本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.請?jiān)诖痤}卡上作答.
第I卷（選擇題共58分）
一?選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題所給四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.設(shè)，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.設(shè)是三條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
4.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲8次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為，則這8個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為（ ）
A. B. C. D.
5.已知，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C.3 D.
6.已知平面向量和滿足在上的投影向量為，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)，若互不相等，且，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8.在中，為上一點(diǎn)且滿足，若，則的外接圓半徑為（ ）
A. B. C.1 D.
二?多選題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得部分分.
9.已知復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A.若，則為純虛數(shù)
B.若，則互為共軛復(fù)數(shù)
C.若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的集合為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓
D.若，則
10.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A.的最小正周期為
B.
C.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?br>D.若方程在區(qū)間上恰有六個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
11.如圖，為棱長為2的正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A.當(dāng)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積是定值
B.當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍為
C.使得直線與平面所成的角為的點(diǎn)的軌跡長度為
D.若為棱的中點(diǎn)，當(dāng)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面時(shí)，的最小值為
第II卷（非選擇題共92分）
三?填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12.已知向量，則向量與的夾角余弦值為__________.
13.如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑圖文，碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)球，圓柱的底面直徑和高都等于這個(gè)球的直徑，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以自豪的發(fā)現(xiàn).如圖2是這個(gè)圖形的示意圖，那么圖2中圓錐與球的表面積的比值為__________.
14.定義在上的函數(shù)滿足，且關(guān)于對稱，當(dāng)時(shí)，，則__________.
四?解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（13分）
為鼓勵(lì)青年大學(xué)生積極參與暑期社會(huì)實(shí)踐，某高校今年暑假組織返鄉(xiāng)大學(xué)生積極參與了當(dāng)?shù)氐氖罴偕鐓^(qū)兒童托管服務(wù).現(xiàn)抽樣調(diào)查了其中100名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們參加社區(qū)托管活動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖.另外，根據(jù)參加社區(qū)托管活動(dòng)的時(shí)間從長到短按3：4：3的比例分別被評為優(yōu)秀?良好?合格.
（1）求的值，并估計(jì)該校學(xué)生在暑假中參加社區(qū)托管活動(dòng)的時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）試估計(jì)至少參加多少小時(shí)的社區(qū)托管活動(dòng)，方可以被評為優(yōu)秀.
16.（15分）
已知銳角的三個(gè)角的對邊分別為，且.
（1）求；
（2）若，求周長的取值范圍.
17.（15分）
如圖1，矩形中，為邊上的一點(diǎn).現(xiàn)將沿著折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.
（1）如圖2，若為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）如圖3，設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在線段上.
①求證：平面；
②當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成的角的余弦值.
18.（17分）
設(shè)函數(shù).
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并討論其單調(diào)性（不需證明單調(diào)性）；
（2）求證：；
（3）若在區(qū)間上的最小值為，求的值.
19.（17分）
對于集合和常數(shù)，定義：為集合相對的的“正弦標(biāo)準(zhǔn)差”.
（1）若集合，求相對的的“正弦標(biāo)準(zhǔn)差”；
（2）若集合，是否存在，使得相對任何常數(shù)的“正弦標(biāo)準(zhǔn)差”是一個(gè)與無關(guān)的定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
2023級高二上學(xué)期9月初開學(xué)摸底考
數(shù)學(xué)（人教A版）參考答案
一?選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題所給四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的.
1.C 由題意得，，則，那么.故選C.
2.A 由題意得，，即；當(dāng)時(shí)，反之不成立.故選A.
3.B 若與可能相交.故選B.
4.D 由題意得，當(dāng)時(shí)，8個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3.5；當(dāng)時(shí)，8個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4；當(dāng)時(shí)，8個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4.5，則8個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為.故選D.
5.C 因?yàn)椋獾没?，因?yàn)?，所以，則.故選C.
6.A 因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以，則在上的投影向量為.故選A.
7.C 作出函數(shù)的圖象如圖所示.不妨設(shè)，我們可以得到，且，則，由函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，故的取值范圍為.故選C.
8.D 解法一：由題意得，，則.
，解得
.又，則，
.
由，
，
得，即，
那么，解得.故選D.
解法二：如圖，作于點(diǎn).由題意得，，
則，可以得到.
，解得.
又，則.進(jìn)一步有，
.在中，，則.
在中，，可以得到，所以，那么
，解得.故選D.
二?多選題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得部分分.
注：雙選答對1個(gè)給3分，三選答對1個(gè)給2分，答對2個(gè)給4分.
9.AC 對于A，設(shè)，則，故A正確；對于B，取，那么，但不是共軛復(fù)數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)為，由知，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，故C正確；對于D，取，則，故D錯(cuò)誤.故選AC.
10.BCD
又是一個(gè)奇函數(shù)，則，因?yàn)?，所以，則的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；，故B正確；當(dāng)時(shí)，，則，所以，故C正確；因?yàn)椋裕?，則，若方程在區(qū)間上恰有六個(gè)不等實(shí)根，則，解得，故D正確.故選BCD.
11.ACD 對于A，四棱錐定底（底面）定高（棱長），其體積為定值，故A正確；對于B，如圖1，因?yàn)椋逝c所成角即為或其補(bǔ)角，由題意與所成角為，故B錯(cuò)誤；對于C，如圖2，因?yàn)槠矫嫫矫妫灾本€與平面所成的角與直線與平面所成的角相等，連接，則，那么點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓弧以及線段和，可以求得軌跡長度為，故C正確；對于D，如圖3，分別取棱的中點(diǎn)，則平面平面，那么的軌跡即為線段，則的最小值為，故D正確.故選ACD.
三?填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12.0
由題意得，，故與的夾角余弦值為0.
13.
設(shè)球半徑為，則圓錐的表面積為，球的表面積為，故圓錐與球的表面積之比為.
14.
由題意得，，令，則，可以得出函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，又關(guān)于對稱，可以得出函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故函數(shù)是周期函數(shù)，周期為4.又當(dāng)時(shí)，，且，故可以得出.進(jìn)而.
那么
.
四?解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（13分）
（1）由題意得，，解得.
因?yàn)椋?br>所以可以估計(jì)該校學(xué)生在暑假中參加社區(qū)托管活動(dòng)的時(shí)間的平均數(shù)約為38.25小時(shí).
（2）由題意得，因?yàn)椋?br>那么第70百分位數(shù)位于之間.
設(shè)第70百分位數(shù)為，則，解得.
故至少參加42小時(shí)的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，方可被評為優(yōu)秀.
16.（15分）
（1）因?yàn)椋?br>所以，
即，
即，
即，
又，故，即，
因?yàn)?，所?
（2）由（1）得，，則.
由正弦定理，得.
所以
因?yàn)榍?，則，
故，所以，
所以周長的取值范圍為.
17.（15分）
（1）證法一：
如圖，取中點(diǎn)，連接.
因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以且，
又分別為的中點(diǎn)，則且，
故且，所以為平行四邊形，所以.
又平面平面，所以平面.
證法二：
如圖2，取中點(diǎn)，連接.
因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
又平面平面，所以平面.
同理，平面.
又平面平面，所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）①由題意得，平面，則.
又，所以平面.
②連接，因?yàn)槠矫?，所以直線與平面所成的角為.
在中，，
在中，，
在中，，所以，
即直線與平面所成的角的余弦值為.
18.（17分）
（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù).
在上單調(diào)遞增.
（2）
.
（3）
設(shè)，則，且，
那么函數(shù)轉(zhuǎn)化.
當(dāng)即時(shí)，，解得.
當(dāng)即時(shí)，，解得（舍）.
當(dāng)即時(shí)，，解得.
綜上，或.
19.（17分）
（1）由題意得，.
（2）假設(shè)存在符合條件的，那么
.
要使是一個(gè)與無關(guān)的定值，應(yīng)有成立.
則，整理得
又，則，那么
又，那么，
即，
即，即.
因?yàn)椋?，所以，解?
因?yàn)?，所?
綜上，當(dāng)時(shí)，對任意常數(shù)的“正弦標(biāo)準(zhǔn)差”是一個(gè)定值，定值為.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
D
C
A
C
D
題號
9
10
11
答案
AC
BCD
ACD

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