一、選擇題（共10小題）.
1．一支游泳隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員16人，女運(yùn)動(dòng)員12人，若用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為7的樣本，則抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知sinα＝ ，則cs2α＝（ ）
A．﹣ B． C． D．
3．在△ABC中，，若，，則＝（ ）
A．B．C．D．
4．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋? ）
A．B．C．D．
5．設(shè)，為非零向量，則“”是“與方向相同”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
6．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且（a+b）2﹣c2＝4，C＝120°，則△ABC的面積為（ ）
A．B．C．D．2
7．已知△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且滿足bcsC＝a+ccsB，則該三角形的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等邊三角形D．等腰或直角三角形
8．將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位，得到的圖象恰好關(guān)于直線對(duì)稱，則φ的一個(gè)值是（ ）
A．B．C．D．
9．重慶譽(yù)為“橋都”，數(shù)十座各式各樣的大橋橫跨長(zhǎng)江、嘉陵江兩岸，其中朝天門長(zhǎng)江大橋是世界第一大拱橋，其主體造型為：橋拱部分（開口向下的拋物線）與主桁（圖中粗線）部分（可視為余弦函數(shù)一個(gè)周期的圖象）相結(jié)合．已知拱橋部分長(zhǎng)552m，兩端引橋各有190m，主桁最高處距離橋面89.5m，則將下列函數(shù)等比放大后，與主桁形狀最相似的是（ ）
A．y＝0.45csxB．y＝4.5csx
C．y＝0.9csD．y＝9cs
10．如圖，已知圓O的半徑為2，AB是圓O的一條直徑，EF是圓O的一條弦，且EF＝2，點(diǎn)P在線段EF上，則的最小值是（ ）
A．1B．﹣2C．﹣3D．﹣1
二、填空題（共30分）
11．已知向量，，若，則x＝ ．
12．已知一組數(shù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)的方差為
13．每年5月17口為國(guó)際電信日，某市電信公司每年在電信日當(dāng)天對(duì)辦理應(yīng)用套餐的客戶進(jìn)行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐2的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐3的客戶可獲得優(yōu)惠300元．根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪出電信日當(dāng)天參與活動(dòng)的統(tǒng)計(jì)圖，現(xiàn)將頻率視為概率．則兩位客戶選擇同一套餐的概率為 ．
14．三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，若小正方形面積為1，大正方形面積為25，直角三角形中較大的銳角為θ，則＝ ．
15．平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，則向量＝ ．
16．定義：對(duì)于實(shí)數(shù)m和兩定點(diǎn)M，N，在某圖形上恰有n（n∈N*）個(gè)不同的點(diǎn)Pi，使得，稱該圖形滿足“n度契合”．若邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，＝2，＝3，且該正方形滿足“4度契合”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
三、解答題（共80分）
17．已知向量，，且與的夾角為．
（1）求m及；
（2）若與垂直，求實(shí)數(shù)λ的值．
18．如圖，在四邊形ABCD中，△ACB與∠D互補(bǔ)，cs∠ACB＝，AC＝BC＝2，AB＝4AD．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）求sin∠ACD．
19．校在2013年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時(shí)規(guī)定成績(jī)?cè)?5分以上的學(xué)生為“優(yōu)秀”，成績(jī)小于85分的學(xué)生為“良好”，且只有成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格．
（Ⅰ）求出第4組的頻率，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的中位數(shù)與平均數(shù)；
（Ⅲ）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中共選出5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？
20．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域；
（2）設(shè)，，求sinα的值．
21．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．
（1）求角C；
（2）若c＝2，求△ABC面積的最大值．
22．借助三角比及向量知識(shí)，可以方便地討論平面上點(diǎn)及圖象的旋轉(zhuǎn)問題．試解答下列問題．
（1）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（，﹣1），將點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B．如果終邊經(jīng)過點(diǎn)A的角記為α，那么終邊經(jīng)過點(diǎn)B的角記為+α．試用三角比知識(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖，設(shè)向量＝（h，k），把向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量，求向量的坐標(biāo)；
（3）設(shè)A（a，a），B（m，n）為不重合的兩定點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得點(diǎn)C，判斷C是否能夠落在直線y＝x上，若能，試用a，m，n表示相應(yīng)θ的值，若不能，說明理由．
2021北京166中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)
參考答案
一、選擇題（共40分）
1．解：由題意知，應(yīng)抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為16×＝4（人）．
故選：B．
2．解：∵sinα＝ ，則cs2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝，
故選：B．
3．解：在△ABC中，，，，如圖，則D為BC的一個(gè)3等分點(diǎn)，作平行四邊形，
則＝＝．
故選：C．
4．解：∵甲不輸與甲、乙兩人下成和棋是互斥事件．
∴根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算公式可知：甲不輸?shù)母怕蔖＝+＝．
故選：A．
5．解：對(duì)于非零向量，，由?與方向相同或相反，
反之，與方向相同?，
則“”是“與方向相同”的必要而不充分條件．
故選：B．
6．解：∵csC＝＝＝cs120°＝﹣，
且（a+b）2﹣c2＝4，
∴＝﹣，
即8﹣4ab＝﹣2ab，即ab＝4，
則S△ABC＝absinC＝×4×＝．
故選：C．
7．解：已知△ABC中，滿足bcsC＝a+ccsB，
利用正弦定理整理得：sinBcsC＝sinA+sinCcsB，
轉(zhuǎn)換為sin（B﹣C）＝sin（B+C），
故B﹣C＝B+C，整理得C＝0，與三角形的內(nèi)角相矛盾，
故B﹣C＝π﹣B﹣C，
整理得：2B＝π，解得B＝．
故△ABC為直角三角形，
故選：B．
8．解：函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位，得到g（x）＝sin（2x+2φ）的圖象，
該圖象恰好關(guān)于直線對(duì)稱，
故g（）＝sin（2φ）＝±1，
對(duì)于A：當(dāng)φ＝時(shí)，函數(shù)g（）＝，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：當(dāng)φ＝時(shí)，函數(shù)g（）＝，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：當(dāng)φ＝時(shí)，函數(shù)g（）＝，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于D：當(dāng)φ＝時(shí)，函數(shù)g（）＝1，故D正確；
故選：D．
9．解：由題意，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；
則f（x）＝Acsωx；
其中A＝≈45，
T＝552+190+190＝932≈900，
若按100：1的比例縮小，
則A′＝0.45，T′＝9，ω＝≈＝，
所以函數(shù)y＝0.45csx．
故選：A．
10．解：＝（）?（）＝（）?（﹣）＝﹣4，
當(dāng)P為EF中點(diǎn)時(shí)，||min＝＝，
則的最小值為：3﹣4＝﹣1．
故選：D．
二、填空題（共30分）
11．解：∵，，
∴9x﹣18＝0，解得x＝2．
故答案為：2．
12．解：數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，
則＝×（1+2+m+6+7）＝4，
解得m＝4，
所以這組數(shù)的方差為
s2＝×[（1﹣4）2+（2﹣4）2+（4﹣4）2+（6﹣4）2+（7﹣4）2]＝．
故答案為：．
13．解：現(xiàn)將頻率視為概率．則兩位客戶選擇同一套餐的概率為：
P＝＝．
故答案為：．
14．解：如圖，
設(shè)BC＝x，AC＝y(tǒng)，
則，解得．
∴tanθ＝．
∴＝．
故答案為：．
15．解：如圖，∵ABCD是平行四邊形，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，
∴，＝＝＝，
且AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，
∴向量＝（）?（）＝＝2﹣﹣＝﹣8．
故答案為：﹣8．
16．【解答】解，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，可得N（0，1），M（4，2），
設(shè)Pi（x，y），由，可得（x﹣2）2+（y﹣）2＝，
即點(diǎn)Pi的運(yùn)動(dòng)軌跡是以（2，）為圓心，半徑r＝的圓，只需該圓與正方形有4個(gè)交點(diǎn)即可．
如圖：當(dāng)r＝2，即m＝﹣時(shí)（圖中從內(nèi)往外第一個(gè)圓），有4個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)動(dòng)圓在圖中第二個(gè)與第三個(gè)之間（從內(nèi)往外第一個(gè)圓）時(shí)有4個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)：
＝，∴2＜m＜6．
∴答案為：m＝﹣或2＜m＜6．
三、解答題（共80分）
17．解：（1）根據(jù)題意，向量，，
則?＝m，||＝1，||＝，
又由與的夾角為，則有?＝||||csθ，即m＝×，
解可得：m＝1，
則﹣2＝（﹣1，﹣2），故|﹣2|＝＝；
（2）由（1）的結(jié)論，m＝1，則＝（1，1），
若與垂直，則（）?＝1+2λ＝0，
解可得：λ＝﹣．
18．解：（1）在△ABC中，由余弦定理得：
AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BCcs∠ACB＝16．
∴AB＝4．
（2）AD＝＝1．
∵∠ACB與∠D互補(bǔ)，∴csD＝﹣cs∠ACB＝﹣．
∴sinD＝．
在△ACD中，由正弦定理得：，
∴sin∠ACD＝＝．
19．解：（1）其它組的頻率為
（0.01+0.07+0.06+0.02）×5＝0.8，
所以第4組的頻率為0.2，
頻率分布圖如圖：
（2）設(shè)樣本的中位數(shù)為x，則5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5，
解得x＝，
∴樣本中位數(shù)的估計(jì)值為，平均數(shù)為77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10＝87.25；
（3）依題意良好的人數(shù)為40×0.4＝16人，優(yōu)秀的人數(shù)為40×0.6＝24人
優(yōu)秀與良好的人數(shù)比為3：2，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優(yōu)秀3人，良好2人，
記“從這5人中選2人至少有1人是優(yōu)秀”為事件M，
將考試成績(jī)優(yōu)秀的三名學(xué)生記為A，B，C，考試成績(jī)良好的兩名學(xué)生記為a，b，
從這5人中任選2人的所有基本事件包括：
AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10個(gè)基本事件，
事件M含的情況是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9個(gè)，
所以P（M）＝＝0.9．
20．解：（1），
當(dāng)x∈[0，]時(shí)，，
即當(dāng)2x+＝時(shí)，函數(shù)取得最小值為y＝2sin＝﹣，
當(dāng)2x+＝時(shí)，函數(shù)取得最大值為y＝2sin＝2，
所以，此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋?br>（2）因?yàn)椋?br>所以，，
所以，＝．
21．解：（1）因?yàn)椋?br>所以3（sinB﹣sinCcsA）＝sinAsinC，
所以3sinB＝sinAsinC+3sinCcsA＝3sin（A+C），
所以3sinAcsC+3sinCcsA＝sinAsinC+3sinCcsA，
整理得3sinAcsC＝sinAsinC，
因?yàn)閟inA＞0，
所以sinC＝csC，即tanC＝，
由C為三角形內(nèi)角得，C＝，
（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣ab≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，
故ab≤4，S△ABC＝＝，
故△ABC面積的最大值．
22．解：（1）因?yàn)锳 坐標(biāo)為 ，
終點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A的角記為 ，
那么可知tan ＝，
將點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)言到點(diǎn)B，且終邊經(jīng)過B的角記為 ，
設(shè)B坐標(biāo)為 （x，y），那么
，
因?yàn)椋剑剑剑?br>所以，即 x＝2y，
又因?yàn)?，?x2+y2＝5，
所以（2y）2+y2＝5，解之得 y1＝﹣1，y2＝1，
于是可知對(duì)應(yīng) x1＝2y1＝2×（﹣1）＝﹣2，x2＝2y2＝2×1＝2，
又因?yàn)锽點(diǎn)為 A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ，且 A 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，在第四象限
可知 B 在第四象限或第一象限，故 x＝2，y＝1，
可知 B 坐標(biāo)為 （2，1）．
（2）過點(diǎn)A作直線AD∥x軸，如圖
設(shè)
所以h＝r?cs∠BAD，k＝r?sin∠BAD，
所以可知 ，
設(shè)，
所以x＝r?cs（∠BAD+θ）
＝
＝，
y＝r?sin（∠BAD+θ）
＝
＝，
因此＝（h?csθ﹣ksinθ，kcsθ+hsinθ）．
（3）因?yàn)锳（a，a），B（m，n），A，B 不重合，
所以，
由（2）知將點(diǎn) B 繞 A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) θ1角后得 C 點(diǎn) ，
，
因?yàn)镃 在直線 y＝x 上，又 A 在直線 y＝x 上，
所以 也在直線 y＝x 上，
故 （m﹣a）csθ1﹣（n﹣a）sinθ1＝（m﹣a）sinθ1+（n﹣a）csθ1，
所以（m﹣a）?csθ1﹣（m﹣a）sinθ1＝（n﹣a）csθ1+（n﹣a）sinθ1，
所以（m﹣a）（csθ1﹣sinθ1）＝（n﹣a）?（csθ1+sinθ1），
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
因此．

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