2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí)講與練模型07 三角形——飛鏢模型-原卷版+解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

◎結(jié)論：如圖所示，已知四邊形ABDC，則∠BDC=∠A+∠B+∠C

【證明】如圖，延長 BD交 AC 于點(diǎn)E.
∵∠BEC是△ABE 的外角， ∴∠BEC=∠A+∠B.
又∵∠BDC 是△CDE的外角，
∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.
其他添加軸助線的方法

1． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)，直角頂點(diǎn)D落在的內(nèi)部，則（）．
A．B．C．D．
2． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）在社會實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（）．
A．B．C．D．
3． (2023·浙江·蕭山區(qū)高橋初級中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC與∠ACB的角平分線交于D1，∠ABD1與∠ACD1的角平分線交于點(diǎn)D2，依此類推，∠ABD4與∠ACD4的角平分線交于點(diǎn)D5，則∠BD5C的度數(shù)是（）
A．24°B．25°C．30°D．36°
1． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，若，則____________．
2． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，平分，平分，則______.
3． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）如圖所示，已知四邊形，求證．
1． (2023·山西晉中·二模）如圖，在中，，，，，連接BC，CD，則的度數(shù)是（）
A．45°B．50°C．55°D．80°
2．如圖(1)所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：
（1）觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；
（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：
①如圖(2)，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、圖(1)XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX =__________°；
②如圖(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；（寫出解答過程）
③如圖（4），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，則∠A的度數(shù)=__________°．
三角形
模型（七）——飛鏢模型
◎結(jié)論：如圖所示，已知四邊形ABDC，則∠BDC=∠A+∠B+∠C

【證明】如圖，延長 BD交 AC 于點(diǎn)E.
∵∠BEC是△ABE 的外角， ∴∠BEC=∠A+∠B.
又∵∠BDC 是△CDE的外角，
∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.
其他添加軸助線的方法

1． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)，直角頂點(diǎn)D落在的內(nèi)部，則（）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再說明∠DBC+∠DCB=90°，進(jìn)而完成解答．
【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴40°-90°=50°
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵．
2． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）在社會實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．
【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，
∵
∴
同理得
∵
∴

∵
∴
∴
∴,
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是會添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來進(jìn)行求解．三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；鄰補(bǔ)角性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；多邊形內(nèi)角和：．
3． (2023·浙江·蕭山區(qū)高橋初級中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC與∠ACB的角平分線交于D1，∠ABD1與∠ACD1的角平分線交于點(diǎn)D2，依此類推，∠ABD4與∠ACD4的角平分線交于點(diǎn)D5，則∠BD5C的度數(shù)是（）
A．24°B．25°C．30°D．36°
【答案】B
【詳解】∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∵∠ABC與∠ACB的角平分線交于D1，
∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACB
∵∠ABD1與∠ACD1的角平分線交于點(diǎn)D2，
∴∠ABD2=∠ABD1 =∠ABC，∠ACD2=∠ACD1 =∠ACB，
同理可得：∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，
∴∠ABD5+∠ACD5=×160°=5°，
∴∠BCD5+∠CBD5=155°，
∴∠BD5C=180°-∠BCD5-∠CBD5=25°，
故選：B
1． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，若，則____________．
【答案】230°
【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖
∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案為：230°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形外角性質(zhì)．
2． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，平分，平分，則______.
【答案】
【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解.
【詳解】解：∵平分，平分，
∴，
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.
3． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）如圖所示，已知四邊形，求證．
【答案】見解析
【分析】方法1連接BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果；
方法2 作射線，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，，兩式相加即可得到結(jié)論；
方法3延長BD，交AC于點(diǎn)E，兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】方法1如圖所示，連接BC.
在中，，即.
在中，，
；
方法2如圖所示，連接AD并延長.
是的外角，
.
同理，.
.
即.
方法3如圖所示，延長BD，交AC于點(diǎn)E.
是的外角，
.
是的外角，
.
.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)：解題的關(guān)鍵是知道三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內(nèi)角的和．也考查了三角形內(nèi)角和定理.
1． (2023·山西晉中·二模）如圖，在中，，，，，連接BC，CD，則的度數(shù)是（）
A．45°B．50°C．55°D．80°
【答案】B
【分析】連接AC并延長交EF于點(diǎn)M．由平行線的性質(zhì)得，，再由等量代換得，先求出即可求出．
【詳解】解：連接AC并延長交EF于點(diǎn)M．
，
，
，
，
，
，
，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型．
2．如圖(1)所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：
（1）觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；
（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：
①如圖(2)，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、圖(1)XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX =__________°；
②如圖(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；（寫出解答過程）
③如圖（4），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，則∠A的度數(shù)=__________°．
【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，詳見解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70
【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長至點(diǎn)F，根據(jù)一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可證∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的結(jié)論可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；
②結(jié)合圖形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的結(jié)論可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由②方法，進(jìn)而可得答案．
【詳解】解：（1）連接AD并延長至點(diǎn)F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，
∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；
（2）①由（1）的結(jié)論易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．
故答案是：40；
②由（1）的結(jié)論易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A
∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°；
∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,
∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB
∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；
③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+ ∠A，
∵∠BG1C＝77°，
∴設(shè)∠A為x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，
∴(140﹣x)＋x＝77，
∴14﹣x+x＝77，
∴x＝70，
∴∠A為70°．
故答案是：70．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
3． (2023·河北·景縣第二中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在中，，一塊直角三角尺XYZ放置在上，恰好三角尺XYZ的兩條直角邊XY，XZ分別經(jīng)過點(diǎn)B，C．
(1)________，________，________．
(2)若改變直角三角尺XYZ的位置，但三角尺XYZ的兩條直角邊XY，XZ仍然分別經(jīng)過點(diǎn)B，C，則的大小是否變化？請說明理由．
【答案】(1)150°；90°；60°
(2)∠ABX＋∠ACX的大小不變．理由見解析．
【分析】（1）在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和等于180°，可求∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求∠ABC+∠ACB；根據(jù)∠ABC+∠ACB=140°，∠XBC+∠XCB=90°，即可求出答案；
（2）不發(fā)生變化，由于在△ABC中，∠A=30°，從而∠ABC+∠ACB是一個定值，即等于150°，同理在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB也是一個定值，等于90°，于是∠ABX+∠ACX的值不變，等于150°-90°=60°．
（1）
∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABC+∠ACB=140°；
∵在△BCX中，∠BXC=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABX+∠ACX=140°-90°=50°；
故答案為：140°，90°，50°；
（2）
∠ABX＋∠ACX的大小不變．
理由：在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠A＝30°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－30°＝150°．
∵∠X＝90°，
∴∠XBC＋∠XCB＝90°．
∴∠ABX＋∠ACX＝(∠ABC－∠XBC)＋(∠ACB－∠XCB)＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝150°－90°＝60°．
∴∠ABX＋∠ACX的大小不變，為60°．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，此題注意運(yùn)用整體法計算，關(guān)鍵是求出∠ABC+∠ACB．

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