知識(shí)點(diǎn)一：相交弦定理
◎結(jié)論1：如圖 ，⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，半徑為r,則
①AP·BP＝CP·DP, ②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.
①【證明】 如上右圖
∵∠A＝∠D，∠APC＝∠DPB
∴△APC∽△DPB
∴APDP＝CPBP
即AP·BP＝CP·DP
② OP與⊙O交于M.N兩點(diǎn)，r為⊙O 的半徑，
AP·BP＝CP·DP＝MP·NP＝（r＋OP）（r－OP）＝r2－OP2
知識(shí)點(diǎn)二：切割線(xiàn)定理
◎結(jié)論2：如圖 ，PBC是⊙O的一條割線(xiàn)，PA是⊙O的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，半徑為r,則①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2
【證明】①
連接AB,AC,連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，連接DB.
∵PA為⊙O的切線(xiàn)
∴∠DAP＝90°
即∠1＋∠2＝90°
∵AD是⊙O的直徑
∴∠ABD＝90°
∴∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3
∵∠3＝∠4
∴∠1＝∠4
∴△PAB∽△PCA
∴PAPC＝PBPA
即PA2＝PB.PC

② PA2＝PB·PC
＝PM·PN
＝（PO－r）（PO＋r）
＝PO2－r2

知識(shí)點(diǎn)三：割線(xiàn)定理
◎結(jié)論3：如圖 ，PAB、PCD是⊙O的兩條割線(xiàn)，半徑為r,則
①PA·PB＝PC·PD, ②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2


【證明】 ∵∠B＝∠D，∠BPC＝∠DPA
∴△PBC∽△PDA
∴PBPD＝PCPA
∴PA·PB＝PC·PD
＝PM·PN
＝（PO－r）（PO＋r）
＝PO2－r2
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
從兩線(xiàn)交點(diǎn)處引出的共線(xiàn)，線(xiàn)段的乘積相等
1．(2023·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓內(nèi)一條弦CD與直徑AB相交成30°角，且分直徑成1cm和5cm兩部分，則這條弦的弦心距是_____．
2．(2023·浙江寧波·九年級(jí)階段練習(xí)）半圓O的直徑AB=9，兩弦AB、CD相交于點(diǎn)E，弦CD=，且BD=7，則DE=_______
3．(2023·四川資陽(yáng)·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H.
(1) 求證：AHAB=AC2；
(2) 若過(guò)A的直線(xiàn)與弦CD(不含端點(diǎn))相交于點(diǎn)E，與⊙O相交于點(diǎn)F，求證：AEAF=AC2；
(3) 若過(guò)A的直線(xiàn)與直線(xiàn)CD相交于點(diǎn)P，與⊙O相交于點(diǎn)Q，判斷APAQ=AC2是否成立(不必證明).
1．(2023·內(nèi)蒙古赤峰·九年級(jí)期末）我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直且相交，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”．如圖1，已知⊙O的兩條弦AB⊥CD，則AB、CD互為“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
（1）若⊙O的半徑為5，一條弦AB =8，則弦AB的“十字弦”CD的最大值為 ，最小值為 ．
（2）如圖2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直徑，弦AB與CD相交于H，連接AC，若AC= 12，DH =7，CH =9，求證︰AB、CD互為“十字弦”；
【問(wèn)題解決】
（3）如圖3，在⊙O中，半徑為，弦AB與CD相交于H，AB、CD互為“十字弦”且AB=CD，，則CD的長(zhǎng)度 ．
1．(2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，中，弦，相交于點(diǎn)，，，則的大小是( )
A．B．C．D．
2．(2023·四川·恩陽(yáng)二中一模）圓內(nèi)一條弦與直徑相交成30°的角，且分直徑1cm和5cm兩段，則這條弦的長(zhǎng)為_(kāi)____．
圓
模型（三十五）——圓冪定理模型
知識(shí)點(diǎn)一：相交弦定理
◎結(jié)論1：如圖 ，⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，半徑為r,則
①AP·BP＝CP·DP, ②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.
①【證明】 如上右圖
∵∠A＝∠D，∠APC＝∠DPB
∴△APC∽△DPB
∴APDP＝CPBP
即AP·BP＝CP·DP
② OP與⊙O交于M.N兩點(diǎn)，r為⊙O 的半徑，
AP·BP＝CP·DP＝MP·NP＝（r＋OP）（r－OP）＝r2－OP2
知識(shí)點(diǎn)二：切割線(xiàn)定理
◎結(jié)論2：如圖 ，PBC是⊙O的一條割線(xiàn)，PA是⊙O的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，半徑為r,則①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2
【證明】①
連接AB,AC,連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，連接DB.
∵PA為⊙O的切線(xiàn)
∴∠DAP＝90°
即∠1＋∠2＝90°
∵AD是⊙O的直徑
∴∠ABD＝90°
∴∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3
∵∠3＝∠4
∴∠1＝∠4
∴△PAB∽△PCA
∴PAPC＝PBPA
即PA2＝PB.PC

② PA2＝PB·PC
＝PM·PN
＝（PO－r）（PO＋r）
＝PO2－r2

知識(shí)點(diǎn)三：割線(xiàn)定理
◎結(jié)論3：如圖 ，PAB、PCD是⊙O的兩條割線(xiàn)，半徑為r,則
①PA·PB＝PC·PD, ②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2


【證明】 ∵∠B＝∠D，∠BPC＝∠DPA
∴△PBC∽△PDA
∴PBPD＝PCPA
∴PA·PB＝PC·PD
＝PM·PN
＝（PO－r）（PO＋r）
＝PO2－r2
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
從兩線(xiàn)交點(diǎn)處引出的共線(xiàn)，線(xiàn)段的乘積相等
1．(2023·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓內(nèi)一條弦CD與直徑AB相交成30°角，且分直徑成1cm和5cm兩部分，則這條弦的弦心距是_____．
答案:1cm
分析首先過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)E，由分直徑成1cm和5cm兩部分，可求得直徑，半徑的長(zhǎng)，繼而求得OE的長(zhǎng)，又由圓內(nèi)一條弦CD與直徑AB相交成30°角，即可求得這條弦的弦心距．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)E，
∵分直徑成1cm和5cm兩部分，
∴AB＝6cm，
∴OA＝AB＝3cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
∵∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝1（cm）．
故答案為：1cm．
【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
2．(2023·浙江寧波·九年級(jí)階段練習(xí)）半圓O的直徑AB=9，兩弦AB、CD相交于點(diǎn)E，弦CD=，且BD=7，則DE=_______
答案:3．
【詳解】試題分析：根據(jù)圓周角定理得出的兩組相等的對(duì)應(yīng)角，易證得△AEB∽△DEC，根據(jù)CD、AB的長(zhǎng)，即可求出兩個(gè)三角形的相似比；設(shè)BE=x，則DE=7-x，然后根據(jù)相似比表示出AE、EC的長(zhǎng)，連接BC，首先在Rt△BEC中，根據(jù)勾股定理求得BC的表達(dá)式，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求得x的值，進(jìn)而可求出DE的長(zhǎng)．
試題解析：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，
∴△AEB∽△DEC；
∴；
設(shè)BE=x，則DE=7-x，EC=x，AE=（7-x）；
連接BC，則∠ACB=90°；
Rt△BCE中，BE=x，EC=x，則BC=x；
在Rt△ABC中，AC=AE+EC=-x，BC=x；
由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，
即：92=（-x）2+（x）2，
整理，得x2-14x+31=0，
解得：x1=7+3（不合題意舍去），x2=7-3
則DE=7-x=3．
考點(diǎn)：1.圓周角定理；2.相似三角形的判定與性質(zhì)．
3．(2023·四川資陽(yáng)·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H.
(1) 求證：AHAB=AC2；
(2) 若過(guò)A的直線(xiàn)與弦CD(不含端點(diǎn))相交于點(diǎn)E，與⊙O相交于點(diǎn)F，求證：AEAF=AC2；
(3) 若過(guò)A的直線(xiàn)與直線(xiàn)CD相交于點(diǎn)P，與⊙O相交于點(diǎn)Q，判斷APAQ=AC2是否成立(不必證明).
答案:（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）成立.
分析（1）連接CB，證明△CAH∽△BAC即可；
（2）連接CF，證△AEC∽△ACF，根據(jù)射影定理即可證得；
（3）由（1）（2）的結(jié)論可知，AP?AQ=AC2成立．
【詳解】(1) 連結(jié)CB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.
而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC .
∴， 即AHAB=AC2 .
(2) 連結(jié)FB，易證△AHE∽△AFB，
∴ AEAF=AHAB，
∴ AEAF=AC2 .
(也可連結(jié)CF，證△AEC∽△ACF)
(3) 結(jié)論APAQ=AC2成立 .
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，其中由相似三角形的性質(zhì)得出比例式是解題關(guān)鍵．
1．(2023·內(nèi)蒙古赤峰·九年級(jí)期末）我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直且相交，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”．如圖1，已知⊙O的兩條弦AB⊥CD，則AB、CD互為“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
（1）若⊙O的半徑為5，一條弦AB =8，則弦AB的“十字弦”CD的最大值為 ，最小值為 ．
（2）如圖2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直徑，弦AB與CD相交于H，連接AC，若AC= 12，DH =7，CH =9，求證︰AB、CD互為“十字弦”；
【問(wèn)題解決】
（3）如圖3，在⊙O中，半徑為，弦AB與CD相交于H，AB、CD互為“十字弦”且AB=CD，，則CD的長(zhǎng)度 ．
答案:（1）10，6；（2）證明見(jiàn)解析；（3）6．
分析（1）根據(jù)“十字弦”定義可得弦AB的“十字弦”CD為直徑時(shí)最大，當(dāng)CD過(guò)A點(diǎn)或B點(diǎn)時(shí)最??；
（2）根據(jù)線(xiàn)段長(zhǎng)度得出對(duì)應(yīng)邊成比例且有夾角相等，證明△ACH∽△DCA，由其性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)合90°的圓周角證出AH⊥CD，根據(jù)“十字弦”定義可得；
（3）過(guò)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，作OF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)DH=x，由題意可得其它線(xiàn)段的長(zhǎng)，在Rt△OEA中，根據(jù)勾股定理列方程得出x的值，從而可求CD的長(zhǎng)．
【詳解】解：（1）當(dāng)CD為直徑時(shí)，CD最大，此時(shí)CD=10，
∴弦AB的“十字弦”CD的最大值為10；
當(dāng)CD過(guò)A點(diǎn)時(shí)，CD長(zhǎng)最小，即AM的長(zhǎng)度，過(guò)O點(diǎn)作ON⊥AM，垂足為N，作OG⊥AB，垂足為G，則四邊形AGON為矩形，
∴AN=OG，
∵OG⊥AB，AB=8，
∴AG=4，
∵OA=5，
∴由勾股定理得OG=3，
∴AN=3，
∵ON⊥AM，
∴AM=6，
即弦AB的“十字弦”CD的最小值是6．
（2）證明：如圖，連接AD，
∵AC=12， DH=7， CH=9，
∴CD=CH+DH=16
∴ ，
∴
∵∠C=∠C，
∴△ACH∽△DCA，
∴∠AHC=∠CAD
∵CD是直徑，
∴∠CAD=90°，
∴∠AHC=90°，
∴AH⊥CD，
∴AB、CD互為“十字弦”．
（3）如圖，過(guò)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，作OF⊥CD于點(diǎn)F，連接OA，OD，則四邊形OEHF是矩形，∴OE=FH，OF=EH，
設(shè)DH=x，
∵，AB=CD，
則CH=5x，CD=AB=6x，
∴FD=AE=3x，
∴OE=FH=3x-x=2x，
∵半徑為，
在Rt△OEA中，由勾股定理得，，
∴，
解得，x=1，
∴CD=6×1=6
【點(diǎn)睛】本題考查圓的相關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，準(zhǔn)確做出輔助線(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵．
1．(2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，中，弦，相交于點(diǎn)，，，則的大小是( )
A．B．C．D．
答案:B
【詳解】試題分析：∵∠D=∠A=42°，∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，故選B．
考點(diǎn)：圓周角定理．
2．(2023·四川·恩陽(yáng)二中一模）圓內(nèi)一條弦與直徑相交成30°的角，且分直徑1cm和5cm兩段，則這條弦的長(zhǎng)為_(kāi)____．
答案:4
分析根據(jù)垂徑定理，過(guò)圓心作弦的垂線(xiàn)，構(gòu)成直角三角形，然后利用30°的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半以及勾股定理計(jì)算，求出弦長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖，
AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB與CD相交于E，∠DEB＝30°，AE＝1cm，EB＝5cm，
過(guò)O作OH⊥CD于H，則CH＝HD，
在Rt△OEH中，OE＝OA﹣AE＝﹣1＝2，
∵∠DEB＝30°，
∴OH＝1，
在Rt△ODH中，OD＝OB＝3，
∴HD2＝OD2﹣OH2＝9﹣1＝8，
∴HD＝2．
CD＝2HD＝4．
故答案是：4cm．
【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后過(guò)圓心作弦的垂線(xiàn)，由30°的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得到弦心距的長(zhǎng)，再用勾股定理可以求出弦長(zhǎng)．

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