◎結(jié)論 如圖所示，AB∥EF，則∠B＋∠D=∠C十∠E
朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和

【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)C作MN//AB，過(guò)點(diǎn)D作PQ//AB.
∵AB//EF, ∴AB//MN// PQ//EF.
∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E,
∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E，
∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得證.
鋸齒模型的變換解題思路

拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯(cuò)角 拆分成2個(gè)豬蹄模型
1． (2023·貴州六盤水·七年級(jí)期中）如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應(yīng)為（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·山東濟(jì)寧·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，如果 AB ∥ CD ，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系為（ ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β－∠γ＝180°D．∠α－∠β－∠γ＝180°
3． (2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖,ABEF,∠D=90°,則,,的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
1． (2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，玲玲在美術(shù)課上用絲線繡成了一個(gè)“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，則∠E的度數(shù)為（ ）
A．30°B．150°C．120°D．100°
2． (2023·全國(guó)·七年級(jí)）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式__________．
3． (2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，則∠EAB的度數(shù)為_(kāi)_________．
1． (2023·江蘇·蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)一模）如圖，l1∥l2，將一副直角三角板作如下擺放，圖中點(diǎn)A、B、C在同一直線上，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．100°B．120°C．75°D．150°
2． (2023·江蘇鹽城·一模）如圖，已知ABDF，DE和AC分別平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，則∠CDF的度數(shù)為（ ）
A．42°B．43°C．44°D．45°
相交線與平行線
模型（五）——鋸齒模型
◎結(jié)論 如圖所示，AB∥EF，則∠B＋∠D=∠C十∠E
朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和

【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)C作MN//AB，過(guò)點(diǎn)D作PQ//AB.
∵AB//EF, ∴AB//MN// PQ//EF.
∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E,
∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E，
∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得證.
鋸齒模型的變換解題思路

拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯(cuò)角 拆分成2個(gè)豬蹄模型
1． (2023·貴州六盤水·七年級(jí)期中）如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應(yīng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】過(guò)C作CD∥AB，過(guò)M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．
【詳解】過(guò)C作CD∥AB，過(guò)M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，
∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，
∴=∠BCD+∠DCM=，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力．
2． (2023·山東濟(jì)寧·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，如果 AB ∥ CD ，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系為（ ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180°B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180°D．∠α－∠β－∠γ＝180°[
【答案】C
【分析】過(guò)E作EF∥AB，由平行線的質(zhì)可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵∠β=∠AEF+∠FED，
又∵∠γ=∠EDC，
∴∠α+∠β-∠γ=180°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
3． (2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖,ABEF,∠D=90°,則,,的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通過(guò)作輔助線,過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根據(jù)ABEF,可得ABEFCGDH,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得γ+β-α=90°,進(jìn)而可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖,過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)D作CGAB,DHAB,
∵CGAB,DHAB,
∴CGDHAB,
∵ABEF,
∴ABEFCGDH,
∵CGAB,
∴∠BCG=α,
∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,
∵CGDH,
∴∠CDH=∠GCD=β-α,
∵HDEF,
∴∠HDE=γ,
∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,
∴γ+β-α=90°,
∴β=α+90°-γ．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．
1． (2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，玲玲在美術(shù)課上用絲線繡成了一個(gè)“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，則∠E的度數(shù)為（ ）
A．30°B．150°C．120°D．100°
【答案】D
【詳解】過(guò)C作CQ∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CQ，
∵∠A=30°，
∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，
∵∠ACE=110°，
∴∠ECQ=110°?30°=80°，
∴∠E=180°?80°=100°，
故選D.
2． (2023·全國(guó)·七年級(jí)）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式__________．
【答案】∠2+∠3﹣∠1=180°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角定義求解即可．
【詳解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，
∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，
∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，
∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，
∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，
∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，
即∠2+∠3﹣∠1=180°．
故答案為：∠2+∠3﹣∠1=180°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、平角定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
3． (2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，則∠EAB的度數(shù)為_(kāi)_________．
【答案】57°
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180°以及平行線的性質(zhì)：1、如果兩直線平行，那么它們的同位角相等；2、如果兩直線平行，那么它們的同旁內(nèi)角互補(bǔ)；3、如果兩直線平行，那么它們的內(nèi)錯(cuò)角相等，據(jù)此計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)AE、CD交于點(diǎn)F，
∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，
∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，
∴∠AFD=123°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠EAB=180°，
∴∠EAB=180°-123°=57°，
故答案為：57°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，熟知平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
1． (2023·江蘇·蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)一模）如圖，l1∥l2，將一副直角三角板作如下擺放，圖中點(diǎn)A、B、C在同一直線上，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．100°B．120°C．75°D．150°
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)C作CM//l1，則l1//l2//CM，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM∥l1，
∵l1//l2，
∴l(xiāng)1//l2//CM，
∴∠1+∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，
∵∠2＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ACM＝135°，
∴∠ECM＝135°﹣30°＝105°，
∴∠1＝180°﹣105°＝75°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)、兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·江蘇鹽城·一模）如圖，已知ABDF，DE和AC分別平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，則∠CDF的度數(shù)為（ ）
A．42°B．43°C．44°D．45°
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)C作CNAB，過(guò)點(diǎn)E作EMAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的特點(diǎn)得到角度的數(shù)量關(guān)系56°＝∠BAC+2∠FDE，46°＝∠FDE+2∠BAC，從而求出∠FDE＝22°，故可得到∠CDF的度數(shù)．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CNAB，過(guò)點(diǎn)E作EMAB，
∵FDAB，CNAB，EMAB，
∴ABCNEMFD
∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．
∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，
∠ACD＝∠BAC+∠FDC．
又∵DE和AC分別平分∠CDF和∠BAE，
∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC
∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，
46°＝∠FDE+2∠BAC②．
①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，
∴∠BAC+∠FDE＝34°③．
①﹣③，得∠FDE＝22°．
∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線間的角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知平行線與角平分線的性質(zhì)．
故答案是：（n-1）180 °．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造平行線，是解題的關(guān)鍵．

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