說明：1．本卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時(shí)間120分鐘．
2．所有試題均在答題卡相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答．
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知，那么（ ）
A． B． C． D．
2．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A． B． C．0 D．1
3．命題“，”的否定為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4.已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（ ）
A．12B．24C．48 D．96
5．如圖，將程序框圖輸出的y看成輸入的x的函數(shù)，得到函數(shù)y＝f(x)，則y＝f(x)的圖象( )
A．關(guān)于直線x＝1對稱
B．關(guān)于直線x＝－1對稱
C．關(guān)于y軸對稱
D．關(guān)于點(diǎn)(0，0)對稱
6．若是拋物線上一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，于，若，則的周長為（ ）
A． B． C．10 D．12
7．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biē，nà）．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某鱉臑的三視圖，則該鱉臑的最長棱長為（ ）
A． B． C． D．
8．已知，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
9．將函數(shù)個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則面積的最大值是（ ）
A． B． C． D．
11．若函數(shù)對任意的都有恒成立，則與的大小關(guān)系正確的是（ ）
A． B．
C． D．無法比較大
12．已知，若存在實(shí)數(shù)（），當(dāng)（）時(shí)，滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非選擇題 共90分）
注意事項(xiàng)：必須使用0．5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指定的答題區(qū)域內(nèi)作答,作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚，答在試題卷上無效．
二、填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上．
13．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為________．
14．已知向量滿足，則 ．
15．正方形邊長為2，以為起點(diǎn)作射線交邊于，則的概率為 ．
16．將四個(gè)半徑為的小球放入一個(gè)大球中，則這個(gè)大球半徑的最小值為________．
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或推演步驟．
17．?dāng)?shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，某線下家電商場為提升人氣和提高營業(yè)額也開通了在線直播，下表統(tǒng)計(jì)了該商場開通在線直播的第x天的線下顧客人數(shù)y（單位：百人）的數(shù)據(jù)：
（1）根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，計(jì)算變量y與x的相關(guān)系數(shù)r,并用r判斷兩個(gè)變量y與x相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位）；
（2）根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，試求出該線性回歸方程并估計(jì)該商場開通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù)．
（參考公式：
回歸方程：，其中，）
（本小題滿分12分）
在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．
（1）求；
（2）若，，求．
19．（本小題滿分12分）
如圖，在三棱柱中，平面．
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，，求四棱錐的高．
20．（本小題滿分12分）
已知橢圓，點(diǎn)A，B為橢圓C的左右頂點(diǎn)（A點(diǎn)在左），，離心率為．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓C交于（與A，B不重合）兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上．
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）證明：．
請考生在22、23題中任選一題作答，共10分，如果多作，則按所作的第一題計(jì)分． 作答時(shí)，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題目題號(hào)的方框涂黑．
（本小題滿分10分）
瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利在1694年類比橢圓的定義，發(fā)現(xiàn)了雙紐線．雙紐線的圖形如圖所示，它的形狀像個(gè)橫著的“8”，也像是無窮符號(hào)“∞”．定義在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線．以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求雙紐線的極坐標(biāo)方程；
（2）雙紐線與極軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)M為C上一點(diǎn)，求面積的最大值（用表示）．
23．（本小題滿分10分）
已知函數(shù)．
（1）解不等式；
（2）設(shè)函數(shù)的最小值為，正數(shù)滿足，證明：．
郫都區(qū)高2021級(jí)第三次階段性考試數(shù)學(xué)（文科）參考答案
選擇題
CDBCD DCAAB CD
填空題
13. 4 14. 15. 16.
解答題
17.解：（1） ……………………………………………………………………1分
…………………………………………………………………………2分
…………………………………………………3分
……………………………………………………………………4分
………………………………………………………………………5分
……………………………………………………………………………6分
∴兩個(gè)變量y與x相關(guān)關(guān)系很強(qiáng). ………………………………………………………………………7分
（2）.…………………………………………………………………………8分
…………………………………………………………………………11分
故預(yù)估該商場開通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù)為33.2百人。…………………………………12分
18.（1）由題意可知，,
由，得，………………………………………………………………………………3分
由正弦定理可知，，……………………………………………………………………4分
由，得，即…………………………………………………………6分
（或………………………………………………………………………………2分
由正弦定理可知：，……………………………………………………4分
因?yàn)?，所?)………………………………………………………………6分
（2）由，可知角為銳角，
所以，得，，………………………………………………………8分
所以，………………………………………………………………………………9分
由，又，
得,…………………………………………………………………………………………………10分
由正弦定理得，所以，……………………………………………………………11分
由余弦定理，
得……………………………………………………………………12分
19.（1）證明：因?yàn)槠矫?，平?所以,……………………………………2分
又因?yàn)?，即，平面?
所以平面，又因?yàn)槠矫?…………………………………………………………4分
所以平面平面.…………………………………………………………………………………6分
（2）如圖，過點(diǎn)作，垂足為.
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面?br>所以四棱錐的高為.………………………………………………………………………………8分
因?yàn)槠矫妫矫?
所以,,
又因?yàn)?，為公共邊?br>所以與全等，所以.
設(shè)，則，所以為中點(diǎn)，,
又因?yàn)?所以,即，解得，
所以，
所以四棱錐的高為．……………………………………………………………………………12分
20.（1）由題意可知：，所以，所以，………………………………3分
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；…………………………………………………………………………4分
（2）證明：由題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線，，
聯(lián)立可得，……………………………………………………………5分
顯然，
所以，所以，…………………………………………7分
又因?yàn)椋?br>所以，……………………………………………………………9分
令，
則，，………………11分
解得，即
所以點(diǎn)P在定直線上.…………………………………12分
解：（1）當(dāng)時(shí)，
分
故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增分
所以有極小值，無極大值…………………………………………………………3分
由恒成立知，…………………………………………………………4分
令，則
由
即在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.……………………………………………………………5分
故………………………………………………………………………………………6分
所以……………………………………………………………………………………………………7分
由（2）知，當(dāng)時(shí)，即……………………………8分
故……………………………………………………………………9分
以此類推，
上式等號(hào)不會(huì)同時(shí)成立，將之疊加可得.……………………………………………………………………10分
.……………11分
所以.……………………………………………………………………………………12分
22.22.解：（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，如圖，
在雙紐線C上任取一點(diǎn)，
在中，，…………………………………………………………2分
在中，，…………………………………………………………………3分
依題意，，則，……………………………4分
即，整理得：，
所以雙紐線的極坐標(biāo)方程為．………………………………………………………………5分
（2）令，得，則點(diǎn)到極軸所在直線的距離為，………………………7分
則……………………………8分
，………………………………………………………………………………9分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，…………………………………………………………………………………10分
所以面積的最大值為．
（1）當(dāng)時(shí)，由
得，此時(shí)，；………………………………………………………………………………………1分
當(dāng)時(shí)，由
得，此時(shí)，；…………………………………………………………………………………2分
當(dāng)時(shí)，由，
解得，此時(shí)，.………………………………………………………………………………………3分
綜上所述，不等式的解集為.………………………………………………………………………………………………5分
（2）證明：由（1）可知，，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，
在上單調(diào)遞增，且，
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，……………………………………7分
所以，函數(shù)的最小值為，所以，
所以，………………………………8分
，………………………9分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.………………………………………10分x
1
2
3
4
5
y
10
12
15
18
20

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