知識精講
知識點01 因式分解法
1、適合用因式分解法求解的一元二次方程的特點
（1）方程一邊為 ；
（2）另一邊易于分解成兩個 乘積的形式.
【注意】
（1）因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程,不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解.
（2）用因式分解法解一元二次方程時,一定要把方程的右邊化為0,否則會出現(xiàn)錯誤.
（3）用因式分解法解方程時，不要將方程兩邊同時 含有未知數(shù)的式子,這樣容易造成丟根現(xiàn)象.
2、利用因式分解解一元二次方程的常用方法
（1）提公因式法:把多項式各項的公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式.
（2）逆用平方差公式 和完全平方公式 來分解因式.
3、因式分解法解一元二次方程的一般步驟
知識點02 簡單的十字相乘法
①化簡下列整式乘法：




【總結(jié)】
那么對于二次三項式=
②化簡下列整式乘法：




【總結(jié)】
那么對于二次三項式=
③化簡下列整式乘法：




【總結(jié)】
那么對于二次三項式=
那么對于二次三項式=
【注意】
簡單的十字相乘法，必須要讓一元二次方程的a= .
知識點03 靈活選用合適的方法解一元二次方程
【注意】
一元二次方程的解法選擇
1.選擇順序: → → .
2.若方程為(mx+n)2=p(p≥0)型時,用 .
3.若方程右邊為0,而左邊易于分解成兩個一次因式的積時,可用 .
4.若方程二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為偶數(shù),可用 .
5.若用直接開平方法和因式分解法不能求解時,可用公式法.
能力拓展
考法01 因式分解法
【例題1】方程 x（x+5）=0 的根是（ ）
A．x=5B．x=﹣5C．x1=0，x2=5D．x1=0，x2=﹣5
【即學(xué)即練1】三角形兩邊長分別為2和4，第三邊長是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0的解，則這個三角形周長為（ ）
A．8 B．8和10 C．10 D．8 或10
【即學(xué)即練2】一元二次方程的根是（ ）
A．﹣1B．2C．1和2D．﹣1和2
【即學(xué)即練3】解方程，最簡便的方法是（ ）
A．配方法B．公式法C．因式分解法D．直接開平方法
【即學(xué)即練4】用因式分解法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
考法02 十字相乘法
【例題2】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解為（ ）
A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3
【即學(xué)即練1】已知等腰三角形兩邊長分別是方程的兩個根，則三角形周長為（ ）
A．6B．8C．10D．8或10
【即學(xué)即練2】已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程的兩根，則該等腰三角形的底邊長為（ ）
A．2B．4C．8D．2或4
考法03 選擇適當(dāng)方法解一元二次方程
【例題3】選擇適當(dāng)方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
【即學(xué)即練1】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?br>（1）x2＋10x＋21＝0
（2）4x2－4x＋1＝x2＋6x＋9
考法04 整體代換
【例題4】若，求的值．
【即學(xué)即練1】解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．方程x2﹣9x＋18＝0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為（ ）
A．12B．15C．12或15D．不能確定
2．若關(guān)于x的一元二次方程有一個根是0，那么m的值為（ ）
A．2B．3C．3或2D．
3．一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程的兩根，則該等腰三角形的周長是（ ）
A．12B．9C．13D．12或9
4．若菱形ABCD的一條對角線長為8，邊CD的長是方程x2﹣10x+24＝0的一個根，則該菱形ABCD的周長為（ ）
A．16B．24C．16或24D．48
5．一元二次方程的兩根為、，那么二次三項式可分解為（ ）
A．B．C．D．
6．若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的兩個實根分別為5，﹣6，則二次三項式x2+mx+n可分解為（ ）
A．（x+5）（x﹣6）B．（x﹣5）（x+6）C．（x+5）（x+6）D．（x﹣5）（x﹣6）
7．一個等腰三角形的腰和底邊長分別是方程的兩根，則該等腰三角形的周長是________．
8．已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，則該三角形的周長是_____．
9．解下列方程
（1）（用配方法）
（2）（因式分解法）
（3）（公式法）
（4）（直接開平方法）
10．解下列一元二次方程：
（1）5x﹣2=（2﹣5x）（3x+4）
（2）4（x+3）2=25（x﹣2）2
11．已知關(guān)于x的方程x2 -(m+1)x+2(m-1)=0，
（1）求證：無論m取何值時，方程總有實數(shù)根；
（2）若等腰三角形腰長為4，另兩邊恰好是此方程的根，求此三角形的另外兩條邊長.
題組B 能力提升練
1．在解一元二次方程x2+px+q＝0時，小紅看錯了常數(shù)項q，得到方程的兩個根是﹣3，1．小明看錯了一次項系數(shù)P，得到方程的兩個根是5，﹣4，則原來的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
2．如圖，在一次函數(shù)的圖象上取一點P，作PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，且矩形PBOA的面積為5，則在x軸的上方滿足上述條件的點P共有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
3．已知，則等于（ ）
A．或B．6或1C．或1D．2或3
4．方程的解是（ ）
A．2或0B．±2或0C．2D．－2或0
5．已知2是關(guān)于x的方程x2﹣（5+m）x+5m＝0的一個根，并且這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長，則△ABC的周長為（ ）
A．9B．12C．9或12D．6或12或15
6．已知，則的值是_____________．
7．解方程：.
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．閱讀理解：對于x3﹣（n2+1）x+n這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解運用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解決問題：求方程x3﹣5x+2＝0的解為_____．
2．已知，，，求值．
3．已知，，為有理數(shù)，且多項式能夠?qū)懗傻男问剑?br>（1）求的值．
（2）求的值．
（3）若，，為整數(shù)，且，試求，，的值．
4．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016．
5．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
6．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
課程標(biāo)準(zhǔn)
(1)會用因式分解法解一元二次方程.
(2)能選用合適的方法解一元二次方程.
因式分解法解一元二次方程
根據(jù)
將一元二次方程因式分解,使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個一次式分別等于0,即，則 ；
實質(zhì)
將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程
步驟
示例：
解釋
1、移


2、分


3、化


4、解


方法
特點
舉例
直接開方法
解一元二次方程最簡單的方法.若方程可化為 的形式,則宜選用直接開平方法求解
配方法
解一元二次方程最基本的方法,它適用于解所有的一元二次方程.配方法要先配方,再降次.通過配方法可以推出求根公式
公式法
解一元二次方程最通用的方法,它適用于解所有的一元二次方程.公式法是直接利用求根公式解方程
因式分解法
解一元二次方程較簡單的方法.當(dāng)方程的一邊為0,另一邊易化為兩個一次因式的積時,就可優(yōu)先選用因式分解法求解
第04課 因式分解法
目標(biāo)導(dǎo)航
知識精講
知識點01 因式分解法
1、適合用因式分解法求解的一元二次方程的特點
（1）方程一邊為0；
（2）另一邊易于分解成兩個一次因式乘積的形式.
【注意】
（1）因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程,不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解.
（2）用因式分解法解一元二次方程時,一定要把方程的右邊化為0,否則會出現(xiàn)錯誤.
（3）用因式分解法解方程時，不要將方程兩邊同時除以含有未知數(shù)的式子,這樣容易造成丟根現(xiàn)象.
2、利用因式分解解一元二次方程的常用方法
（1）提公因式法:把多項式各項的公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式.
（2）逆用平方差公式和完全平方公式來分解因式.
3、因式分解法解一元二次方程的一般步驟
知識點02 簡單的十字相乘法
①化簡下列整式乘法：

【總結(jié)】
那么對于二次三項式=
②化簡下列整式乘法：

【總結(jié)】
那么對于二次三項式=
③化簡下列整式乘法：

【總結(jié)】
那么對于二次三項式=;
那么對于二次三項式=
【注意】
簡單的十字相乘法，必須要讓一元二次方程的a=1.
知識點03 靈活選用合適的方法解一元二次方程
【注意】
一元二次方程的解法選擇
1.選擇順序:直接開平方法→因式分解法→公式法.
2.若方程為(mx+n)2=p(p≥0)型時,用直接開平方法.
3.若方程右邊為0,而左邊易于分解成兩個一次因式的積時,可用因式分解法.
4.若方程二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為偶數(shù),可用配方法.
5.若用直接開平方法和因式分解法不能求解時,可用公式法.
能力拓展
考法01 因式分解法
【例題1】方程 x（x+5）=0 的根是（ ）
A．x=5B．x=﹣5C．x1=0，x2=5D．x1=0，x2=﹣5
【答案】D
【解析】
解：方程x(x+5)=0,
可得x=0或x+5=0,
解得:=0,或=-5.
故選D.
【即學(xué)即練1】三角形兩邊長分別為2和4，第三邊長是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0的解，則這個三角形周長為（ ）
A．8 B．8和10 C．10 D．8 或10
【答案】C
【解析】
x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，解得：x＝4或2．分兩種情況討論：
①三角形的三邊為2、2、4時，不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時不能組成三角形；
②三角形的三邊為2、4、4時，符合三角形三邊關(guān)系定理，此時能組成三角形，組成的三角形周長為2+4+4＝10．
故選C．
【即學(xué)即練2】一元二次方程的根是（ ）
A．﹣1B．2C．1和2D．﹣1和2
【答案】D
【解析】
或
，x2=-1．
故選：D．
【即學(xué)即練3】解方程，最簡便的方法是（ ）
A．配方法B．公式法C．因式分解法D．直接開平方法
【答案】C
【解析】
∵方程中有公因式（x-1），故可采用因式分解法求解，
故選C.
【即學(xué)即練4】用因式分解法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4） ．
【解析】
（1），
∴ ，
∴ ；
（2），
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（4） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
考法02 十字相乘法
【例題2】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解為（ ）
A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】C
【解析】
x2-4x+3=0，
分解因式得：（x-1）（x-3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
故選C．
【即學(xué)即練1】已知等腰三角形兩邊長分別是方程的兩個根，則三角形周長為（ ）
A．6B．8C．10D．8或10
【答案】C
【解析】
x2﹣6x+8=0，
解得x1=4，x2=2，
當(dāng)腰是2時，三邊分別2，2，4，不能組成三角形；
當(dāng)腰是4時，三邊分為4，4，2，能組成等腰三角形；
所以此等腰三角形的周長是4+4+2=10．
故選C．
【即學(xué)即練2】已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程的兩根，則該等腰三角形的底邊長為（ ）
A．2B．4C．8D．2或4
【答案】A
【解析】
解：x2－6x+8=0
（x－4）（x－2）=0
解得：x=4或x=2，
當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，2，4時，不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時不能組成三角形；
當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，4，4時，符合三角形三邊關(guān)系定理，此時能組成三角形，
所以三角形的底邊長為2，
故選：A．
考法03 選擇適當(dāng)方法解一元二次方程
【例題3】選擇適當(dāng)方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
【答案】(1)x1＝0，x2＝；(2)x1＝1，x2＝﹣．
【解析】
(1)3x﹣1＝±(x﹣1),
即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),
所以x1＝0,x2＝；
(2)3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,
(x﹣1)(3x+2)＝0,
x﹣1＝0或3x+2＝0,
所以x1＝1,x2＝﹣．
【即學(xué)即練1】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?br>（1）x2＋10x＋21＝0
（2）4x2－4x＋1＝x2＋6x＋9
【答案】（1）x1=－7， x2=－3；（2）x1=－， x2=4
【解析】
解：（1）x2＋10x＋21＝0；
（x+3）（x+7）=0；
x+3=0,x+7=0,
，；
（2）4x2－4x＋1＝x2＋6x＋9；
；
；
(3x+2)（x-4）=0；
；.
考法04 整體代換
【例題4】若，求的值．
【答案】4
【解析】
解：設(shè)，則有，
即，．
∴，．
∵，∴不合題意，舍去．
∴．
【即學(xué)即練1】解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．
【答案】x1＝﹣2，x2＝1
【解析】
解：設(shè)x2+x＝y(tǒng)，則原方程變形為y2+y﹣6＝0，
解得y1＝﹣3，y2＝2．
①當(dāng)y＝2時，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1；
②當(dāng)y＝﹣3時，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，
∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，
∴此方程無解；
∴原方程的解為x1＝﹣2，x2＝1．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．方程x2﹣9x＋18＝0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為（ ）
A．12B．15C．12或15D．不能確定
【答案】B
【解析】
解：方程變形得：，
解得：，，
當(dāng)3為腰，6為底時，三角形三邊為3，3，6，不能構(gòu)成三角形，舍去；
當(dāng)3為底，6為腰時，三角形三邊為6，6，3，周長為6＋6＋3＝15，
故選：B．
2．若關(guān)于x的一元二次方程有一個根是0，那么m的值為（ ）
A．2B．3C．3或2D．
【答案】A
【解析】
解：由一元二次方程的定義得：
解得
關(guān)于x的一元二次方程有一個根為0，
∴，
解得或（與不符，舍去），
故選A．
3．一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程的兩根，則該等腰三角形的周長是（ ）
A．12B．9C．13D．12或9
【答案】A
【解析】
解：因式分解可得：(x－2)(x－5)=0
解得：，
當(dāng)2為底，5為腰時，則三角形的周長為2+5+5=12；
當(dāng)5為底，2為腰時，則無法構(gòu)成三角形，
故選：A
4．若菱形ABCD的一條對角線長為8，邊CD的長是方程x2﹣10x+24＝0的一個根，則該菱形ABCD的周長為（ ）
A．16B．24C．16或24D．48
【答案】B
【解析】
解：如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分兩種情況：
①當(dāng)AB＝AD＝4時，4+4＝8，不能構(gòu)成三角形；
②當(dāng)AB＝AD＝6時，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周長＝4AB＝24．
故選：B．
5．一元二次方程的兩根為、，那么二次三項式可分解為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
若一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根為3、4，
那么有：(x－3)(x－4)＝0，
∴x2＋px＋q＝(x－3)(x－4)．
故選C.
6．若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的兩個實根分別為5，﹣6，則二次三項式x2+mx+n可分解為（ ）
A．（x+5）（x﹣6）B．（x﹣5）（x+6）C．（x+5）（x+6）D．（x﹣5）（x﹣6）
【答案】B
【解析】
根據(jù)題意可得
解得
所以二次三項式為x2+x-30
因式分解為x2+x-30=（x﹣5）（x+6）
故選B.
7．一個等腰三角形的腰和底邊長分別是方程的兩根，則該等腰三角形的周長是________．
【答案】14
【解析】
解：，
（x-2）（x-6）=0，
x1=2，x2=6，
當(dāng)腰長為2時，三角形的三邊為2，2，6，不符合三角形的三角關(guān)系，舍去；
當(dāng)腰長為6時，三角形的三邊關(guān)系為6，6，2，符合三角形的三角關(guān)系，
則周長為：6+6+2=14，
故答案為：14．
8．已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，則該三角形的周長是_____．
【答案】7
【解析】
x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0或x﹣1=0，所以x1=3，x2=1．
①當(dāng)三角形的腰為3，底為1時，三角形的周長為3+3+1=7；
②當(dāng)三角形的腰為1，底為3時不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去．
所以三角形的周長為7．
故答案為7．
9．解下列方程
（1）（用配方法）
（2）（因式分解法）
（3）（公式法）
（4）（直接開平方法）
【答案】（1），；（2），；（3），；（4）
【解析】
解：（1），
，
，
，
所以，；
，
或，
所以，；
（3），
，
所以，；
（4），
所以．
10．解下列一元二次方程：
（1）5x﹣2=（2﹣5x）（3x+4）
（2）4（x+3）2=25（x﹣2）2
【答案】（1）x1= x2=﹣ ；（2）= 或=.
【解析】
（1）解：原式=（2﹣5x）+（2﹣5x）（3x+4）=0
∴（2﹣5x）（1+3x+4）=0
解得：x1= x2=﹣
（2）解：4（x+3）2﹣25（x﹣2）2=0，
[2（x+3）+5（x﹣2）][2（x+3）﹣5（x﹣2）]=0，
∴（7x﹣4）（-3x+16）=0
∴= 或=.
11．已知關(guān)于x的方程x2 -(m+1)x+2(m-1)=0，
（1）求證：無論m取何值時，方程總有實數(shù)根；
（2）若等腰三角形腰長為4，另兩邊恰好是此方程的根，求此三角形的另外兩條邊長.
【答案】證明見解析 4和2
【解析】
（1）證明：∵△=[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2≥0，
∴無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根；
（2）等腰三角形的腰長為4，將x=4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）=0，
解得：m=5，
∴原方程為x2﹣6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4．
組成三角形的三邊長度為2、4、4；
所以三角形另外兩邊長度為4和2．
題組B 能力提升練
1．在解一元二次方程x2+px+q＝0時，小紅看錯了常數(shù)項q，得到方程的兩個根是﹣3，1．小明看錯了一次項系數(shù)P，得到方程的兩個根是5，﹣4，則原來的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【解析】
解： 小紅看錯了常數(shù)項q，得到方程的兩個根是﹣3，1，
所以此時方程為： 即：
小明看錯了一次項系數(shù)P，得到方程的兩個根是5，﹣4，
所以此時方程為： 即：
從而正確的方程是：
故選：
2．如圖，在一次函數(shù)的圖象上取一點P，作PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，且矩形PBOA的面積為5，則在x軸的上方滿足上述條件的點P共有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【解析】
解：①當(dāng)0＜x＜6時，設(shè)點P（x，﹣x+6），
∴矩形PBOA的面積為5，
∴x（﹣x+6）=5，化簡，
解得，，
∴P1（1，5），P2（5，1），
②當(dāng)x＜0時，設(shè)點P（x，﹣x+6），
∴矩形PBOA的面積為5，
∴﹣x（﹣x+6）=5，
化簡，
解得，（舍去），
∴P3（，），
∴在x軸的上方滿足上述條件的點P的個數(shù)共有3個．
故選：C．
3．已知，則等于（ ）
A．或B．6或1C．或1D．2或3
【答案】A
【解析】
∵
∴
∴
∴=或.
故選A.
4．方程的解是（ ）
A．2或0B．±2或0C．2D．－2或0
【答案】B
【解析】
解：∵，
∴，
∴或或，
故選：B．
5．已知2是關(guān)于x的方程x2﹣（5+m）x+5m＝0的一個根，并且這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長，則△ABC的周長為（ ）
A．9B．12C．9或12D．6或12或15
【答案】B
【解析】
把x＝2代入方程x2?（5＋m）x＋5m＝0得4?2（5＋m）＋5m＝0，解得m＝2，
方程化為x2?7x＋10＝0，解得x1＝2，x2＝5，
因為這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長，
所以等腰△ABC的腰長為5，底邊長為2，
所以△ABC的周長為5＋5＋2＝12．
故選B．
6．已知，則的值是_____________．
【答案】5或10
【解析】
解：同時除以：
或
∴ ，
7．解方程：.
【答案】
【解析】
解：移項得：，
兩邊平方得：，
整理得：，
解得：，，
經(jīng)檢驗不是原方程的解，舍去，
∴是原方程的解.
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．閱讀理解：對于x3﹣（n2+1）x+n這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解運用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解決問題：求方程x3﹣5x+2＝0的解為_____．
【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【解析】
解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
則（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1，
故答案為：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
2．已知，，，求值．
【答案】5或13或10
【解析】
∵
∴
∴或
∵
∴
∴或
∵
∴當(dāng)時，；當(dāng)時，或
∴或13或10．
3．已知，，為有理數(shù)，且多項式能夠?qū)懗傻男问剑?br>（1）求的值．
（2）求的值．
（3）若，，為整數(shù)，且，試求，，的值．
【答案】（1）；（2）；（3），，．
【解析】
（1）是的一個因式，
，即，是方程的解，
，
得：③，
．
（2）由③得：④，
④代入①得：⑤，
．
（3），
，
，
解得：，
又，均為大于的整數(shù)，
可取的值有，，，，，
又為正整數(shù)，
，，
則，
，，．
4．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016．
【答案】原方程的解為x1＝4 029，x2＝－2．
【解析】
解：由題意得：
方程組 的解一定是原方程的解，解得x＝4 029，
方程組的解也一定是原方程的解，解得x＝－2，
∵原方程最多有兩個實數(shù)解，
∴原方程的解為x1＝4 029，x2＝－2．
5．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
【答案】x1＝，x2＝.
【解析】
原方程即[(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，
即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
設(shè)y＝x2－5x＋5，則原方程變?yōu)?y－1)(y＋1)＝48.
解得y1＝7，y2＝－7.
當(dāng)x2－5x＋5＝7時，解得x1＝，x2＝；
當(dāng)x2－5x＋5＝－7時，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23

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