)數(shù)D．復(fù)數(shù)z=2+i的虛部是i
【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可求解.
【解答過程】A.x=±i，說法不正確；
B.實(shí)部為零的復(fù)數(shù)可能虛部也為零，從而是實(shí)數(shù)，說法不正確；
C.當(dāng)x=i時(shí)，z=x2+1i是實(shí)數(shù)，說法正確；
D.復(fù)數(shù)z=2+i的虛部是1，說法不正確.
故選：C.
【題型2 根據(jù)復(fù)數(shù)的相等條件求參數(shù)】
【例2】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知x12?i2=1?yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則x?y=（）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】由復(fù)數(shù)相等的條件列方程組求解出x,y，從而可求出x?y的值.
【解答過程】由題意得x2?x2i=1?yi，
所以x2=1?x2=?y，得x=2y=1，
所以x?y=1.
故選：A.
【變式2-1】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）已知a,b∈R，且a?1+ai=3+2bi，則b=（）
A．1B．52C．2D．4
【解題思路】利用復(fù)數(shù)相等列方程組，由此求得b.
【解答過程】由于a?1+ai=3+2bi，
所以a?1=3a=2b?a=4b=2.
故選：C.
【變式2-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若z1=?3?4i,z2=n2?3m?1+n2?m?6im,n∈R，且z1=z2，則m+n=
A．4或0B．-4或0C．2或0D．-2或0
【解題思路】由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得n2?3m?1=?3且n2?m?6=?4，再求解即可.
【解答過程】解：由z1=z2，
得n2?3m?1=?3，且n2?m?6=?4，
解得m=2，n=±2，
所以m+n=4或m+n=0，
故選：A.
【變式2-3】（2023下·山西陽泉·高一統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)z1=m+4?m2i,z2=2csθ+λ+3sinθi,m,λ,θ∈R，且z1=z2，則λ的取值范圍是（）
A．?916,1B．?916,7
C．?916,+∞D(zhuǎn)．1,7
【解題思路】利用復(fù)數(shù)相等可得和三角函數(shù)的平方關(guān)系可得λ=4sinθ?382?916，再根據(jù)正弦函數(shù)的取值范圍與二次函數(shù)的性質(zhì)可得λ的取值范圍.
【解答過程】復(fù)數(shù)z1=m+4?m2i,z2=2csθ+λ+3sinθi,m,λ,θ∈R，且z1=z2，
所以m=2csθ4?m2=λ+3sinθ，則λ=4?4cs2θ?3sinθ=4sin2θ?3sinθ=4sinθ?382?916
因?yàn)棣取蔙，所以sinθ∈?1,1，當(dāng)sinθ=38時(shí)，λmin=?916，當(dāng)λ=?1時(shí)，λmax=7
所以λ的取值范圍是?916,7.
故選：B.
【知識(shí)點(diǎn)2 復(fù)數(shù)的幾何意義】
1．復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)復(fù)平面
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)，而有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)平面
直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.
如圖所示，點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi可用點(diǎn)Z(a,b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來
表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.

(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對(duì)應(yīng)
由上可知，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一
的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.
(3) 復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對(duì)應(yīng)
在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與復(fù)數(shù)是一一
對(duì)應(yīng)的.這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù).
如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點(diǎn)Z唯一確定；反過來，點(diǎn)Z(相對(duì)于原點(diǎn)來說)也可以由向量唯一確定.
因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的(實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng))，即復(fù)數(shù)z=a+bi平面向量，這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.
2．復(fù)數(shù)的模
向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對(duì)值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個(gè)實(shí)數(shù)a，它
的模等于|a|(就是a的絕對(duì)值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共軛復(fù)數(shù)
(1)定義
一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0
的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即若z=a+bi，則=a-bi.特別地，實(shí)數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身.
(2)幾何意義
互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(如圖).特別地，實(shí)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)
平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，且在實(shí)軸上.

(3)性質(zhì)
①=z.
②實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z=z∈R，利用這個(gè)性質(zhì)可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).
4．復(fù)數(shù)的模的幾何意義
(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，這是復(fù)數(shù)
的模的幾何意義.
(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，r表示一個(gè)大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點(diǎn)Z組成的集合是以
原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓，|z|r表示圓的外部.
【題型3 復(fù)數(shù)的幾何意義】
【例3】（2023上·山西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)z=1?i的點(diǎn)所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【解題思路】復(fù)數(shù)z=1?i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為1,?1，得到答案.
【解答過程】復(fù)數(shù)z=1?i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為1,?1，該點(diǎn)所在象限為第四象限，
故選：D.
【變式3-1】（2023上·寧夏吳忠·高三吳忠中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z和2?ii表示的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則復(fù)數(shù)z＝（）
A．1+2iB．?1+2iC．?1?2iD．1?2i
【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.
【解答過程】由題意可得2?ii=2i?i2=2i+1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為1,2，
該點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為?1,2，所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為?1,2，
所以z=?1+2i.
故選：B.
【變式3-2】（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)P所表示的復(fù)數(shù)為（每個(gè)小方格的邊長為1）（）
A．2+2iB．3+iC．3+3iD．3+2i
【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示分析判斷.
【解答過程】由題意可知：點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,2，
所以復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)P所表示的復(fù)數(shù)為3+2i.
故選：D.
【變式3-3】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知z=1+im+3?i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A．?3,1B．?1,3
C．1,+∞D(zhuǎn)．?∞,?3
【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解答過程】將z=1+im+3?i整理化簡可得z=m+3+m?1i，
所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為m+3,m?1，
由點(diǎn)位于第四象限可得m+3>0m?1

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