2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.
4.本卷命題范圍：必修一第一、二章.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 下列各式中關(guān)系符號(hào)運(yùn)用正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：或?，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：或?，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，故D正確；
故選：D
2. 集合的真子集的個(gè)數(shù)是（）
A. 7B. 8C. 6D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合，判斷其有三個(gè)元素，即可得出結(jié)果.
【詳解】由，
集合有三個(gè)元素，則其真子集個(gè)數(shù)為.
故選：A
3. 命題：，的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由特稱(chēng)命題的否定判斷．
【詳解】由題意得，的否定是，，
故選：B
4. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合，利用集合間的基本運(yùn)算求解即可.
【詳解】由，
，
得或，
則.
故選：D
5. “關(guān)于的不等式的解集為”的一個(gè)充分不必要條件是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出關(guān)于的不等式的解集為的充要條件，即可判斷.
【詳解】若關(guān)于的不等式的解集為，
當(dāng)時(shí)，，顯然成立；
當(dāng)時(shí)，則，解得；
綜上可得.
即關(guān)于的不等式的解集為的充要條件為，
因?yàn)?，
所以關(guān)于的不等式的解集為的一個(gè)充分不必要條件可以是.
故選：C
6. 已知一元二次不等式的解集為，則的最小值為（）
A. -4B. 4C. 2D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】分析可得，利用韋達(dá)定理可得出、，再利用基本不等式可求得的最大值.
【詳解】因?yàn)橐辉尾坏仁降慕饧癁椋?br>所以，，則，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
因此，的最小值為.
故選：B.
7. 已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.若，滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值為（）
A. 或4B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由韋達(dá)定理列式求解．
【詳解】由時(shí)，，
，解得（舍去）
故選：C
8. 某城市數(shù)、理、化競(jìng)賽時(shí)，高一某班有26名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，25名學(xué)生參加物理競(jìng)賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競(jìng)賽，其中同時(shí)參加數(shù)、理、化三科競(jìng)賽的有7名，沒(méi)有參加任何競(jìng)賽的學(xué)生共有10名，若該班學(xué)生共有51名，則只參與兩科競(jìng)賽的同學(xué)有（）人
A. 19B. 18C. 9D. 29
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)只參加數(shù)理的有a人，只參加數(shù)化的有b人，只參加理化的有c人，由題意畫(huà)出Venn圖求解.
【詳解】解：設(shè)只參加數(shù)理的有a人，只參加數(shù)化的有b人，只參加理化的有c人，
由題意畫(huà)出Venn圖，如圖所示：
則只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有：人，只參加物理競(jìng)賽的有人，只參加化學(xué)競(jìng)賽的有：人，
所以參加競(jìng)賽的有人，
由題意得，
解得，
所以只參與兩科競(jìng)賽的同學(xué)有19人，
故選：A
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知集合，，若，則的取值可以是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)并集的概念及運(yùn)算即可得到結(jié)果.
【詳解】∵集合，，
∴，或.
故選：AC.
10. 二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論中正確的是（）
A. B.
C. D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.
【詳解】根據(jù)圖像可得，，，A正確；
由對(duì)稱(chēng)性和時(shí)，，所以時(shí)，，
即，，
當(dāng)時(shí)，，BC正確，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
11. 已知，且，則下列不等式中，恒成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由基本不等式逐一判斷．
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，，則，故B正確，
對(duì)于C，，則都為正數(shù)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故C正確，
對(duì)于D，，
當(dāng)且僅當(dāng)和同時(shí)成立，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確，
故選：BCD
12. 對(duì)于集合，，定義集合運(yùn)算，則下列結(jié)論正確的有（）
A. B.
C. 若，則D. 若?，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】由韋恩圖分別表示集合，，，再對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】如圖：若，不具有包含關(guān)系，由韋恩圖分別表示集合，，，
若，具有包含關(guān)系，不妨設(shè)是的真子集，
對(duì)于A，圖中，，圖中，所以，A正確；
對(duì)于B，圖中，成立，
圖中，，，
所以成立，故B正確；
對(duì)于C，若，則；故C正確；
對(duì)于D，由圖2可知，若?，則，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知集合，，若，則符合條件的集合的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)，列舉出集合C求解.
【詳解】解：因?yàn)榧?，，且?br>所以集合共4個(gè)，
故答案：4
14. 若命題“，”為真命題，則的取值范圍為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能成立問(wèn)題，求其最大值，即可得到結(jié)果.
【詳解】命題“，”為真命題，即，，
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以，
即的取值范圍為.
故答案為：
15. 對(duì)任意實(shí)數(shù)，，，下列命題中真命題的序號(hào)是________.
①是的充要條件；
②“是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的充要條件；
③“”是“”的必要而不充分條件；
④，.
【答案】②③④
【解析】
【分析】①②③利用充分條件和必要條件的定義判斷；④舉例判斷.
【詳解】①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，解得或，故是的充分不必要條件；
②由一個(gè)無(wú)理數(shù)與一個(gè)有理數(shù)的和與差為無(wú)理數(shù)知：“是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的充要條件；
③當(dāng)，即時(shí)，解得或，所以“”是“”的必要而不充分條件；
④當(dāng)時(shí)，，故正確；
故答案為：②③④
16. 已知，，滿(mǎn)足，存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，則的最小值為_(kāi)_______.
【答案】4
【解析】
【分析】由得整理得到，即可得最小值為.
【詳解】因?yàn)椋?，所以，即?br>得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由得，
整理得，
即，
所以，
又因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得恒成立，
所以，
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知全集，，，求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合的交集運(yùn)算求解；
（2）利用集合的補(bǔ)集和并集運(yùn)算求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)?，?br>所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)榛颍?br>所以或.
18. 設(shè)：實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，其中，：實(shí)數(shù)滿(mǎn)足.
（1）若，且，均成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若成立的一個(gè)充分不必要條件是，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，再根據(jù)二次不等式求解即可；
（2）根據(jù)充分不必要條件的性質(zhì)，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，由，解得，
而由，得，
由于，均成立，故，即的取值范圍是.
【小問(wèn)2詳解】
由得，
因?yàn)?，所以，故：?br>因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以
解得.
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19. 已知集合，
（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）或或
【解析】
【分析】（1）利用，代入解方程，即可求出，再檢驗(yàn)即可；
（2）轉(zhuǎn)化為子集問(wèn)題，結(jié)合子集的定義得出的所有可能情況，分別討論這些情況，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
，
因?yàn)椋?，即?br>解得或.
當(dāng)時(shí)，，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，，符合題意，
綜上，；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?，即可能為，，，?br>當(dāng)時(shí)，，
即，解得或，
當(dāng)集合中只有一個(gè)元素時(shí)，，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系可知,
又，解得，
所以綜上所述，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是或或.
20. 如圖所示，將一矩形花壇擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇，要求點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且對(duì)角線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，已知米，米.
（1）設(shè)的長(zhǎng)為米，試用表示矩形的面積；
（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形花壇的面積最小?并求出最小值.
【答案】（1）
（2）的長(zhǎng)為2米時(shí)，矩形花壇的面積最小，最小值為24平方米.
【解析】
【分析】（1）設(shè)的長(zhǎng)為米，則米，由得到AM，然后由求解；
（2）由，利用基本不等式求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)的長(zhǎng)為米，則米，
∵，∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
記矩形花壇的面積為，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故的長(zhǎng)為2米時(shí)，矩形花壇的面積最小，最小值為24平方米.
21. 設(shè)函數(shù).
（1）若，，，求不等式解集；
（2）若，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，分類(lèi)討論求解一元二次不等式，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，將不等式化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)，，，則不等式，
即，
當(dāng)，方程的兩根為和2，
①當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為；
②當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為；
③當(dāng)且，即時(shí)，不等式的解集為.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
【小問(wèn)2詳解】
若，不等式即為：，
當(dāng)時(shí)，可變形為：，即，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
∴，即，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.
22. 【問(wèn)題】已知關(guān)于的不等式的解集是，求關(guān)于的不等式的解集.
在研究上面的【問(wèn)題】時(shí)，小明和小寧分別得到了下面的【解法一】和【解法二】：
【解法一】由已知得方程的兩個(gè)根分別為1和2，且，
由韋達(dá)定理得所以不等式轉(zhuǎn)化為，整理得，解得，所以不等式的解集為.
【解法二】由已知得，
令，則，所以不等式解集是.
參考以上解法，解答下面的問(wèn)題：
（1）若關(guān)于的不等式的解集是，請(qǐng)寫(xiě)出關(guān)于的不等式的解集；（直接寫(xiě)出答案即可）
（2）若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足方程，，且，求的值.
【答案】（1）
（2）-490
【解析】
【分析】（1）參考題中所給解法，通過(guò)變形將不等式中的變?yōu)榈男问剑倭?，解不等式即?
（2）由題意可得，是方程是的兩個(gè)不等根，由韋達(dá)定理代入求解即可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
由得，，
令，因?yàn)?，所?
所以不等式的解集為.
小問(wèn)2詳解】
方程，，
化簡(jiǎn)為，.
即，，
又.故，是方程是的兩個(gè)不等根，
由韋達(dá)定理得
故

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