?湖南省岳陽(yáng)市湘陰縣2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷
學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、解答題
1、已知復(fù)數(shù)，則該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、設(shè)平面向量，點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為( )
A.（-2，4） B.（2，-4） C.（-4，8） D.（4，-8）
3、如圖，在四邊形中，，，，且，.

（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若M，N是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值.
4、某校高一年級(jí)為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二.為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.
（1）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；
（2）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率.
5、如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，，且平面平面.

（1）若點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱PC，AB的中點(diǎn)，求證：CDEF；
（2）若直線PC與AB所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.
6、望城圣得西服飾集團(tuán)計(jì)劃今年夏天在其下屬實(shí)體店銷售一男款襯衫，上市之前擬在該公司的線上專營(yíng)店進(jìn)行連續(xù)20天的試銷，定價(jià)為260元/件.試銷結(jié)束后統(tǒng)計(jì)得到該線上專營(yíng)店這20天的日銷售量（單位：件）的數(shù)據(jù)如圖.

（1）若該線上專營(yíng)店試銷期間每件襯衫的進(jìn)價(jià)為200元，求試銷期間該襯衫日銷售總利潤(rùn)高于9500元的頻率.
（2）試銷結(jié)束后，這款襯衫正式在實(shí)體店銷售，每件襯衫定價(jià)為360元，但公司對(duì)實(shí)體店經(jīng)銷商不零售，只提供襯衫的整箱批發(fā)，大箱每箱有70件，批發(fā)價(jià)為160元/件；小箱每箱有60件，批發(fā)價(jià)為165元/件.某實(shí)體店決定每天批發(fā)大小相同的2箱襯衫，根據(jù)公司規(guī)定，當(dāng)天沒(méi)銷售出的襯衫按批發(fā)價(jià)的8折轉(zhuǎn)給另一家實(shí)體店.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗(yàn)，該實(shí)體店的銷售量為線上專營(yíng)店銷售量的80%，以線上專營(yíng)店這20天的試銷量估計(jì)該實(shí)體店連續(xù)20天的銷售量.以該實(shí)體店連續(xù)20天銷售該款襯衫的總利潤(rùn)作為決策，試問(wèn)該實(shí)體店每天應(yīng)該批發(fā)2大箱襯衫還是2小箱襯衫？
7、在①；
②；
③；
這三個(gè)條件中任選一個(gè)，并解答問(wèn)題.
在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.
（1）求角B的大?。?br /> （2）若為銳角三角形，且，求的面積的取值范圍.
8、插花是一種高雅的審美藝術(shù)，是表現(xiàn)植物自然美的一種造型藝術(shù)，與建筑、盆景等藝術(shù)形式相似，是最優(yōu)美的空間造型藝術(shù)之一.為了通過(guò)插花藝術(shù)激發(fā)學(xué)生對(duì)美的追求，湖南湘杏學(xué)院舉辦了以“魅力校園、花香溢校園”為主題的校園插花比賽.比賽按照百分制的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)分，評(píng)委由10名專業(yè)教師、10名非專業(yè)教師以及20名學(xué)生會(huì)代表組成，各參賽小組的最后得分為評(píng)委所打分?jǐn)?shù)的平均分.比賽結(jié)束后，得到甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和乙組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表，如下所示：

分?jǐn)?shù)區(qū)間
頻數(shù)
[72，76）
1
[76，80）
5
[80，84）
12
[84，88）
14
[88，92）
4
[92，96）
3
[96，100]
1
定義評(píng)委對(duì)插花作品的“觀賞值”如下所示：
分?jǐn)?shù)區(qū)間
[72，84）
[84，92）
[92，100]
觀賞值
1
2
3
（1）估計(jì)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；
（2）從40名評(píng)委中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)其對(duì)乙組插花作品的“觀賞值”比對(duì)甲組插花作品的“觀賞值”高的概率；
（3）若該校擬從甲、乙兩組插花作品中選出1個(gè)用于展覽，從這兩組插花作品的最后得分來(lái)看該校會(huì)選哪一組？請(qǐng)說(shuō)明理由.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
二、選擇題
9、某中學(xué)高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)比為，防疫站欲對(duì)該校學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從該校三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知樣本中高三年級(jí)的學(xué)生有21人，則n等于( )
A.35 B.45 C.54 D.63
10、某網(wǎng)站舉行購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定購(gòu)物消費(fèi)每滿100元就送一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，中獎(jiǎng)的概率為10％.那么以下理解正確的是( )
A.某人抽獎(jiǎng)100次，一定能中獎(jiǎng)10次
B.某人消費(fèi)1000元，至少能中獎(jiǎng)1次
C.某人抽獎(jiǎng)1次，一定不能中獎(jiǎng)
D.某人抽獎(jiǎng)10次，可能1次也沒(méi)中獎(jiǎng)
11、某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p，已知兩個(gè)系統(tǒng)至少有一個(gè)能正常運(yùn)作，小區(qū)就處于安全防范狀態(tài).若要求小區(qū)在任意時(shí)刻均處于安全防范狀態(tài)的概率不低于，則p的最大值為( )
A. B. C. D.
12、如圖，在長(zhǎng)方體中，若E，F(xiàn)，G，H分別是棱，，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定成立的是( )

A.四邊形是矩形 B.四邊形是正方形
C. D.平面平面
13、在平行四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若向量，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是( )
A. B. C. D.
14、十二水硫酸鋁鉀是一種無(wú)機(jī)物，又稱明礬，是一種含有結(jié)晶水的硫酸鉀和硫酸鋁的復(fù)鹽.我們連接一個(gè)正方體各個(gè)面的中心，可以得到明礬晶體的結(jié)構(gòu)，即為一個(gè)正八面體（如圖）.假設(shè)該正八面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則二面角的余弦為( )

A. B. C. D.
三、多項(xiàng)選擇題
15、已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則下列命題中正確的為( )
A. B.z的虛部是4
C.是純虛數(shù) D.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為
16、空氣質(zhì)量指數(shù)分為“優(yōu)”“良”“輕度污染”“中度污染”“重度污染”“嚴(yán)重污染”六個(gè)等級(jí)，指數(shù)越大說(shuō)明污染的情況越嚴(yán)重，對(duì)人體危害越大，這六個(gè)等級(jí)分別對(duì)應(yīng)的指數(shù)范圍為，，，，，，如圖是湘陰縣連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，下面說(shuō)法正確的是( )

A.這14天中有4天空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”
B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來(lái)越差
C.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103
D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小的是9日到11日
17、已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，其中，a，b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位.定義：復(fù)數(shù)為“目標(biāo)復(fù)數(shù)”，其中和分別為“目標(biāo)復(fù)數(shù)”的實(shí)部和虛部，則下列結(jié)論正確的為( )
A.
B.
C.若，則，
D.若，，且，則銳角的值為
18、如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題中正確的是( )

A.直線BC與平面所成的角等于
B.點(diǎn)C到平面的距離為
C.異面直線和所成的角為
D.二面角的平面角的余弦值為
四、填空題
19、已知點(diǎn)與，點(diǎn)P在直線上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______________.
20、有4萬(wàn)個(gè)不小于70的兩位數(shù)，從中隨機(jī)抽取了3000個(gè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下：
數(shù)據(jù)x



個(gè)數(shù)
800
1300
900
平均數(shù)
78.1
85
91.9
請(qǐng)根據(jù)表格中的信息，估計(jì)這4萬(wàn)個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_________________.
21、如圖，四邊形中，，分別是以和為底的等腰三角形，其中，，，則_______________.

五、雙空題
22、在《九章算術(shù)》中，底面是直角三角形的直三棱柱被稱為“塹堵”，如圖，棱柱為一“塹堵”，P是的中點(diǎn)，，則在過(guò)點(diǎn)P且與直線平行的截面中，當(dāng)截面圖形為等腰梯形時(shí)，該截面的面積等于____________，該“塹堵”的外接球的表面積為_(kāi)___________.

參考答案
1、答案：D
解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是（3，-1），故選D.
2、答案：B
解析：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），
所以，
解得，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
故選B.
3、答案：（1）
（2）的最小值為
解析：（1）以B為原點(diǎn)，所在直線為x軸，
過(guò)B且垂直于的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，
則，，
，
.
（2）通過(guò)設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，將表示為關(guān)于x的二次函數(shù)，
利用函數(shù)的性質(zhì)求得最值，體現(xiàn)函數(shù)思想.
不妨設(shè)，，且，
，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值.
4、答案：（1）
（2）
解析：（1）設(shè)“該校男生支持方案一”為事件A，“該校女生支持方案一”為事件B.
依題意知，抽取的樣本中共有男生600人，其中支持方案一的有200人，
故；
抽取的樣本中共有女生400人，其中支持方案一的有300人，
故.
（2）由（1）可知，“該校男生支持方案一”的概率估計(jì)值為；
“該校女生支持方案一”的概率估計(jì)值為.
設(shè)“抽取的該校2個(gè)男生和1個(gè)女生中，支持方案一的恰有2人”為事件C，
該事件包括“2個(gè)男生均支持方案一而女生不支持方案一”
“2個(gè)男生中有且只有1人支持方案一且女生支持方案一”，
故所求概率為.
5、答案：（1）見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）如圖，取PD的中點(diǎn)G，連接EG，AG.
是PC的中點(diǎn)，
，.
為AB的中心，
，
且.
由四邊形AFEG為平行四邊形，
.
取AD的中點(diǎn)O，連接PO，
，
，
又平面平面ABCD，且平面平面，
平面ABCD，
則.
又，，
平面PAD，
，
，
.
（2）由（1）知，平面PAD，
，
設(shè)，
直線與所成角的正弦值為，
即，
，
即，
.
則.
在中，.
如圖，取BC的中點(diǎn)M，連接PM，OM，則，
由（1）知，，則平面POM，
.
則為二面角的平面角.
在中，，，
.

二面角的余弦值為?.
6、答案：（1）0.55
（2）見(jiàn)解析
解析：（1）因?yàn)樵囦N期間每件襯衫的利潤(rùn)為（元），
所以要使得日銷售總利潤(rùn)高于9500元，
則日銷售襯衫的件數(shù)大于，
故所求頻率為.
（2）由題可估計(jì)該實(shí)體店20天的日銷售量情況為
3天日銷售量為（件），
6天日銷售量為（件），
7天日銷售量為（件），
4天日銷售量為（件）.
若選擇批發(fā)2小箱，則批發(fā)成本為（元），
當(dāng)日銷售量為48件時(shí)，
日利潤(rùn)為（元）；
當(dāng)日銷售量為80件時(shí)，
日利潤(rùn)為（元）；
當(dāng)日銷售量為128件或160件時(shí)，
日利潤(rùn)為（元）.
所以這20天銷售這款襯衫的總利潤(rùn)為
（元）.
若選擇批發(fā)2大箱，
則批發(fā)成本為（元），
當(dāng)日銷售量為48件時(shí)，
日利潤(rùn)為（元）；
當(dāng)日銷售量為80件時(shí)，
日利潤(rùn)為（元）；
當(dāng)日銷售量為128件時(shí)，
日利潤(rùn)為（元）；
當(dāng)日銷售量為160件時(shí)，
日利潤(rùn)為（元）.
所以這20天銷售這款襯衫的總利潤(rùn)為
（元）.
因?yàn)椋?br /> 所以該實(shí)體店應(yīng)該每天批發(fā)2大箱襯衫.
7、答案：（1）見(jiàn)解析
（2）見(jiàn)解析
解析：（1）選①，由及正弦定理可得，
因?yàn)锳、，
所以，
所以，
故.
選②，由及正弦定理可得
，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
故.
選③，由及正弦定理可得，
由余弦定理的推論可得，
因?yàn)椋?br /> 故.
（2）因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以，
可得，
所以，
由，
得，
所以，.
8、答案：（1）85.82
（2）0.225
（3）84.8
解析：（1）設(shè)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為x，由頻率分布直方圖可得甲組得分在前三個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間的頻率之和為0.3，在最后三個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間的頻率之和為0.26，
故，
所以，
解得.
估計(jì)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為85.82.
（2）設(shè)“對(duì)乙組插花作品的‘觀賞值’比對(duì)甲組插花作品的‘觀賞值’高”為事件C，
“對(duì)乙組插花作品的‘觀賞值’為2”為事件，
“對(duì)乙組插花作品的‘觀賞值’為3”為事件，
“對(duì)甲組插花作品的‘觀賞值’為1”為事件，
“對(duì)甲組插花作品的‘觀賞值’為2”為事件，
則.
，
，
由頻數(shù)分布表得，，
.
因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，其中，，
所以

，
所以估計(jì)該評(píng)委對(duì)乙組插花作品的“觀賞值”比對(duì)甲組插花作品的“觀賞值”高的概率為0.225.
（3）由頻率分布直方圖可知，甲組揷花作品的最后得分約為
.
由乙組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表，得
分?jǐn)?shù)區(qū)間
頻數(shù)
頻率

1
0.025

5
0.125

12
0.300

14
0.350

4
0.100

3
0.075

1
0.025
所以乙組插花作品的最后得分約為

.
9、答案：C
解析：該中學(xué)高一、高三、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)比為6:5:7，
高三年級(jí)學(xué)生數(shù)占總數(shù)的，
用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從該校三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，且高三年級(jí)被抽到的人數(shù)為21，
.
故選C.
10、答案：D
解析：
11、答案：A
解析：設(shè)系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的事件分別為M和N.
方法一：小區(qū)處于安全防范狀態(tài)的概率為
，
解得，故P的最大值為.
故選A.
方法二：小區(qū)在任意時(shí)刻均處于安全防范狀態(tài)的概率為，
解得，
故P的最大值為.
故選A.
12、答案：A
解析：在矩形中，
因?yàn)辄c(diǎn)E，H分別為，的中點(diǎn)，
所以，.
同理可得在矩形中，，.
所以，，
所以四邊形是平行四邊形.
在長(zhǎng)方體中，
有平面，又，
所以平面，又平面，
所以，所以四邊形是矩形，故選項(xiàng)A正確.
因?yàn)楦鶕?jù)題中條件無(wú)法判斷EH，EF的長(zhǎng)度是否相等，
所以四邊形不一定是正方形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
假設(shè)，則由，知，
連接，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，
所以，所以，與和為相交直線矛盾，
故假設(shè)不成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
因?yàn)楹蜑橄嘟恢本€，
所以平面與平面不平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選A.
13、答案：D
解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，
所以，
對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，
對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，即.
故選D.
14、答案：C
解析：如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接EF，
易知EG過(guò)點(diǎn)O，取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，
根據(jù)正八面體的幾何特征，
可知，，
又平面ABE，平面ABF，平面平面，
為二面角的平面角.
易知平面ABCD，則，
是直角三角形，又，，
，
.
在等邊三角形AEB中，，
同理.
在中，，
（點(diǎn)撥：靈活運(yùn)用余弦定理求三角形的內(nèi)角的余弦值），故選C.
15、答案：AD
解析：，故A正確；
z的虛部為-4，故B不正確；
，為實(shí)數(shù)，故C不正確；
復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是，故D正確.
故選AD.
16、答案：ABD
解析：根據(jù)題圖分析數(shù)據(jù)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷.
對(duì)于A，1日，3日，12日，13日，共4天空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”，故A正確；
對(duì)于B，從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來(lái)越高，故空氣質(zhì)量越來(lái)越差，故B正確；
對(duì)于C，中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，方差小說(shuō)明了個(gè)數(shù)據(jù)的波動(dòng)較小，由題圖可知D正確.
故選ABD.
17、答案：ACD
解析：由題意知

，
故，，故A正確，B錯(cuò)誤；
若，即，則，，故C正確；
若，，且，則，
即，
即，
因?yàn)闉殇J角，所以，
故D正確.
故選ACD.
18、答案：AB
解析：如圖，取的中點(diǎn)H，連接CH，易證平面，所以是直線BC與平面所成的角，為，故A正確.
點(diǎn)C到平面的距離即為CH的長(zhǎng)度，為，故B正確.
易證，所以異面直線和所成的角為（或其補(bǔ)角），連接AC，易知為等邊三角形，所以，所以異面直線和所成的角為，故C錯(cuò)誤.
連接DH，易知，所以，
又，，平面平面，
所以為二面角的平面角，易求得，
又，，
所以由余弦定理的推論可得
，
故D錯(cuò)誤.
故選AB.
19、答案：或
解析：點(diǎn)P在直線上，且，
或，
當(dāng)時(shí)，設(shè)P的坐標(biāo)為，
則，，
，
解得，
.
當(dāng)時(shí)，同理可得出P的坐標(biāo)為，
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.
20、答案：85.23
解析：這3000個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)，可知這4萬(wàn)個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)約為85.23.
21、答案：
解析：，分別是以AD和BD為底的等腰三角形，
且，
，
，
，
.
在中，，
.
在中，
，
.
22、答案：；
解析：如圖，分別取，，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接FG，EP，EF，PG，

則，且.
在直三棱柱中，
易知且，
E，P分別為，的葉點(diǎn)，
且，
四邊形為平行四邊形，
且，
，目，
，F(xiàn)，G，P四點(diǎn)共面.
E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，
，又平面，平面，
平面.
，且F，G分別為，的中點(diǎn)，
，
，
四邊形即為符合要求的等腰梯形.
當(dāng)E不是的中點(diǎn)時(shí)，不平行于平面，
則四邊形不是等腰梯形，故等腰梯形有且僅有一個(gè).
取的中點(diǎn)D，連接DF、DG，
，，
且點(diǎn)D為的中點(diǎn)，
且，
四邊形為平行四邊形，
可得，
同理可得，
、、均為等邊三角形.
.
將三棱柱補(bǔ)成正方體，
則其外接球即為正方體的外接球，
外接球的半徑，表面積為.


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