運(yùn)城市2023-2024學(xué)年高三摸底調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題2023.9本試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.答案一律寫(xiě)在答題卡上.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2．答題時(shí)使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚.3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.4．保持卡面清潔，不折疊，不破損.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一-項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)解一元二次不等式的解法，結(jié)合集合并集的定義進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】由，而，所以.故選：B2. 若復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A.  B. 1 C.  D. 2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則和減法運(yùn)算法則，給合復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】，因此，故選：A3. 已知兩條不同的直線，和平面滿足，則“”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：若，則由，可得，充分性成立；反之，若，則由，可得，必要性成立．所以“”是“”的充要條件．故選：C．4. 甲單位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙單位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，從兩個(gè)單位任抽一個(gè)單位，然后從所抽到單位中任取2名志愿者，則取到兩名男性志愿者的概率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用古典概型運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】從所抽到的單位中任取2名志愿者，則取到兩名男性志愿者的概率為：，故選：D5. 已知，則（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】故選：A.
 6. 在數(shù)列中，如果存在非零的常數(shù)T，使得對(duì)于任意正整數(shù)n均成立，那么就稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列的周期．已知數(shù)列滿足，若，（且），當(dāng)數(shù)列的周期為3時(shí)，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為（    ）A. 676 B. 675 C. 1350 D. 1349【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，得到，求得，進(jìn)而得到，結(jié)合周期性，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>且，滿足所以，因?yàn)閿?shù)列的周期為，可得，所以，所以，所以，同理可得，所以， ，所以.故選：C.7. 設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)作直線與圓切于點(diǎn)E，與雙曲線右支交于點(diǎn)P，且滿足，則雙曲線的離心率為（    ）A.  B.  C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】由題意，再結(jié)合平面向量的性質(zhì)與雙曲線的定義可得，，再根據(jù)勾股定理列式求解決即可.【詳解】∵為圓上的點(diǎn)，，，∴是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，且，又，，是圓的切線，，又，，故，離心率.    故選：D8. 已知，，，則（    ）A  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式，得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到在上單調(diào)遞增，根據(jù)，得到，令，得到，即可求解.【詳解】由，設(shè)，可得恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以在在上恒成立，所以，所以，設(shè)，可得，所以，所以設(shè)，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以，可得，即，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 已知函數(shù)的圖像為曲線C，下列說(shuō)法正確的有（    ）A. ，都有兩個(gè)極值點(diǎn)B. ，都有零點(diǎn)C. ，曲線C都有對(duì)稱中心D. ，使得曲線C有對(duì)稱軸【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)極值的定義、零點(diǎn)的定義，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，因此本選項(xiàng)正確；B：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)是連續(xù)不斷的曲線，所以一定存在，使得，因此本選項(xiàng)正確；C：假設(shè)曲線C的對(duì)稱中心為，則有化簡(jiǎn)，得，因?yàn)?/span>，所以有，因此給定一個(gè)實(shí)數(shù)，一定存在唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，因此假設(shè)成立，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D：由上可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以該函數(shù)不可能是關(guān)于直線對(duì)稱，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確，故選：ABC10. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，若點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（    ）  A. 直線平面B. 三棱錐與三棱錐的體積之和為C. 的周長(zhǎng)的最小值為D. 當(dāng)點(diǎn)M是的中點(diǎn)時(shí)，CM與平面所成角最大【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)面面平行、線面平行的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式、線面角的定義、正方體展開(kāi)圖逐一判斷即可.【詳解】A： 如下圖所示：因?yàn)?/span>是正方體，所以，而平面，平面，所以平面，同理由是正方體可得，同理可證明平面，而平面，所以平面平面，而平面，所以直線平面，因此本選項(xiàng)正確；  B：如下圖所示：過(guò)作，交、于、，過(guò)作，交于，因?yàn)?/span>是正方形，所以可得，，因此本選項(xiàng)正確；  C：將平面與平面展成同一平面，如下圖所示：  當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，作，交延長(zhǎng)線于，則，，，所以的周長(zhǎng)的最小值為，因此本選項(xiàng)不正確；D：當(dāng)點(diǎn)M是的中點(diǎn)時(shí)，，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，而平面，所以平面，CM與平面所成角為，因此本選項(xiàng)正確，故選：ABD11. 已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不等實(shí)根、、、（），則下列結(jié)論正確的是（    ）A. B. C. D. 的最小值為【答案】BC【解析】【分析】畫(huà)圖象判斷m和的取值范圍，可得A錯(cuò)誤，B正確；將方程變形，用m表示、、、，代入原式化簡(jiǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值判斷C正確，利用基本不等式計(jì)算判斷D錯(cuò)誤.【詳解】  如圖，由函數(shù)的圖像可知，，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，B正確；，則，，所以令，則，原式，，顯然在時(shí)，，即y在上單調(diào)遞增，，，即，C正確；由圖像可知，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，D錯(cuò)誤.故選：BC.12. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其導(dǎo)函數(shù)為，且，，則（    ）A.  B. C. 在上是增函數(shù) D. 存在最小值【答案】ABC【解析】【分析】AB選項(xiàng)，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而判斷AB選項(xiàng)，CD選項(xiàng)，構(gòu)造，二次求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，判斷CD.詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以，即，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以，即，B正確；C選項(xiàng)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故恒成立，所以在上恒成立，故在上是增函數(shù)，C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故無(wú)最小值.故選：ABC【點(diǎn)睛】利用函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)不等式構(gòu)造函數(shù)，然后利用所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性解不等式，是高考?？碱}目，以下是構(gòu)造函數(shù)的常見(jiàn)思路：比如：若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知向量， 滿足： =，⊥，則 =_______【答案】##【解析】【分析】由向量垂直即可得數(shù)量積為0,代入模長(zhǎng)即可求解.【詳解】由⊥可得，故答案為：14. 已知，則______________．【答案】24【解析】【分析】利用賦值法進(jìn)行求解即可.【詳解】在中，令，得①，令，得②，令，得①②，得，故答案為：15. 已知函數(shù)，現(xiàn)將該函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合圖象平移求出函數(shù)，進(jìn)而求出單調(diào)遞增區(qū)間，再列出不等式求解作答.【詳解】函數(shù)，因此，，由，解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即，解得，由，得，而，即或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍為.故答案為：16. 已知拋物線C：的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2，圓M；，過(guò)F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點(diǎn)，則的最小值為______________．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)已知條件先求出拋物線的方程，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算“”的最小值，通過(guò)拋物線的焦半徑公式將表示為坐標(biāo)的形式，采用直線與拋物線聯(lián)立的思想，根據(jù)韋達(dá)定理和基本不等式求解出最小值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，所以拋物線方程為，如下圖，，  因?yàn)?/span>，設(shè)，所以，所以，因?yàn)橹本€水平時(shí)顯然不合題意，故可設(shè)，因?yàn)橹本€所過(guò)定點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，則直線必然與拋物線有兩交點(diǎn)，同樣與圓也有兩交點(diǎn)，聯(lián)立，， 所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為12.故答案為：12.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查圓與拋物線的綜合應(yīng)用，其中涉及拋物線的焦半徑公式的運(yùn)用.常見(jiàn)拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）（1）焦點(diǎn)軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（3）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17. 在等比數(shù)列中，，，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由題意設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列出方程組求得，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1），得到，利用乘公比錯(cuò)位相減法求和，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?/span>，且，，成等差數(shù)列，可得，則，即，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得，則，，兩式相減，可得所以.18. 在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并作答．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，              ．（1）求角A；（2）若，求周長(zhǎng)的范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）正弦定理結(jié)合余弦定理求解即可；（2）先根據(jù)正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角表示，結(jié)合輔助角公式計(jì)算值域即可得出周長(zhǎng)范圍.【小問(wèn)1詳解】選擇①：因?yàn)?/span>，由余弦定理可得，所以結(jié)合正弦定理可得．因?yàn)?/span>，則，所以，即，因?yàn)?/span>，所以；選擇②：因?yàn)?/span>，由正弦定理得，由余弦定理得．因?yàn)?/span>，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，又已知，由正弦定理得：∵,∴，,∴
 ,∵,∴,∴,∴．19. 在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國(guó)醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩?防護(hù)服?消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國(guó)際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù).我國(guó)某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量，該廠質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說(shuō)明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級(jí)口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級(jí)口罩.現(xiàn)利用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本口罩中隨機(jī)抽取8個(gè)口罩，再?gòu)某槿〉?/span>8個(gè)口罩中隨機(jī)抽取3個(gè)，記其中一級(jí)口罩的個(gè)數(shù)為，求的分布列及均值.（2）甲計(jì)劃在該型號(hào)口罩的某網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)上參加店的一個(gè)訂單“秒殺”搶購(gòu)，乙計(jì)劃在該型號(hào)口罩的某網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)上參加店的一個(gè)訂單“秒殺”搶購(gòu)，其中每個(gè)訂單均由個(gè)該型號(hào)口罩構(gòu)成.假定甲?乙兩人在，兩店訂單“秒殺”成功的概率均為，記甲?乙兩人搶購(gòu)成功的訂單總數(shù)量?口罩總數(shù)量分別為，.①求的分布列及均值；②求的均值取最大值時(shí)，正整數(shù)的值.【答案】（1）分布列答案見(jiàn)解析，；（2）①分布列答案見(jiàn)解析，；②的值為2.【解析】【分析】（1）可得的可能取值為0，1，2，求出取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；（2）①可得的可能取值為0，1，2，求出取不同值的概率，即可得出分布列；②利用基本不等式可求出.【詳解】（1）結(jié)合頻率分布直方圖，得用分層隨機(jī)抽樣抽取8個(gè)口罩，其中二級(jí)?一級(jí)口罩的個(gè)數(shù)分別為6，2，所以的可能取值為0，1，2.，，，所以的分布列為012所以.（2）①由題意，知的可能取值為0，1，2.，，，所以的分布列為012所以.因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以取最大值時(shí)，的值為2.20. 如圖，在四棱錐中，底面，，，，直線與平面所成的角為.  （1）證明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）作于點(diǎn)，于點(diǎn)，通過(guò)余弦定理角解得，再通過(guò)勾股數(shù)得，再利用線面垂直的性質(zhì)得到，從而得到平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可證明結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)，利用向量法即可求出二面角的大小.【小問(wèn)1詳解】作于點(diǎn)，于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，，則，，所以，又，所以，由余弦定理可知，得到，所以，所以，又底面，面，所以，又，面，所以平面，又面,所以.  【小問(wèn)2詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖坐標(biāo)系因?yàn)?/span>平面，所以與平面所成的角就是所以，為等腰直角三角形，所以，，，，設(shè)平面的法向量，則則由，得到，取，得，又易知，平面的一個(gè)法向量，，由圖知二面角為銳角所以二面角的余弦值為.  21. 已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）由得到，然后作差，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法證明.（2）將對(duì)成立，轉(zhuǎn)化對(duì)成立，令，用導(dǎo)數(shù)法求得其最大值即可.【詳解】（1）時(shí)，，令，令，則，∴在上是增函數(shù)，∴，∴在上是增函數(shù)，∴，∴時(shí)，，∴；（2）∵對(duì)成立，∴對(duì)成立，令，則，令，則，∵，∴，∴，∴在上是減函數(shù)，∴，∴在上是減函數(shù)，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，一般常用分離參數(shù)的方法，但是如果分離參數(shù)后對(duì)應(yīng)的函數(shù)不便于求解其最值，或者求解其函數(shù)最值繁瑣時(shí)，可采用直接構(gòu)造函數(shù)的方法求解．22. 已知橢圓，離心率，且過(guò)點(diǎn)，（1）求橢圓方程；（2）以為直角頂點(diǎn)，邊與橢圓交于兩點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）；    （2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率及所給的點(diǎn)可得方程，解之即得橢圓方程；（2）不妨設(shè)方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合弦長(zhǎng)公式及三角形面積公式得到關(guān)于的函數(shù)，然后利用換元法及基本不等式求函數(shù)的最值．【小問(wèn)1詳解】由，，得，把點(diǎn)帶入橢圓方程可得，解得，所以，所以橢圓方程為：；【小問(wèn)2詳解】由題可知，不妨設(shè)的方程，則的方程為，由，得，所以，用代入，可得從而有，于是，令，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積的最大值為．   

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