一、選擇題
1．下列運(yùn)算正確的是( )
A.B.
C.D.
2．將一副三角板如圖所示放置，斜邊平行，則的度數(shù)為( )
A.B.C.D.
3．已知，則( )
A.B.C.D.
4．世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一哥德巴赫猜想于1742年由哥德巴赫在給歐拉的信中提出：任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個奇素數(shù)之和這個猜想至今沒有完全證明，目前最前沿的成果是1966年我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了“”，即他證明了任何一個充分大的偶數(shù)，都可以表示為兩個數(shù)之和，其中一個是素數(shù)，另一個或?yàn)樗財?shù)，或?yàn)閮蓚€素數(shù)的乘積，被稱為“陳氏定理”我們知道素數(shù)又叫質(zhì)數(shù)，是指在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)請問同學(xué)們，如果我們從不大于8的自然數(shù)中任取兩個不同的數(shù)，這個兩個數(shù)都是素數(shù)有多少種不同的情況？( )
A.6B.10C.12D.16
5．下列選項中的垃圾分類圖標(biāo)，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是( )
A.B.C.D.
6．中，若：：：：，為的重心，則面積：面積：面積( )
A.B.C.D.
7．如圖，在平行四邊形中，，，，以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑畫弧交于點(diǎn)E，連接，則陰影部分的面積是( )
A.B.C.D.
8．在某種濃度的鹽水中加入“一杯水”后，得到新的鹽水，它的濃度為，又在新鹽水中加入與前述“一杯水”的重量相等的純鹽后，鹽的濃度變?yōu)椋敲丛瓉睇}水的濃度為( )
A.B.C.D.
9．一條拋物線的頂點(diǎn)為，且與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一正一負(fù)，則a、b、c中為正數(shù)的( )
A.只有aB.只有bC.只有cD.只有a和b
10．反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象只能是( )
A.B.
C.D.
11．如圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個圖形需要6根小木棒，拼第2個圖形需要14根小木棒，拼第3個圖形需要22根小木棒若按照這樣的方法拼成的第n個圖形需要2022根小木棒，則n的值為( )
A.252B.253C.336D.337
12．如圖所示，已知三角形為直角三角形，,為圓O切線，C為切點(diǎn)，，則和面積之比為( )
A.B.C.D.
二、填空題
13．已知實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根分別為，，且，則實(shí)數(shù)m的值為___________.
14．對于實(shí)數(shù)a，b，定義符號，其意義為：當(dāng)時，；當(dāng)時，.例如：，若關(guān)于x的函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為______.
15．火車勻速通過長82米的鐵橋用了22秒，如果它的速度加快1倍，通過162米長的鐵橋就只用了16秒，求這列火車的長度為______.
16．如圖，是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高BD上的動點(diǎn).連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CF.連接AF，EF，DF，則周長的最小值是________.
三、解答題
17．計算：
（1）；
（2）解方程：.
18．某學(xué)校為了豐富學(xué)生課余生活，開展了“第二課堂”的活動，推出了以下四種選修課程：A.繪畫；B.唱歌；C.演講；D.十字銹.學(xué)校規(guī)定：每個學(xué)生都必須報名且只能選擇其中的一個課程學(xué)校隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，對他們選擇的課程情況進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息，解決下列問題：
（1）這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是_____；
（2）將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；
（3）求扇形統(tǒng)計圖中，B課程部分的圓心角的度數(shù)；
（4）如果該校共有1000名學(xué)生，請你估計該校報D的學(xué)生約有多少人？
19．通過實(shí)驗(yàn)研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學(xué)生聽課的注意力指標(biāo)數(shù)是隨著老師講課時間的變化而變化的，講課開始時，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)的狀態(tài)，隨后開始分散學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)y隨時間x(分鐘)變化的函數(shù)圖象如圖所示(y越大表示學(xué)生注意力越集中).當(dāng)時，圖象是拋物線的一部分，當(dāng)和時，圖象是線段.
（1）當(dāng)時，求注意力指標(biāo)數(shù)y與時間x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）一道數(shù)學(xué)競賽題需要講解24分鐘，問老師能否經(jīng)過適當(dāng)安排，使學(xué)生在聽這道題時，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于36.
20．閱讀材料，完成相應(yīng)任務(wù)：“賈憲三角”又稱“楊輝三角”，在歐洲則稱為“帕斯卡三角”如圖所示，它揭示了(n為非負(fù)數(shù))展開式的各項系數(shù)的規(guī)律.
根據(jù)上述規(guī)律，完成下列問題：
（1）直接寫出_____.
（2）的展開式中a項的系數(shù)是_____.
（3）利用上述規(guī)律求的值，寫出過程.
21．如圖，內(nèi)接于，為的直徑，與相交于點(diǎn)H，的延長線與過點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)E，且.
（1）求證：是的切線；
（2）已知，且與，分別相交于點(diǎn)F，G，若，，，求的值.
22．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C，連接.
（1）求點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如下圖，點(diǎn)在線段上點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸上，，連接，，，設(shè)的面積為，的面積為，，當(dāng)S取最大值時，求m的值；
（3）如下圖，拋物線的頂點(diǎn)為D，連接，，點(diǎn)P在第一象限的拋物線上，與相交于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P，使，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
參考答案
1．答案：B
解析：對于A，，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，，C錯誤；
對于D，，D錯誤.
故選：B
2．答案：C
解析：如圖所示：
因?yàn)椋?br>所以
所以，
故選：C.
3．答案：C
解析：因?yàn)椋?br>所以，
故選：C
4．答案：A
解析：根據(jù)題意，在不大于8的自然數(shù)中，素數(shù)有2、3、5、7，共4個，
則取出2個數(shù)都是素數(shù)的取法有,,,,,共6種，
故選：A.
5．答案：C
解析：由中心對稱圖形，軸對稱圖形的定義可知，選項C符合題意，
其他選項均不符合.
故選：C
6．答案：D
解析：如圖所示，延長三條線分別交三角形三邊于D,E,F三點(diǎn)，由重心的概念知其為各邊的中點(diǎn)，
則的面積的面積，的面積的面積，
所以，同理可證明.
所以面積：面積：面積.
故選：D
7．答案：B
解析：過點(diǎn)D作，如圖所示：
，則，,
則梯形AECD的面積，扇形ADE的面積
所以陰影部分面積為.
故選：B.
8．答案：B
解析：設(shè)原鹽水溶液為a克，其中含純鹽m克，后加入“一杯水”為x克，
依題意得：，
解得，
故原鹽水的濃度為，
故選：B.
9．答案：A
解析：因?yàn)榕cx軸有兩個交點(diǎn)所以時，，即，
設(shè)兩根為,，
因?yàn)轫旤c(diǎn)為，所以，所以，.
又因?yàn)榕cx軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一正一負(fù)，所以，因?yàn)?，所?
故選：A
10．答案：B
解析：當(dāng)時，，反比例函數(shù)在上應(yīng)有，且單調(diào)遞減，
而一次函數(shù)的斜率大于1，故此時，A、B、C、D都不可能.
當(dāng)時，，反比例函數(shù)在上應(yīng)有，且單調(diào)遞增，
而一次函數(shù)的斜率滿足，故只有B成立.
當(dāng)時，，反比例函數(shù)在上應(yīng)有，且單調(diào)遞增，
而一次函數(shù)的斜率k滿足，故此時，A、B、C、D都不可能，
故選：B.
11．答案：B
解析：拼第1個圖形需要根小木棒，
拼第2個圖形需要根小木棒，
拼第3個圖形需要根小木棒，
則拼第n個圖形需要根小木棒，解得.
故選：B.
12．答案：B
解析：如圖,連接OC,過點(diǎn)B作于M.
BC是⊙O的切線,OC為半徑,,即.
DE是⊙O的直徑,，，，
，，.
，，，，.
又，.
，
.
故選：B.
13．答案：
解析：由題意可得，解得或，
，，
則，解得.
故答案為：.
14．答案：
解析：在平面直角坐標(biāo)系中畫出和的圖像，根據(jù)符號的意義可知，
截取交點(diǎn)及其下方的圖像，得到函數(shù)的圖像：
聯(lián)立方程，解得.
所以函數(shù)最大值為.
故答案為：.
15．答案：84米
解析：火車以原來的速度通過162米長的鐵橋，要用秒，
火車原來的速度為米秒，
火車的長度為米.
故答案為：84米.
16．答案：或
解析：點(diǎn)E為高上的動點(diǎn).
將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到，且是邊長為6的等邊三角形，
，，，，
，，
點(diǎn)F在射線上運(yùn)動，
如圖，作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，
設(shè)交于點(diǎn)O，則，
在中，，則，
則當(dāng)D，F(xiàn)，三點(diǎn)共線時，取得最小值，
即，
，，，
，，
在中，，
周長的最小值為.
故答案為：.
17．答案：（1）；
（2）0或2
解析：（1）
；
（2）當(dāng)時，，解得，故，
當(dāng)時，，解得，故，
綜上所述，原方程的解為0或2.
18．答案：（1）40人；
（2）圖見解析；
（3）；
（4）100人
解析：（1）人，
這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是40人；
（2）樣本中選擇C課程的人數(shù)為：人，
補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下：
（3），
即B課程部分的圓心角的度數(shù)為；
（4）人，
即該校名學(xué)生中報D的大約有人.
19．答案：（1），；
（2）可以.
解析：（1）當(dāng)時，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，而其圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，
因此，解得，，；
所以注意力指標(biāo)數(shù)y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為，
（2）觀察圖象知，當(dāng)時，，
當(dāng)時，設(shè)，顯然函數(shù)圖象過點(diǎn),，
即有，解得,，則當(dāng)時，，
當(dāng)時，令，得，解得，
當(dāng)時，令，得，解得，
顯然有，
所以老師可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?，在學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)不低于36時，講授完這道競賽題.
20．答案：（1）；
（2）8；
（3）答案見解析
解析：（1）由楊輝三角圖可得
（2）由楊輝三角的性質(zhì)可得的展開式二項式系數(shù)可知展開式中a項的系數(shù)為；
（3）
21．答案：（1）證明見解析；
（2）
解析：（1）連接，如圖所示：
是直徑，
，即，
，，
，
，
是的切線.
（2），
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，即，
，
，，
，
，
，
，即，
.
22．答案：（1），；
（2）1；
（3）存在，
解析：（1）當(dāng)時，，解得：，，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
當(dāng)時，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
（2）由，，，
，，
點(diǎn)E的坐標(biāo)為，，
，，
，
當(dāng)時，S取得最大值，
即當(dāng)S取最大值時，m的值為1.
（3）存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
如圖所示，連接，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作軸，
過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)N.
，，
為等腰直角三角形，，.
拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
，，
，，
，
，，
，，，
，
又，，
又，，
，即，
解得：不合題意，舍去，，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

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