1．在等差數(shù)列中,,則數(shù)列的前項(xiàng)和為
A．B．C．D．
2．已知拋物線上一點(diǎn) 到其焦點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A．-4B．2C．4D．8
3．已知直線與直線，若直線與直線的夾角是60°，則k的值為（ ）
A．或0B．或0
C．D．
4．若函數(shù)在處有極值，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．2C．1D．
5．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
6．已知橢圓與拋物線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知為空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線．如果，則的值為（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
8．已知，函數(shù)在點(diǎn)處的切線均經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分.）您看到的資料都源自我們平臺(tái)，20多萬(wàn)份最新小初高試卷，家威鑫 MXSJ663 免費(fèi)下載 9．已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．為等比數(shù)列
B．的通項(xiàng)公式為
C．為遞增數(shù)列
D．的前n項(xiàng)和
10．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．滿足平面的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
B．滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
C．存在唯一的點(diǎn)滿足
D．存在點(diǎn)滿足
11．已知函數(shù)，滿足有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則（ ）
A．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
B．過(guò)軸正半軸上任意一點(diǎn)僅有一條與函數(shù)相切的直線
C．
D．若成等差數(shù)列，則
三、填空題
12．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，，則 .
13．已知函數(shù)．若在上恒成立，則a的取值范圍為 ．
14．已知點(diǎn)是拋物線：與橢圓：的公共焦點(diǎn)，是橢圓的另一焦點(diǎn)，P是拋物線 上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為 .
四、解答題
15．已知圓過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，求的方程.
16．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)令，為數(shù)列的前項(xiàng)積，證明：.
17．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.
(1)證明：；
(2)點(diǎn)在線段上，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.
18．已知雙曲線：（，）的左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，點(diǎn)在上.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與交于，（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，且，是否存在值，使得.若存在，求出的值和直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
19．若函數(shù)在上有定義，且對(duì)于任意不同的，都有，則稱(chēng)為上的“類(lèi)函數(shù)”.
(1)若，判斷是否為上的“3類(lèi)函數(shù)”；
(2)若為上的“2類(lèi)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若為上的“2類(lèi)函數(shù)”，且，證明：，，.
參考答案：
1．D
【解析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式,即可求解答案.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,,
根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式:
,
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,是基礎(chǔ)題.
2．C
【分析】首先利用拋物線的定義，將拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離解出p，再將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線方程即可解得.
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因?yàn)镸到焦點(diǎn)距離為5，所以M到準(zhǔn)線的距離，即p=8，則拋物線方程為.將(1,m)代入得：，因?yàn)樗?
故選：C.
3．A
【分析】先求出的傾斜角為120°，再求出直線的傾斜角為0°或60°，直接求斜率k.
【詳解】直線的斜率為，所以?xún)A斜角為120°.
要使直線與直線的夾角是60°，
只需直線的傾斜角為0°或60°，
所以k的值為0或.
故選：A
4．D
【分析】由極值的定義得，即可求解，注意檢驗(yàn).
【詳解】解：因?yàn)?，，在處有極值，
所以，所以，解得.
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
函數(shù)在處有極大值，滿足題意.
故選：D
5．B
【分析】根據(jù)已知求出，進(jìn)而即可根據(jù)投影向量求出答案.
【詳解】由已知可得，，，
所以，向量在向量上的投影向量是.
故選：B.
6．C
【分析】分析可得，求得，設(shè)設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)為，利用勾股定理可求得，利用橢圓的定義可求得該橢圓的離心率的值.
【詳解】易知點(diǎn)或，所以，，即，
將代入拋物線方程可得，則，
設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)為，因?yàn)檩S，則，
由橢圓的定義可得，
所以，橢圓的離心率為.
故選：C.
7．A
【分析】由題設(shè)條件推得，再由四點(diǎn)共面可求得
【詳解】因?yàn)椋?br>所以由
得，
即，
因?yàn)闉榭臻g任意一點(diǎn)，滿足任意三點(diǎn)不共線，且四點(diǎn)共面，
所以，故.
故選：A.
8．C
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，進(jìn)而即可判斷AB；畫(huà)出函數(shù)與圖象，由可得，化簡(jiǎn)計(jì)算即可判斷CD.
【詳解】由題意知，，則，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程分別為
，
因?yàn)榍芯€均過(guò)原點(diǎn)，所以，
即，得，故AB錯(cuò)誤；
由，得，畫(huà)出函數(shù)與圖象，如圖，
設(shè)，如上圖易知：，
由正切函數(shù)圖象性質(zhì)，得，即，
又，所以，
即，解得，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明選項(xiàng)CD的關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合思想分析是解題的關(guān)鍵.
9．ABD
【分析】根據(jù)已知證明為定值即可判斷A；由A選項(xiàng)結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)即可判斷B；作差判斷的符號(hào)即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以+3，所以，
又因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；
，即，故B正確；
因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以?br>所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；
，
則，故D正確.
故選：ABD.
10．AC
【分析】利用線面平行的判定定理可以證得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，為正方形上的點(diǎn)，可設(shè)，且，，進(jìn)而對(duì)BCD各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可判斷并得到答案.
【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，
由正方體的性質(zhì)知，，，，
所以平面平面，又平面，平面，
故點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；
以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，設(shè)，且，，
，，
對(duì)于B，，即，
又，，則點(diǎn)的軌跡為線段，,
且，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，
顯然，只有時(shí)，，即，故存在唯一的點(diǎn)滿足，故C正確；
對(duì)于D，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的為，三點(diǎn)共線時(shí)線段和最短，
故， 故不存在點(diǎn)滿足，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
11．ABD
【分析】對(duì)于A，求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性、極值，由此即可判斷；對(duì)于B，關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，由此即可判斷；對(duì)于C，由展開(kāi)即可判斷；對(duì)于D，由結(jié)合C選項(xiàng)分析即可判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，
所以，當(dāng)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，，故A正確，
關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，
所以在此點(diǎn)處的切線方程為，
結(jié)合圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，符合題意，所以B正確，
由于方程有三個(gè)根，
所以，展開(kāi)可知，C不正確；
由展開(kāi)可知，
當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)，所以，
在中，令，得，
所以，D正確.
故選：ABD.
12．
【分析】由得，進(jìn)而判斷中各個(gè)偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，即可得到.
【詳解】由得，,
于是，即.
所以數(shù)列中，各個(gè)奇數(shù)項(xiàng) 構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
同理，各個(gè)偶數(shù)項(xiàng) 也構(gòu)成首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，即.
所以.
故答案為：81.
13．
【分析】由題意可知在上恒成立，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最小值.
【詳解】∵在上恒成立，且，
故．
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即在上為增函數(shù)，
所以，，合乎題意；
當(dāng)時(shí)，由，可得；當(dāng)時(shí)，可得．
即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，，
又因?yàn)?，所以，不合乎題意．
綜上所述，．
故答案為：.
14．
【詳解】分析：由題意可知與拋物線相切時(shí)，取得最小值，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程求出的值，即可求解其離心率．
詳解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
過(guò)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，則，所以,
顯然當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，最小，即取得最小值，
設(shè)直線的方程為，代入可得，
令，可得，
不妨設(shè)在第一象限，則，所以，即，
因?yàn)樵跈E圓上，且為橢圓的焦點(diǎn)，
所以，解得或（舍去），
所以，所以離心率為．
點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及橢圓的離心率的求解，其中根據(jù)拋物線的定義與幾何性質(zhì)，得到關(guān)于的方程組是解答的關(guān)鍵．求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出 ，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．
15．(1)
(2)或
【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解；
（2）根據(jù)題意，分直線的斜率不存在和存在，兩種情況討論，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，列出方程，即可求解.
【詳解】（1）解：設(shè)圓的方程為，
根據(jù)題意，可得，解得，
所以圓的方程為.
（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，
則直線的方程為，即.
故直線的方程為或.
16．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由等差數(shù)列定義可得，由與的關(guān)系即可得；
（2）由與可得，即可得，由，可得，借助等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可得證.
【詳解】（1）由是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，
故，
即，
當(dāng)時(shí)，，
故
，
當(dāng)時(shí)，，符合上式，
故；
（2）由，，
故，
則
，
由，
故，
則.
17．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）要證，需要證過(guò)的平面與垂直即可，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理結(jié)合條件即得；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先根據(jù)條件確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再求二面角.
【詳解】（1）如圖：

由于平面平面，平面平面，
過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則平面.
連接交于，連接，
∵，，
∴，∴，
又，，
∴四邊形為矩形，
∴，∴，
∴，∴，
又∵，
∴，即，
又平面，平面，
∴，又平面，
∴平面，又∵平面，
∴.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
由于在上，設(shè)，
則，∴，
又平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，
∴，
解得或（舍去），
∴，∴，，，
設(shè)平面的法向共，平而的法向共，
則即，
取，得，，
∴，
故平面與平面夾角的余弦值為.
18．(1)
(2)；直線為
【分析】（1）借助漸近線公式及點(diǎn)到直線的距離公式，并代入點(diǎn)計(jì)算即可得；
（2）借助韋達(dá)定理結(jié)合從而得到直線中所設(shè)參數(shù)的關(guān)系，取線段中點(diǎn)，由可得，即可得的值和直線的方程.
【詳解】（1）由雙曲線：可得，漸近線方程為：，
則有，化簡(jiǎn)得，又在上，
即，即，故：；
（2）由題意可知直線的斜率存在且斜率為，
設(shè)直線為，、，
聯(lián)立直線與雙曲線，消去可得，
則有且，
即且，
有，，
由，故、，
則
，
即有，即，
故或，
當(dāng)時(shí)，直線為，過(guò)點(diǎn)，故舍去，
當(dāng)時(shí)，直線為，
由、，則線段中點(diǎn)為，
，，
即，由，，，
故有，即，解得，
故，則直線為，
即存在，使得，此時(shí)直線的方程為.
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于借助韋達(dá)定理結(jié)合題目所給，計(jì)算出直線中參數(shù)得關(guān)系.
19．(1)是上的“3類(lèi)函數(shù)”，理由見(jiàn)詳解.
(2)
(3)證明過(guò)程見(jiàn)詳解.
【分析】（1）由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明即可；
（2）由已知條件轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意，都有，，只需且，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可.
（3）分和兩種情況進(jìn)行證明，，用放縮法進(jìn)行證明即可.
【詳解】（1）對(duì)于任意不同的，
有，，所以，
，
所以是上的“3類(lèi)函數(shù)”.
（2）因?yàn)椋?br>由題意知，對(duì)于任意不同的，都有，
不妨設(shè)，則，
故且，
故為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，
故任意，都有，
由可轉(zhuǎn)化為，令，只需
，令，在單調(diào)遞減，
所以，，故在單調(diào)遞減，
，
由可轉(zhuǎn)化為，令，只需
，令，在單調(diào)遞減，
且，，所以使，即，
即，
當(dāng)時(shí)，，，故在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，故在單調(diào)遞減，
，
故.
（3）因?yàn)闉樯系摹?類(lèi)函數(shù)”，所以，
不妨設(shè)，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>，
綜上所述，，，.
【點(diǎn)睛】不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)恒成立或恒成立；②數(shù)形結(jié)合（的圖象在上方即可）；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.

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