題型1
用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)
1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，則四邊形ABCD是（ ）
A．梯形B．平行四邊形C．矩形D．正方形
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列有關(guān)四邊形ABCD的形狀判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．若AD=BC，則四邊形ABCD為平行四邊形
B．若AD=13BC，則四邊形ABCD為梯形
C．若AB=DC，且|AB|=|AD|，則四邊形ABCD為菱形
D．若AB=DC，且AC⊥BD，則四邊形ABCD為正方形
3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，已知在四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，又AB=DC.求證：CN=//MA.
4．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）分別根據(jù)下列條件判斷四邊形ABCD的形狀:
(1)AD=BC;
(2)AD//BC,并且AB與CD不平行;
(3)AB=DC,并且|AB|=|AD|.
題型2
向量共線定理的應(yīng)用
1．（2023下·天津和平·高一校考階段練習(xí)）設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線向量，若向量a=3e1+5e2與向量b=me1?3e2共線，則m的值等于（ ）
A．?53B．?95C．?35D．?59
2．（2023下·廣東廣州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1?e2，若三點(diǎn)A，B，D共線，則k的值為（ ）
A．－8B．8C．6D．－6
3．（2023下·河南南陽(yáng)·高一校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，CD=2DB,AE=EC．

(1)用AB，AD表示AC，BE；
(2)若點(diǎn)M滿足AM=?12AB+34AC，證明：B，M，E三點(diǎn)共線．
4．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知向量OA，OB（A,B,O三點(diǎn)不共線），判斷下列各題中的點(diǎn)M,N,G是否在直線AB上．
(1)OM=13OA+23OB；
(2)ON=12OA?OB；
(3)OG=3OA+2OB．
題型3
向量線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用
1．（2023上·安徽安慶·高三校考階段練習(xí)）已知O是三角形ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λABABsinB+ACACsinC λ≥0，則P點(diǎn)軌跡一定通過(guò)三角形ABC的（ ）
A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心
2．（2023上·湖北恩施·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與AB,AC兩邊交于M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)M,N與點(diǎn)B,C不重合），設(shè)AB=xAM，AC=yAN，則12x?1+12y?1的最小值為（ ）
A．1B．1+22C．2D．1+22
3．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，點(diǎn)D是△ABC中BC邊的中點(diǎn)，AB=a，AC=b.

(1)試用a，b表示AD；
(2)若點(diǎn)G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG？
(3)若點(diǎn)G是△ABC的重心，求GA+GB+GC.
4．（2024上·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2BC=2CD=2DA，M為線段BC中點(diǎn)，AM與BD交于點(diǎn)N，P為線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)用AB和AD表示AM；
(2)求ANNM；
(3)設(shè)AC=xDB+yAP，求xy的取值范圍．
題型4
向量的夾角（夾角的余弦值）問(wèn)題
1．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量a與b滿足|a|=2|b|，若|a+2b|=|a+b|，則csa,b=（ ）
A．12B．?34C．32D．?32
2．（2023下·廣東揭陽(yáng)·高一校聯(lián)考期中）已知向量a,b，若|a|=|b|=1,a與b的夾角為60°；若a+b與ta?b的夾角為鈍角，則t取值范圍為（ ）
A．?∞,1B．1,+∞
C．?1,1∪1,+∞D(zhuǎn)．?∞,?1∪?1,1
3．（2023下·吉林長(zhǎng)春·高一?？计谥校┮阎蛄縜與b的夾角θ=2π3，且a=2，b=1．
(1)求a?b，a+b；
(2)求向量a與a+b的夾角的余弦值．
4．（2023下·天津·高一靜海一中校聯(lián)考期末）已知|a|=4,|b|=3,(2a?3b)?(2a+b)=61.求：
(1)a與b的夾角；
(2)a+b；
(3)若λa+b與a?b夾角為鈍角，求λ的取值范圍.
題型5
向量共線、垂直的坐標(biāo)表示
1．（2023上·天津和平·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量a=?2,1,b=1,3,c=3,2，若a+λb∥c，則實(shí)數(shù)λ的值為（ ）
A．?1B．1C．?2D．2
2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量a=1,2，b=2,?3，若向量c滿足c+a∥b，c⊥(a+b)，則c=（ ）
A．79，73B．?79,?73C．73,79D．?73,79
3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知平面向量a=1,3，b=2x?1,?xx∈Z.
（1）若2a+b與a?2b垂直.求x；
（2）若向量c=7,?1，若a+b與b?c共線，求a?b.
4．（2023下·江蘇鹽城·高一校考期中）已知向量a=3,1，b=?1,?2，c=4,1．
(1)若a+kc⊥a+b，求實(shí)數(shù)k；
(2)設(shè)d滿足d?c∥a?b，且d?c=1，求d的坐標(biāo)．
題型6
向量坐標(biāo)運(yùn)算的幾何應(yīng)用
1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，且滿足AP=mAB+nAD（m，n均為正數(shù)），則1m+1n的最小值為（ ）
A．1B．34C．?34D．7+434
2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若AP=23AB+λAC，則AP的最大值為（ ）
A．273B．83C．2193D．2133
3．（2023上·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OA=2AB=2，∠OAB=2π3，BC=(?1,3).
（1）求點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求四邊形OABC的面積.
4．（2023下·廣西南寧·高一?？茧A段練習(xí)）已知平行四邊形ABCD中，A(1,0),B(0,1),C(2,5)．
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)設(shè)向量AB與AC夾角為θ，求csθ的值；
(3)求平行四邊形ABCD的面積．
題型7
用向量解決夾角、線段的長(zhǎng)度問(wèn)題
1．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）△ABC中，若AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)E滿足CE=215CA+15CB，直線CE與直線AB相交于點(diǎn)D，則cs∠ADE=（ ）
A．1010B．31010C．?1010D．?31010
2．（2022·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，且AB=6，AD=3.若線段CD上存在唯一的點(diǎn)E滿足AE?BE=4，則線段CD的長(zhǎng)的取值范圍是（ ）
A．[1,2)B．[1,5)C．[1,+∞)D．[5,+∞)
3．（2023下·貴州貴陽(yáng)·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，B，D分別在x，y軸正半軸上，AB=4，AD=2，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)

(1)若DE⊥AC，求AE的長(zhǎng)；
(2)若E為AB的中點(diǎn)，AC與DE的交點(diǎn)為M，求cs∠CME．
4．（2023下·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線段BC和DC上，AE和BD交于點(diǎn)M，且BE=λBC，DF=1?λDC，λ∈R．
(1)當(dāng)AE?BC=0時(shí)，求λ的值；
(2)當(dāng)λ=23時(shí)，求DMMB的值；
(3)求AF+12AE的取值范圍．
題型8
向量與幾何最值問(wèn)題
1．（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，且AD=4，點(diǎn)E滿足BE=sin2θ?BA+12cs2θ?BC（θ∈R），則EB+EC?EA的最小值為（ ）
A．?10B．?8C．?6D．?4
2．（2023上·北京海淀·高三統(tǒng)考期中）在等腰直角三角形ABC中，AB=2,M為斜邊BC的中點(diǎn)，以M為圓心，MA為半徑作AC，點(diǎn)P在線段BC上，點(diǎn)Q在AC上，則AP+MQ的取值范圍是（ ）
A．0,10B．0,2+2C．2?2,10D．2?2,2+2
3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在ΔABC中，滿足：AB⊥AC，M是BC的中點(diǎn).
（1）若AB=AC，求向量AB+2AC與向量2AB+AC的夾角的余弦值；
（2）若O是線段AM上任意一點(diǎn)，且AB=AC=2，求OA?OB+OC?OA的最小值：
（3）若點(diǎn)P是∠BAC內(nèi)一點(diǎn)，且AP=2，AP?AC=2，AP?AB=1，求AB+AC+AP的最小值.
4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在銳角△ABC中，csB=22，點(diǎn)O為△ABC的外心.
(1)若BO=xBA+yBC，求x+y的最大值；
(2)若b=2，
（i）求證：OB+sin2A?OA?cs2A?OC=0；
（ii）求3OB+2OA+OC的取值范圍.
題型9
正、余弦定理判定三角形形狀
1．（2023下·山東臨沂·高一?？茧A段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說(shuō)法中不正確的是（ ）
A．若acsA=bcsB，則△ABC一定是等腰三角形
B．若csA?B?csB?C=1，則△ABC一定是等邊三角形
C．若acsC+ccsA=c，則△ABC一定是等腰三角形
D．若cs2B+C+csC>0，則△ABC一定是鈍角三角形
2．（2023下·廣東東莞·高一校考階段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且滿足a2cs2A2?1=b1?tan2B21+tan2B2，則△ABC的形狀是（ ）.
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
3．（2023下·陜西西安·高一陜西師大附中?？计谀┰凇鰽BC中a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2a2=(2b?c)b+(2c?b)c．
(1)求角A的大小；
(2)若b=2ccsA，試判斷△ABC的形狀．
4．（2023下·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）已知a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，向量m→=sinB,a，n→=sinC,b，且m∥n．
(1)在①cs2B?3sinB+2=0；②2bcsC=2a?c；③ba=csB+13sinA，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，判定△ABC的形狀．
(2)求sinAsinCsinB的取值范圍．
題型10
三角形面積的最值或范圍問(wèn)題
1．（2023下·河北保定·高一?？计谥校┰阡J角△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知B=60°，c=1，則△ABC面積的取值范圍為（ ）
A．(38,34)B．(18,14)
C．(14,12)D．(38,32)
2．（2023下·廣東清遠(yuǎn)·高一?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，b＝c，且滿足sinBsinA＝1?csBcsA，若點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，∠AOB＝θ(0

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