一、選擇題
1．在等差數(shù)列中,,則數(shù)列的前14項(xiàng)和為( )
A.55B.60C.65D.70
2．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5,則實(shí)數(shù)m的值是( )
A.B.2C.4D.8
3．已知直線與直線,若直線與直線的夾角是,則k的值為( )
A.或0B.或0C.D.
4．若函數(shù)在處有極值,則實(shí)數(shù)( )
A.B.2C.1D.
5．已知空間向量,,則向量在向量上的投影向量是( )
A.B.C.D.
6．已知橢圓與拋物線有相同的焦點(diǎn)F,點(diǎn)A是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),且軸,則橢圓的離心率是( )
A.B.C.D.
7．已知O為空間任意一點(diǎn),A,B,C,P四點(diǎn)共面,但任意三點(diǎn)不共線.如果,則m的值為( )
A.B.C.1D.2
8．已知,函數(shù)在點(diǎn)處的切線均經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知數(shù)列滿足,則下列結(jié)論正確的有( )
A.為等比數(shù)列
B.的通項(xiàng)公式為
C.為遞增數(shù)列
D.的前n項(xiàng)和
10．如圖,已知正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M為的中點(diǎn),點(diǎn)P為正方形上的動(dòng)點(diǎn),則( )
A.滿足平面的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
B.滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
C.存在唯一的點(diǎn)P滿足
D.存在點(diǎn)P滿足
11．已知函數(shù),滿足有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,,,則( )
A.若,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是
B.過(guò)軸正半軸上任意一點(diǎn)僅有一條與函數(shù)相切的直線
C.
D.若,,成等差數(shù)列,則
三、填空題
12．已知數(shù)列的首項(xiàng)為,,則________.
13．已知函數(shù).若在上恒成立,則a的取值范圍為________.
14．已知點(diǎn)是拋物線與橢圓的公共焦點(diǎn),是橢圓的另一焦點(diǎn),P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)取得最小值時(shí),點(diǎn)P恰好在橢圓上,則橢圓的離心率為________.
四、解答題
15．已知圓過(guò)點(diǎn)和,且圓心在直線上.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C相切,求l的方程.
16．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式;
（2）令,為數(shù)列的前n項(xiàng)積,證明:.
17．如圖,在四棱錐中,平面平面ABCD,,,,,.
（1）證明:;
（2）點(diǎn)E在線段PC上,當(dāng)直線AE與平面ABCD所成角的正弦值為時(shí),求平面ABE與平面PBC的夾角的余弦值.
18．已知雙曲線(,)的左焦點(diǎn)F到其漸近線的距離為,點(diǎn)在C上.
（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）若直線l與C交于M,N(不與點(diǎn)重合)兩點(diǎn),記直線AM,AN,l的斜率分別為,,k,且,是否存在值,使得.若存在,求出k的值和直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
19．若函數(shù)在上有定義,且對(duì)于任意不同的,,都有,則稱為上的“k類函數(shù)”.
（1）若,判斷是否為上的“3類函數(shù)”;
（2）若為上的“2類函數(shù)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
（3）若為上的“2類函數(shù)”,且,證明:,,.
參考答案
1．答案：D
解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,,
根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式:
,
故選:D.
2．答案：C
解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為:,因?yàn)镸到焦點(diǎn)距離為5,所以M到準(zhǔn)線的距離,即,則拋物線方程為.將代入得:,因?yàn)?所以.
故選:C.
3．答案：A
解析：直線的斜率為,所以傾斜角為.
要使直線與直線的夾角是,
只需直線的傾斜角為或,
所以k的值為0或.
故選:A
4．答案：D
解析：因?yàn)?,在處有極值,
所以,所以,解得.
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí),,
當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
函數(shù)在處有極大值,滿足題意.
故選:D
5．答案：B
解析：由已知可得,,,
所以,向量在向量上的投影向量是.
故選:B.
6．答案：C
解析：易知點(diǎn)或,所以,,即,
將代入拋物線方程可得,則,
設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)為,因?yàn)檩S,則,
由橢圓的定義可得,
所以,橢圓的離心率為.
故選:C.
7．答案：A
解析：因?yàn)?
所以由
得,
即,
因?yàn)镺為空間任意一點(diǎn),A,B,C,P滿足任意三點(diǎn)不共線,且四點(diǎn)共面,
所以,故.
故選:A.
8．答案：C
解析：由題意知,,則,
所以曲線在點(diǎn),,處的切線方程分別為
,,,
因?yàn)榍芯€均過(guò)原點(diǎn),所以,,,
即,,,得,故AB錯(cuò)誤;
由,得,畫出函數(shù)與圖象,如圖,
設(shè),,,如上圖易知:,,
由正切函數(shù)圖象性質(zhì),得,即,
又,,所以,
即,解得,故C正確,D錯(cuò)誤.
故選:C
9．答案：ABD
解析：因?yàn)?,
所以+3,所以,
又因?yàn)?
所以數(shù)列是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故A正確;
,即,故B正確;
因?yàn)?
因?yàn)?所以,
所以,所以為遞減數(shù)列,故C錯(cuò)誤;
,
則,故D正確.
故選:ABD.
10．答案：AC
解析：對(duì)于A,取的中點(diǎn)Q,的中點(diǎn)N,又點(diǎn)M為的中點(diǎn),
由正方體的性質(zhì)知,,,,
所以平面平面,又平面MQN,平面,
故點(diǎn)P的軌跡為線段,故A正確;
以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,設(shè),且,,
,,
對(duì)于B,,即,
又,,則點(diǎn)P的軌跡為線段,,
且,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,
顯然,只有時(shí),,即,故存在唯一的點(diǎn)P滿足,故C正確;
對(duì)于D,點(diǎn)M關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的為,三點(diǎn)共線時(shí)線段和最短,
故,故不存在點(diǎn)P滿足,故D錯(cuò)誤.
故選:AC
11．答案：ABD
解析：因?yàn)?
所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且,,
所以,當(dāng)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,,時(shí),,故A正確,
關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,
所以在此點(diǎn)處的切線方程為,
結(jié)合圖象可知:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),符合題意,所以B正確,
由于方程有三個(gè)根,,,
所以,展開可知,C不正確;
由展開可知,
當(dāng)成等差數(shù)列時(shí),所以,
在中,令,得,
所以,D正確.
故選:ABD.
12．答案：81
解析：由得,,
于是,即.
所以數(shù)列中,各個(gè)奇數(shù)項(xiàng),,…構(gòu)成首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,
同理,各個(gè)偶數(shù)項(xiàng)也構(gòu)成首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,即.
所以.
故答案為:81.
13．答案：
解析：在上恒成立,且,
故,.
當(dāng)時(shí),在上恒成立,即在上為增函數(shù),
所以,,合乎題意;
當(dāng)時(shí),由,可得;當(dāng)時(shí),可得.
即在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),
所以,,
又因?yàn)?所以,不合乎題意.
綜上所述,.
故答案為:.
14．答案：
解析：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,
過(guò)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線PM,則,所以,
顯然當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),最小,即取得最小值,
設(shè)直線的方程為,代入可得,
令,可得,
不妨設(shè)P在第一象限,則,所以,即,
因?yàn)镻在橢圓上,且為橢圓的焦點(diǎn),
所以,解得或(舍去),
所以,所以離心率為.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）設(shè)圓C的方程為,
根據(jù)題意,可得,解得,
所以圓的方程為.
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為,符合題意;
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為,
由圓心到直線的距離等于圓的半徑,可得,解得,
則直線l的方程為,即.
故直線l的方程為或.
16．答案：（1）
（2）證明見(jiàn)解析
解析：（1）由是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,
故,
即,
當(dāng)時(shí),,
故
,
當(dāng)時(shí),,符合上式,
故;
（2）由,,
故,
則
,
由,
故,
則.
17．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）如圖:
由于平面平面ABCD,平面平面,
過(guò)點(diǎn)P作CD的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O,則平面ABCD.
連接OB交AD于Q,連接OA,
,,
,,
又,,
四邊形ABCO為矩形,
,,
,,
又,
,即,
又平面ABCD,平面ABCD,
,又,PO,平面,
平面,又平面,
.
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OC,OP所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
由于E在PC上,設(shè),
則,,
又平面ABCD的法向量,設(shè)直線AE與平面ABCD所成角為,
,
解得或(舍去),
,,,,
設(shè)平面ABE的法向共,平而PBC的法向共,
則,,即,,
取,得,,
,
故平面ABE與平面PBC夾角的余弦值為.
18．答案：（1）
（2）;直線為
解析：（1）由雙曲線可得,漸近線方程為:,
則有,化簡(jiǎn)得,又在上,
即,即,故:;
（2）由題意可知直線l的斜率存在且斜率為k,
設(shè)直線l為,,,
聯(lián)立直線與雙曲線,消去y可得,
則有且,
即且,
有,,
由,故,,
則
,
即有,即,
故或,
當(dāng)時(shí),直線l為,過(guò)點(diǎn),故舍去,
當(dāng)時(shí),直線l為,
由,,則線段MN中點(diǎn)P為,
,,
即,由,,,
故有,即,解得,
故,則直線l為,
即存在,使得,此時(shí)直線l的方程為.
19．答案：（1）是上的“3類函數(shù)”,理由見(jiàn)詳解.
（2）
（3）證明過(guò)程見(jiàn)詳解.
解析：（1）對(duì)于任意不同的,,
有,,所以,
,
所以是上的“3類函數(shù)”.
（2）因?yàn)?
由題意知,對(duì)于任意不同的,,都有,
不妨設(shè),則,
故且,
故為上的增函數(shù),為上的減函數(shù),
故任意,都有,
由可轉(zhuǎn)化為,令,只需
,令,在單調(diào)遞減,
所以,,故在單調(diào)遞減,
,
由可轉(zhuǎn)化為,令,只需
,令,在單調(diào)遞減,
且,,所以使,即,
即,
當(dāng)時(shí),,,故在單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,,故在單調(diào)遞減,
,
故.
（3）因?yàn)闉樯系摹?類函數(shù)”,所以,
不妨設(shè),
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),因?yàn)?
,
綜上所述,,,.

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