滿分：150分 考試時(shí)量：120分鐘
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則等于（ ）
A．2B．3C．8D．9
3．已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
5．函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：，，，，，，那么方程的一個(gè)近似解（精確度為0.1）為（ ）
A．1.5B．1.25C．1.41D．1.44
6．已知函數(shù)（且）是增函數(shù)，那么的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的不得分）
9．下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是（ ）
A．已知，則，
B．，為偶數(shù)
C．所有菱形的四條邊都相等
D．是無(wú)理數(shù)
10．已知，則（ ）
A．B．C．D．
11．下圖是函數(shù)的部分圖象，則的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
12．函數(shù)的圖象為，如下結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．對(duì)任意的，都有
C．在上是增函數(shù)
D．由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得曲線
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上）
13．不等式解集為_(kāi)_____．
14．已知，且，函數(shù)若存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．
15．Lgistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)（單位：天）的Lgistic模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為_(kāi)_____天．（注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）
16．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)偶函數(shù)圖象，則______．
四、解答題（共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（10分）已知集合，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>（1）若，求集合；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．（12分）已知關(guān)于的不等式解集為
（1）求和的值；
（2）當(dāng)，，且滿足時(shí)，有恒成立，求的取值范圍．
19．（12分）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離為．
（1）求的解析式；
（2）若，求的值．
20．（12分）已知某觀光海域段的長(zhǎng)度為3百公里，一超級(jí)快艇在段航行，經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)得到其每小時(shí)航行費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與速度（單位：百公里/小時(shí)）的以下數(shù)據(jù)：
為描述該超級(jí)快艇每小時(shí)航行費(fèi)用與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，．
（1）試從中確定最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）該超級(jí)快艇應(yīng)以多大速度航行才能使段的航行費(fèi)用最少？并求出最少航行費(fèi)用．
21．（12分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間．
22．（12分）已知函數(shù)為偶函數(shù)．
（1）求的值；
（2）若函數(shù)，，是否存在實(shí)數(shù)使得的最小值為0，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
答案
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．答案 A 解析 由得，所以．
2．答案 D 解析 當(dāng)時(shí)，，
∴函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，
設(shè)，則，解得，∴，∴．
3．答案 A
4．答案 D
5．答案 C
6．答案 B 解析 依題設(shè)知，且的定義域?yàn)椋?br>∴在上是減函數(shù)．
7．答案 D 解析 因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．
8．答案 A 解析∵的定義域?yàn)椋?br>且，
∴函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
∴不等式等價(jià)為．
∴，且，即且．
∴且．
∴不等式的解集為．
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的不得分）
9．答案 AC 解析 對(duì)A，是全稱量詞命題，是真命題，故A正確；
對(duì)B，是真命題，但不是全稱量詞命題，故B不正確；
對(duì)C，是全稱量詞命題，也是真命題，故C正確；
對(duì)D，是真命題，但不是全稱量詞命題，故D不正確．
10．答案 ACD
11．答案 BC
12．答案 BC 解析．因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋蔄錯(cuò)誤；又，則函數(shù)關(guān)于成中心對(duì)稱，對(duì)任意的，都有成立，故B正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上是增函數(shù)，故C正確；由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，故D錯(cuò)誤．
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上）
13．答案
14．答案
15．答案 62 ∵，∴，，
則，解得．
16．答案 解析 因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到偶函數(shù)圖象，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，所以．因?yàn)?，所以?br>四、解答題（共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．解 （1）∵，∴．
又，∴．
（2）若，則，解得，滿足．
若，則由，可知或
解得或，綜上可知，的取值范圍是．
18．解 （1），
（2）的取值范圍為．
19．解 （1）設(shè)最高點(diǎn)為，相鄰的最低點(diǎn)為，則．
由勾股定理得，．∴．．
又，∴，，由于是偶函數(shù)，知．
又，則，所以．
（2）∵，∴，∴．
∴．
20．解 （1）若選擇函數(shù)模型，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，這與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相矛盾，所以不選擇該函數(shù)模型；
若選擇函數(shù)模型，須，這與試驗(yàn)數(shù)據(jù)在時(shí)有意義矛盾，所以不選擇該函數(shù)模型；從而只能選擇函數(shù)模型．
由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得即解得
故所求函數(shù)解析式為．
（2）設(shè)超級(jí)快艇在段的航行費(fèi)用為（萬(wàn)元），則所需時(shí)間為小時(shí)，其中，
結(jié)合（1），可得，
所以當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)該超級(jí)快艇以1百公里/小時(shí)航行時(shí)，可使段的航行費(fèi)用最少，且最少航行費(fèi)用為2.1萬(wàn)元．
21．解 （1）由題圖可知，故，所以．
又由，得，即，
解得．又，∴當(dāng)時(shí)，．
又，∴．∴，∴．
（2）將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，再將圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到的圖象．
由，得．
故的單調(diào)遞增區(qū)間為．
23．解 （1）由函數(shù)是偶函數(shù)可得，
∴，則，
即對(duì)于，恒有．解得．
（2）由（1）知，，
令，則，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱軸，
則在上單調(diào)遞增，∴，∴（舍）；
③當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱軸，
（?。┊?dāng)，即時(shí)，，∴，∴；
（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，
，∴，∴（舍），
綜上，存在使得的最小值為0．0
1
2
3
0
0.7
1.6
3.3

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