說明：1．本卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時間120分鐘．
所有試題均在答題卡相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答．
第I卷（選擇題 共58分）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）
1．下列調(diào)查中，適合用普查的是（ ）
A．了解我省初中學(xué)生的家庭作業(yè)時間 B．了解“嫦娥四號”衛(wèi)星零部件的質(zhì)量
C．了解一批電池的使用壽命 D．了解某市居民對廢電池的處理情況
2．若隨機事件A，B滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
3．年巴黎奧運會中國代表隊獲得金牌榜第一，獎牌榜第二的優(yōu)異成績．首金是中國組合黃雨婷和盛李豪在米氣步槍混合團體賽中獲得，兩人在決賽中次射擊環(huán)數(shù)如圖，則（ ）
A．盛李豪射擊環(huán)數(shù)的標準差小于黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的標準差
B．黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的第百分位數(shù)為
C．盛李豪的平均射擊環(huán)數(shù)超過
D．黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的極差小于盛李豪射擊環(huán)數(shù)的極差
4．下列命題中正確的是（ ）
A．點關(guān)于平面對稱的點的坐標是
B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則
C．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與所成角為
D．若A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，已知O為空間任意一點，且，則
5．平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，為與的交點，則線段的長為（ ）
A．3 B． C． D．
6．如圖，一個正八面體，八個面分別標以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為，記事件“得到的點數(shù)為奇數(shù)”，記事件“得到的點數(shù)不大于4”，記事件“得到的點數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說法正確的是（ ）
A．事件與互斥B．
C．事件兩兩獨立D．
7．鐘鼓樓是中國傳統(tǒng)建筑之一，屬于鐘樓和鼓樓的合稱，是主要用于報時的建筑．中國古代一般建于城市的中心地帶，在現(xiàn)代城市中，也可以常?？匆姼接戌姌堑慕ㄖ鐖D，在某市一建筑物樓頂有一頂部逐級收攏的四面鐘樓，四個大鐘對稱分布在正方體的四個側(cè)面中心位置（四個大鐘的鐘面圓心是正方體側(cè)面的中心），在整點時刻（在0點至12點中取整數(shù)點，含0點，不含12點），已知在3點時和9點時，相鄰兩鐘面上的時針所在的兩條直線相互垂直，則在2點時和8點時，相鄰兩鐘面上的時針所在的兩條直線所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，在長方體中，已知，．動點P從出發(fā)，在棱上勻速運動；動點Q同時從B出發(fā)，在棱BC上勻速運動，P的運動速度是Q的兩倍，各自運動到另一端點停止．它們在運動過程中，設(shè)直線PQ與平面ABCD所成的角為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分）
9．某中學(xué)三個年級學(xué)生共2000人，且各年級人數(shù)比例如以下扇形圖．現(xiàn)因舉辦校慶活動，以按比例分配的分層抽樣方法，從中隨機選出志愿服務(wù)小組，已知選出的志愿服務(wù)小組中高一學(xué)生有32人，則下列說法正確的有（ ）
A．該學(xué)校高一學(xué)生共800人
B．志愿服務(wù)小組共有學(xué)生96人
C．志愿服務(wù)小組中高三學(xué)生共有20人
D．某高三學(xué)生被選入志愿服務(wù)小組的概率為
10．下列對隨機事件A , B概率的說法正確的有（ ）
A． B．
C．
D．
11．若一個平面與棱長為2的正方體的六個面都相交，且它們相交所成的二面角分別為（），則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．若正方體的每條棱與平面所成角都相等，則平面截此正方體所得截面面積的最大值為
D．若正方體的每個面與平面所成角都相等，則平面截此正方體所得截面面積的最大值為
第II卷（非選擇題 共92分）
注意事項： 必須使用0．5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指定的答題區(qū)域內(nèi)作答,作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0．5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚，答在試題卷上無效．
填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12．甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨立，若甲、乙各射擊一次，則恰有一人中靶的概率為 ．
已知一組數(shù)據(jù)，，．．．，的平均數(shù)為10，方差為2，若這組數(shù)據(jù)，，．．．，的平均數(shù)為，方差為，則= , = ．
兩條異面直線所成的角為，在直線上取點，在直線上取點，使，且．已知，則線段的長為 ．
四、解答題（本大題共5小題共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15．(本小題滿分13分)
已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍球的概率是．
(1)求盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)；
(2)設(shè)置游戲規(guī)則如下：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色．若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝，從概率的角度判斷這個游戲是否公平，請說明理由．
16．(本小題滿分15分)
文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者．某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取份作為樣本，將樣本的成績（滿分分，成績均為不低于分的整數(shù)）分成六段：40,50，50,60，，90,100得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中的值及樣本成績的第百分位數(shù)；
(2)求樣本成績的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；
(3)已知落在50,60的平均成績是54，方差是，落在60,70的平均成績?yōu)?6，方差是，求兩組成績合并后的平均數(shù)和方差．
17．(本小題滿分15分)
如圖，在四棱錐 ，平面 ，，且 ，，，，，為的中點．
(1)求證：平面；
(2)求點N到平面的距離；
(3)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
18．(本小題滿分17分)
某班同學(xué)利用春節(jié)進行社會實踐，對本地歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，將生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖．
人數(shù)統(tǒng)計表 （二）各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖
(1)在答題卡給定的坐標系中補全頻率分布直方圖，并求出、、的值；
(2)從歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動．若將這6個人通過抽簽分成甲、乙兩組，每組的人數(shù)相同，求歲中被抽取的人恰好又分在同一組的概率．
19．(本小題滿分17分)
已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量的夾角，記作．定義與的“外積”為，且是一個向量，它與向量都垂直，它的模．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，為線段上一點，．
(1)求的長；
(2)若為的中點，求平面PEB與平面ABCD夾角的余弦值；
(3)若為線段上一點，且滿足，求
數(shù)學(xué)答案
選擇題
多選題
填空題
0.46 .
= 19 , = 8 .(第一空2分，第二空3分）
.（若只填了一個給2分）
解答題
(本小題滿分13分)
解:（1）設(shè)盒中紅球、黃球、藍球個數(shù)分別為x，y，z，從中任取一球，得到紅球或黃球為事件A，得到黃球或藍球為事件B，
則
由已知得
分
解得

所以盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)分別是2，1，1. 分
（2）由（1）知紅球、黃球、藍球個數(shù)分別為2個，1個，1個，
用，表示紅球的編號，用表示黃球的編號，用表示藍球的編號，
用表示第一次取出的球的編號，用表示第二次取出的球的編號，用表示試驗的樣本點，
則樣本空間，．
可得， 分
記“取到兩個球顏色相同”為事件，“取到兩個球顏色不相同”為事件，
則，所以， 分
所以， 分

因為，所以此游戲不公平． 分
(本小題滿分15分)
解：（1）由每組小矩形的面積之和為1得，，
解得. 分
成績落在內(nèi)的頻率為，
落在內(nèi)的頻率為，
顯然第百分位數(shù)，由，解得，
所以第75百分位數(shù)為8 4. 分
樣本成績的眾數(shù)為7 5. 分
成績落在[40,70)內(nèi)的頻率為0.05+0.1+0.2=0.3 5,
成績落在內(nèi)的頻率為,
顯然中位數(shù)在[7 0,8 0)內(nèi)
樣本成績的中位數(shù)為7 5. 分
得樣本成績的平均數(shù)為7 4. 分
（3）由頻率分布直方圖知，成績在的市民人數(shù)為，
成績在的市民人數(shù)為，
分
由樣本方差計算總體方差公式，得總方差為
. 分
17.(本小題滿分15分)
解法一：過作，垂足為，則，
分
如圖，以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，
則， 分
∵N為的中點，
（1），
設(shè)平面的一個法向量為 ，
則，令，解得，分
分
即，
又平面， 分
所以平面； 分

分
（3）存在，且，理由如下：
假設(shè)線段上存在一點，設(shè)，
，
則分
又因為直線與平面所成角的正弦值為，
平面的一個法向量，
，
化簡得，即，
，故存在，且分
解法二:

分
分
分
分
分
分

分
分
分
分
假設(shè)線段上存在一點，設(shè)，
，
則分
故存在，且 分
18.(本小題滿分17分)
（1）結(jié)合頻率分布直方圖可知，
第二組的頻率為， 分
所以第二組高為．
故補全頻率分布直方圖如下：
分
結(jié)合人數(shù)統(tǒng)計表與頻率分布直方圖，可知第一組的人數(shù)為，頻率為，所以； 分
因為第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為，
所以； 分
因為第四組的頻率為，所以第四組的人數(shù)為，
所以． 分
（2）因為歲年齡段的“低碳族”與歲年齡段的“低碳族”的比為，
所以采用分層抽樣法抽取6人，
則在歲中抽取4人，在歲中抽取2人． 分
設(shè)年齡在中被抽取的4個人分別為：；
年齡在歲中被抽取的2個人分別為：；
分
記“歲中被抽取的人恰好有分在同一組” 為事件C，
分
所以. 分
(本小題滿分17分)
解法一
由題意，以為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
設(shè)，由已知，
則, 分
則，
則， . 分
分
由題意知,
所以有，
則，解得（舍去），
故的長為. 分
（2）由（1）知，,
又為的中點，則，，
分
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則.
故平面的一個法向量為， 分
分
（3）由（1）可得，
由題意，設(shè)，，
則 分
則，
分
由可知，， 分
且，由，
則，解得； 分
則，
則解得，， 分
則，
又，解得. 分
解法二：
①
分
分
代入①式得
分
分
∴ΔDFE ?? ΔBAE
分
分
（3）同解法一 （注意：若前兩問用的幾何法，第（3）問用向量法，則第（3）下問按照6分的標準評分。）
序號
分組（歲）
本組中“低碳族”人數(shù)
“低碳族”人數(shù)在本組所占的比例
1
[25, 30)
120
0.6
2
[30, 35)
195
p
3
[35, 40)
100
0.5
4
[40, 45)
a
0.4
5
[45, 50)
30
0.3
6
15
0.3
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
A
C
C
D
B
D
題號
9
10
11
答案
AC
ACD
BCD

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