湖南省多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊至必修第二冊第六章第3節(jié).
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解出兩集合，再利用交集含義即可.
【詳解】，，
則，
故選：C.
2. 下列結(jié)論正確的是（）
A. 平行向量的方向都相同
B. 單位向量都相等
C. 零向量與任意向量都不平行
D. 兩個(gè)單位向量之和可能仍然是單位向量
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)單位向量、零向量、共線向量的定義判斷即可.
【詳解】對于A：根據(jù)平行向量的概念知，平行向量的方向相同或者相反，錯誤；
對于B：單位向量大小相等都是1，但方向不一定相同，故單位向量不一定相等，錯誤；
對于C：零向量與任意向量平行，錯誤；
對于D：如圖，在邊長為1的正六邊形中，
都為單位向量，且，即兩個(gè)單位向量之和可能仍然是單位向量，正確；
故選：D
3. 已知，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、充分和必要條件等知識確定正確答案.
詳解】若，，則或，
反之，若，則，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
4. 已知向量滿足，則（）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的線性運(yùn)算法則和數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.
【詳解】由向量滿足，
因?yàn)?，可得?br>解得，
故選：D.
5. 已知角的終邊繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到角的終邊，且角的終邊過點(diǎn)，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義可得及，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】由角的終邊過點(diǎn)知，，解得，所以，
又，則，所以.
故選：D
6. 已知，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.
【詳解】函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增知，
又，所以，即，
所以，所以.
故選：B
7. 已知函數(shù)的值域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函數(shù)的定義域，結(jié)合單調(diào)區(qū)間確定的取值，再由值域確定的取值即可.
【詳解】函數(shù)中，，即，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由在上單調(diào)遞減，得，因此，
由函數(shù)的值域?yàn)?，得，?br>顯然，否則與在上單調(diào)遞減矛盾，
因此，此時(shí)在上單調(diào)遞減，符合題意，
所以的取值范圍是.
故選：C
8. 已知，則的最小值為（）
A. 4B. 6C. 8D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求解即得.
【詳解】由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值4.
故選：A
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，
9. 已知函數(shù)，則（）
A. 的最小正周期為
B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱
C. 在上沒有最值
D. 將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長度可以得到函數(shù)的圖象
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用周期公式判斷A；由代入驗(yàn)證法判斷B；利用整體代換法以及正弦函數(shù)性質(zhì)判斷C；由平移規(guī)則判斷D.
【詳解】由函數(shù)解析式可得函數(shù)的最小正周期為，即A正確；
因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，即B正確；
若，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，故當(dāng)即時(shí)，有最小值為，即C錯誤；
將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長度可得，即D正確；
故選：ABD
10. 如圖，在中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）
A. 若為線段的中點(diǎn)，則
B. 的最大值為
C. 的最小值為0
D. 的最小值為4
【答案】AB
【解析】
【分析】利用向量加法運(yùn)算化簡判斷A，建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求解數(shù)量積的最值判斷BCD.
【詳解】對于A，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，所以，
，，兩式相加化簡得，正確；
如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
由題意，設(shè)，設(shè)，
由知，因?yàn)椋?br>所以，解得，所以，
所以，所以，又，所以，
因?yàn)椋裕?br>所以的最大值為，的最小值為，故選項(xiàng)B正確，C錯誤；
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值為，故選項(xiàng)D錯誤.
故選：AB
11. 已知，函數(shù)，下列結(jié)論正確是（）
A.
B. 若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是
C. 若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是
D. 若的圖象上不存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，則的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式解參數(shù)范圍判斷B，舉反例判斷C，根據(jù)對稱函數(shù)圖象的位置關(guān)系列不等式組求解判斷D.
【詳解】對于A，因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，正確；
對于B，由在上單調(diào)遞增知，解得，正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖：
由圖知，直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程有兩個(gè)根，
即函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，顯然，錯誤；
對于D，易知與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為，作出示意圖：
要使若的圖象上不存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，則，即，
解得，即的取值范圍是，正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上
12. 已知是兩個(gè)不共線的單位向量，，若與共線，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)?、是兩個(gè)不共線的單位向量，，，若與是共線向量，
設(shè)，，則，
所以，解得
故答案為：.
13. 已知是偶函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)，推得，得到函數(shù)是周期為的函數(shù)，進(jìn)而求得的值.
【詳解】設(shè)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，
可得，所以，
令，可得，所以，即，
又因?yàn)?，可得?br>設(shè)，可得，即，
所以函數(shù)是周期為的函數(shù)，則，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.
故答案為：.
14. 如圖，在扇形中，半徑是扇形弧上的動點(diǎn)，矩形內(nèi)接于扇形，則矩形的周長的最大值為__________.

【答案】10
【解析】
【分析】連接，利用直角三角形邊角關(guān)系求出矩形周長表達(dá)式，再利用輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即得.
【詳解】連接，令，由，得，
，，
因此矩形的周長，
其中，顯然，結(jié)合題設(shè)易知，
因此當(dāng)時(shí)，，所以矩形的周長的最大值為10.
故答案為：10
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知向量.
（1）若，求；
（2）若，求與的夾角.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算及共線向量的坐標(biāo)表示求出，再求出向量的模.
（2）利用向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再求出向量夾角.
【小問1詳解】
向量，則，由，得，
解得，即，
所以.
【小問2詳解】
向量，則，由，得，
解得，則，，而，
因此，而，
所以與的夾角.
16. 已知函數(shù).
（1）若，解不等式；
（2）若關(guān)于的方程有解，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次不等式以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可；
（2）令，把原題轉(zhuǎn)化為方程有解，由二次函數(shù)性質(zhì)求解范圍即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，即，化簡得，
所以，解得，所以原不等式的解集為；
【小問2詳解】
方程即，令，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，
所以要使方程有解，則，故的取值范圍為.
17. 如圖，在中，點(diǎn)在線段上，且.
（1）用向量表示；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定的圖形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算計(jì)算即得.
（2）利用（1）的結(jié)論及已知，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.
【小問1詳解】
在中，點(diǎn)在線段上，且，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，，
，而，
因此，即，
所以.
18. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
（1）求的解析式；
（2）已知，求值；
（3）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，且，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系，根據(jù)二倍角公式和兩角差的正弦公式計(jì)算即可；
（3）結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性可判定的取值范圍及的范圍，即可求解.
【小問1詳解】
由圖可知，，因?yàn)?，又，所以，所以?br>又，，
所以，，由得，
所以；
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以?br>又，所以，所以，
所以
；
【小問3詳解】
令，則當(dāng)時(shí)，；
易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，
因?yàn)榉匠淘谏嫌袃蓚€(gè)不同的實(shí)根，
所以，的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
如圖：
由圖知，
由正弦函數(shù)的對稱性可知，所以，所以，
又，所以，
所以.
19. 已知函數(shù).
（1）求的定義域；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零列不等式組求解即可；
（2）根據(jù)題意可知，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解，分類討論求解函數(shù)的最大值，列不等式求解即可.
【小問1詳解】
要使函數(shù)有意義，則，解得，
所以的定義域?yàn)椋?br>【小問2詳解】
因?yàn)椋裕?br>，因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)時(shí)，，
對于函數(shù)，，
若，則函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，則，
因?yàn)?，所以，無解；
若，則函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
則，又，所解得；
綜上，的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一般地，已知函數(shù)，，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；

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