?考點05 函數(shù)的應(yīng)用（核心考點講與練）

1.函數(shù)的零點
(1)函數(shù)零點的概念
如果函數(shù)y＝f(x)在實數(shù)α處的值等于零，即f(α)＝0，則α叫做這個函數(shù)的零點.
(2)函數(shù)零點與方程根的關(guān)系
方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點.
(3)零點存在性定理
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數(shù)值異號，即f(a)f(b)0)的圖象與零點的關(guān)系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ0)的圖象



與x軸的交點
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
無交點
零點個數(shù)
2
1
0
3.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較
　　函數(shù)
性質(zhì)　　　
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增減性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行
隨n值變化
而各有不同
4.幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
f(x)＝ax＋b(a、b為常數(shù)，a≠0)
二次函數(shù)模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
與指數(shù)函數(shù)
相關(guān)模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)
與對數(shù)函數(shù)
相關(guān)模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)
與冪函數(shù)
相關(guān)模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)


1.識圖
對于給定函數(shù)的圖象，要從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.
2.用圖
借助函數(shù)圖象，可以研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì).利用函數(shù)的圖象，還可以判斷方程f(x)＝g(x)的解的個數(shù)，求不等式的解集等.
3.轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用
方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.
4.判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法
(1)通過解方程來判斷.
(2)根據(jù)零點存在性定理，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來判斷.
(3)將函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)圖象公共點的個數(shù)來判斷.
5.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟
(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；
(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；
(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.
以上過程用框圖表示如下：


函數(shù)與方程
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，且是的一個零點，則一定是下列函數(shù)的零點的是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先判斷函數(shù)是奇函數(shù)，由零點定義可知，，再經(jīng)過變形，結(jié)合選項判斷是否是函數(shù)的零點.
【詳解】因為，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)．由已知可得，即．所以，所以，故一定是的零點，故A正確，B錯誤；
又由，得，所以，故C錯誤；由，故D錯誤.
故選：A．
2．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知，，若在區(qū)間上恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（???????）
A．（1，3） B．（2，4） C． D．
【答案】C
【分析】x∈，數(shù)形結(jié)合確定的范圍使得圖像和恰好有四個交點.
【詳解】，
在區(qū)間上恰有4個零點，等價與圖象恰好有4個交點，因為x∈，所以，
如圖所示，

則應(yīng)該滿足，解得.
故選：C.
3．（2020·江西師大附中一模（理））已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則（???????）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】轉(zhuǎn)化函數(shù)，，的零點為與，，的交點，數(shù)形結(jié)合，即得解.
【詳解】函數(shù)，，的零點，即為與，，的交點，
作出與，，的圖象，

如圖所示，可知
故選：C
4．（2020·河南·鄭州中學(xué)模擬預(yù)測（文））函數(shù)在區(qū)間上的大致圖像為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)奇偶性排除A，D，根據(jù)，函數(shù)值的正負可選出選項.
【詳解】由題可得是偶函數(shù)，排除A,D兩個選項，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
所以當(dāng)時，僅有一個零點.
故選：C
【點睛】此題考查函數(shù)的奇偶性和零點問題，解題時要善于觀察出函數(shù)的一個零點，再分別討論，函數(shù)值的正負便可得出選項.
5．（2022·江西贛州·二模（理））若函數(shù)有零點，則a的取值范圍是（???????）
A．[，] B．
C．（0，） D．（，+∞）
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)=，利用函數(shù)單調(diào)性可得即得.
【詳解】由有解，
可得，=，
因為與在[1，+∞）都是增函數(shù)，
所以在是增函數(shù)，又時，
所以當(dāng)時有零點.
故選：A.
6．（2020·河南洛陽·模擬預(yù)測（理））已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＞1，且6Sn＝an2+3an+2．若對于任意實數(shù)a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（　?。?br /> A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]
【答案】A
【分析】根據(jù)an與Sn的關(guān)系，由6Sn＝an2+3an+2，得6Sn﹣1＝an﹣12+3an﹣1+2，兩式相減整理得an﹣an﹣1＝3，由等差數(shù)列的定義求得an的通項公式，然后將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為2t2+at﹣4≥0，對于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立求解.
【詳解】由6Sn＝an2+3an+2，
當(dāng)n＝1時，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，
當(dāng)n≥2時，6Sn﹣1＝an﹣12+3an﹣1+2，
兩式相減得6an＝an2+3an﹣（an﹣12+3an﹣1），
整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）＝0，
由an＞0，所以an+an﹣1＞0，所以an﹣an﹣1＝3，
所以數(shù)列{an}是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，
所以an+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，
所以＝＝3﹣＜3，
因此原不等式轉(zhuǎn)化為2t2+at﹣1≥3，對于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，
即為：2t2+at﹣4≥0，對于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，
設(shè)f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，
則f（2）≥0且f（﹣2）≥0，
即有，
解得t≥2或t≤﹣2，
則實數(shù)t的取值范圍是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
故選：A．
【點睛】本題主要考查數(shù)列與不等式的，an與Sn的關(guān)系，等差數(shù)列的定義，方程的根的分布問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和運算求解的能力，屬于中檔題．
7．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）非空集合，，，則實數(shù)的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題知，進而構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)零點存在性定理得，解不等式即可得答案.
【詳解】解：由題知，
因為，所以，
所以，
故令函數(shù)，
所以，如圖，結(jié)合二次函數(shù)的圖像性質(zhì)與零點的存在性定理得：
，即，解得，
所以，實數(shù)的取值范圍為.
故選：A

8．（2022·江西南昌·一模（文））已知，若，分別是方程，的根，則下列說法：①；②；③，其中正確的個數(shù)為（???????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】由題意可得的圖象關(guān)于直線對稱，與的圖象關(guān)于直線對稱，在同一坐標(biāo)系中畫出3個函數(shù)的圖象，可求得的范圍，然后逐個分析判斷即可
【詳解】
，
因為，所以，
所以，且在上單調(diào)遞減，
，分別是方程，的根，
因為與互為反函數(shù)，
所以與的圖象關(guān)于直線對稱，
由，得，
畫出函數(shù)，和的圖象，

由圖可得
，
因為當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以，
所以，所以①正確，
對于②，由圖可得，所以，
因為，所以，所以②正確，
對于③，因為的圖象關(guān)于直線對稱，
因為和互為反函數(shù)，
所以與關(guān)于直線對稱，
所以或，化簡得，所以③正確，
故選：D
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想，解題的關(guān)鍵是正確畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象分析求解的范圍，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題
9．（2020·湖北黃岡·模擬預(yù)測（文））求下列函數(shù)的零點，可以采用二分法的是（???）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】不是單調(diào)函數(shù)，，不能用二分法求零點；
是單調(diào)函數(shù)，，能用二分法求零點；
不是單調(diào)函數(shù)，，不能用二分法求零點；
不是單調(diào)函數(shù)，，不能用二分法求零點.
故選：B
二、多選題
10．（2022·遼寧錦州·一模）設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A． B．在上為減函數(shù)
C．點是函數(shù)的一個對稱中心 D．方程僅有個實數(shù)解
【答案】CD
【分析】根據(jù)和的奇偶性可推導(dǎo)得到，，
由可知A錯誤；推導(dǎo)可得，知C正確；作出圖象，結(jié)合圖象知B錯誤；將解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為與的交點個數(shù)，結(jié)合圖象可知D正確.
【詳解】為奇函數(shù)，，即，
關(guān)于點對稱；
為偶函數(shù)，，即，
關(guān)于對稱；
由，得：，
，即是周期為的周期函數(shù)；
對于A，，A錯誤；
對于C，，即，
關(guān)于點成中心對稱，C正確；
對于BD，由周期性和對稱性可得圖象如下圖所示，

由圖象可知：在上單調(diào)遞增，B錯誤；
方程的解的個數(shù)，等價于與的交點個數(shù)，
，，
結(jié)合圖象可知：與共有個交點，即有個實數(shù)解，D正確.
故選：CD.
11．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間（1，＋∞）內(nèi)沒有零點，則實數(shù)a的取值可以為（???????）
A．－1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【分析】由題意設(shè)，則在上， 與有相同的零點，即討論在區(qū)間內(nèi)沒有零點，求出其導(dǎo)函數(shù)，分析其單調(diào)性，得出其最值情況，從而結(jié)合其大致的圖形可得出答案.
【詳解】，設(shè)
則在上， 與有相同的零點.
故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點,即在區(qū)間內(nèi)沒有零點

當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立,則在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以，顯然在區(qū)間內(nèi)沒有零點.
當(dāng)時, 令，得，令，得
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減增.在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以
設(shè)，則
所以在上單調(diào)遞減,且
所以存在，使得
要使得在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則
所以
綜上所述，滿足條件的的范圍是
由選項可知：選項ABC可使得在區(qū)間內(nèi)沒有零點，即滿足題意.
故選：ABC
三、填空題
12．（2022·湖南永州·三模）已知函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)且有一個零點，則的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】由已知，確定范圍，再由正弦型三角函數(shù)圖像的性質(zhì)得到，進而化簡求解.
【詳解】在內(nèi)單調(diào)且，可得，，解得，
又∵，∴，
又 在上恰有一個零點，所以，
∴且，解之得.
故答案為：
13．（2021·寧夏中衛(wèi)·三模（理））已知方程的根在區(qū)間上，第一次用二分法求其近似解時，其根所在區(qū)間應(yīng)為__________．
【答案】
【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，求方程的一個近似解，就是求函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有零點，分析函數(shù)值的符號是否異號即可．
【詳解】解：令，其在定義域上單調(diào)遞增，
且，，
，
由f（2.5）f（3）＜0知根所在區(qū)間為．
故答案為：．
四、解答題
14．（2022·四川雅安·二模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，曲線在點處的切線方程；
(2)若為整數(shù)，當(dāng)時，，求的最小值．
【答案】(1) (2)2
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出答案；
（2）由，可得，求導(dǎo)，再令，用導(dǎo)數(shù)法得到時，取得極小值，分和時，即論證，再驗證是否成立即可.
(1)解：當(dāng)時，，
則，
則，，
所以曲線在點處的切線方程為；
(2)因為當(dāng)時，，
所以，即，
所以，則，
令，則，
因為，
所以在遞增，又，
當(dāng)時，，遞減，當(dāng)時，，遞增，
所以當(dāng)時，取得極小值，
當(dāng)時，，即，
所以在上遞增，則，
又，
令，在上遞增，
所以，
所以，滿足題意；
當(dāng)時，因為a為整數(shù)，則，此時，
則，，
因為函數(shù)在都是增函數(shù)，
所以函數(shù)在是增函數(shù)，
又，
所以存在，使得，
則當(dāng)時，，故函數(shù)遞減，
當(dāng)時，，故函數(shù)遞增，
又，
所以存在，使得，
則當(dāng)時，，故函數(shù)遞減，
當(dāng)時，，故函數(shù)遞增，
所以，
而，即，所以，
所以，
令，
則，
令，
則，
所以函數(shù)在上遞減，
所以，
所以，
所以函數(shù)在上遞減，
所以,
所以，即，滿足題意；
當(dāng)時，，則，
，
因為函數(shù)在都是增函數(shù)，
所以函數(shù)在是增函數(shù)，
且，
所以在上遞增，又，
所以存在，使得，
當(dāng)時，，故函數(shù)遞減，，不滿足題意，
綜上：整數(shù)的最小值為2.
【點睛】
思路點睛：本題第二問基本思路是由確定，再由，當(dāng)時，取得極小值，確定分類標(biāo)準而得解，特別注意是驗證是否成立是本題的關(guān)鍵.
五、雙空題
15．（2022·江蘇江蘇·一模）已知是定義在上的奇函數(shù)，且.若當(dāng)時，，則在區(qū)間上的值域為____________，在區(qū)間內(nèi)的所有零點之和為__________
【答案】???? ???? ##2.5
【分析】第一空先求出函數(shù)在上的解析式，結(jié)合奇函數(shù)畫出的圖像，再由得到，
進而得到函數(shù)在上的圖像，即可求得值域；
第二空畫出將零點轉(zhuǎn)化為的交點，再畫出的圖像即可求解.
【詳解】
由當(dāng)時，，可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，
又是奇函數(shù)，可得函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱.又當(dāng)時，即，即，
即函數(shù)右移兩個單位，函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼?倍，由此可得函數(shù)在上的圖像如圖所示：

結(jié)合圖像可知在區(qū)間上的值域為；，即，即的交點，
畫出的圖像，由圖像可知4個交點的橫坐標(biāo)依次為，又均是奇函數(shù)，故，
故.
故答案為：；.
16．（2022·廣東汕頭·一模）為檢測出新冠肺炎的感染者，醫(yī)學(xué)上可采用“二分檢測法”、假設(shè)待檢測的總?cè)藬?shù)是（）將個人的樣本混合在一起做第1輪檢測（檢測一次），如果檢測結(jié)果為陰性，可確定這批人未感染；如果檢測結(jié)果為陽性，可確定其中有感染者，則將這批人平均分為兩組，每組人的樣本混合在一起做第2輪檢測，每組檢測1次，如此類推：每輪檢測后，排除結(jié)果為陰性的那組人，而將每輪檢測后結(jié)果為陽性的組在平均分成兩組，做下一輪檢測，直到檢測出所有感染者（感染者必須通過檢測來確定）.若待檢測的總?cè)藬?shù)為8，采用“二分檢測法”檢測，經(jīng)過4輪共7次檢測后確定了所有感染者，則感染者人數(shù)最多為______人.若待檢測的總?cè)藬?shù)為，且假設(shè)其中有不超過2名感染者，采用“二分檢測法”所需檢測總次數(shù)記為n，則n的最大值為______.
【答案】???? 2????
【分析】利用二分檢測法求解.
【詳解】若待檢測的總?cè)藬?shù)為8，則第一輪需檢測1次，第2輪需檢測2次，第3輪需檢測2次，第4輪需檢測2次，
則共需檢測7次，此時感染者人數(shù)最多為2人；
若待檢測的總?cè)藬?shù)為，且假設(shè)其中有不超過2名感染者，
若沒有感染者，則只需1次檢測即可；
若只有1個感染者，則只需次檢測；
若只有2個感染者，若要檢測次數(shù)最多，則第2輪檢測時，2個感染者不位于同一組，
此時相當(dāng)兩個待檢測均為的組，
每組1個感染者，此時每組需要次檢測，
所以此時兩組共需次檢測，
故有2個感染者，且檢測次數(shù)最多，共需次檢測，
所以采用“二分檢測法”所需檢測總次數(shù)記為n，則n的最大值為.
故答案為：2，
函數(shù)模型及其應(yīng)用
一、單選題
1．（2022·廣東·一模）已知函數(shù)，，則圖象如圖的函數(shù)可能是(???????)

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結(jié)合函數(shù)圖像的奇偶性和單調(diào)性即可判斷.
【詳解】由圖可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，和為非奇非偶函數(shù)，故A、B不符；
當(dāng)x＞0時，單調(diào)遞增，與圖像不符，故C不符；
為奇函數(shù)，當(dāng)x→＋￥時，∵y＝的增長速度快于y＝lnx的增長速度，故＞0且單調(diào)遞減，故圖像應(yīng)該在x軸上方且無限靠近x軸，與圖像相符.
故選：D.
2．（2022·貴州·模擬預(yù)測（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象.若某入侵物種的個體平均繁殖數(shù)量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時間.在物種入侵初期，可用對數(shù)模型（為常數(shù)）來描述該物種累計繁殖數(shù)量與入侵時間（單位：天）之間的對應(yīng)關(guān)系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出，.據(jù)此估計該物種累計繁殖數(shù)量比初始累計繁殖數(shù)量增加倍所需要的時間為（，）（???????）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】C
【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)可求得，設(shè)初始時間為，累計繁殖數(shù)量增加倍后的時間為，利用，結(jié)合對數(shù)運算法則可求得結(jié)果.
【詳解】，，，，解得：.
設(shè)初始時間為，初始累計繁殖數(shù)量為，累計繁殖數(shù)量增加倍后的時間為，
則（天）.
故選：C.
3．（2022·廣西·模擬預(yù)測（理））異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】初始狀態(tài)設(shè)為，變化后為，根據(jù)，的關(guān)系代入后可求解．
【詳解】設(shè)初始狀態(tài)為，則，，
又，，即，
，，，，．
故選：D．4．（2022·河南新鄉(xiāng)·三模（理））中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示，在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比.當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計.按照香農(nóng)公式，增加帶寬，提高信號功率和降低噪聲功率都可以提升信息傳遞速度，若在信噪比為1000的基礎(chǔ)上，將帶寬W增大到原來的2倍，信號功率S增大到原來的10倍，噪聲功率N減小到原來的，則信息傳遞速度C大約增加了（???????）（參考數(shù)據(jù)：）
A．87% B．123% C．156% D．213%
【答案】D
【分析】先求得提升前的信息傳遞速度，然后求得提升后的信息傳播速度，由此求得正確答案.
【詳解】提升前的信息傳遞速度，
提升后的信息傳遞速度，
所以信息傳遞速度C大約增加了.
故選：D
5．（2022·天津市第七中學(xué)模擬預(yù)測）一種藥在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危險．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過 （???????）小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．（附：，，結(jié)果精確到）
A．小時 B．小時 C．小時 D．小時
【答案】A
【分析】根據(jù)已知關(guān)系式可得不等式，結(jié)合對數(shù)運算法則解不等式即可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥小時后再向病人的血液補充這種藥，
則，整理可得：，
，
，，
，即應(yīng)在用藥小時后再向病人的血液補充這種藥.
故選：A.
二、多選題
6．（2022·湖北·一模）盡管目前人類還無法準確預(yù)報地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M，則下列說法正確的是（???????）
A．地震釋放的能量為1015.3焦耳時，地震里氏震級約為七級
B．八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的6.3倍
C．八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍
D．記地震里氏震級為n（n=1，2，···，9，10），地震釋放的能量為an，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列
【答案】ACD
【分析】根據(jù)所給公式，結(jié)合指對互化原則，逐一分析各個選項，即可得答案.
【詳解】對于A：當(dāng)時，由題意得，
解得，即地震里氏震級約為七級，故A正確；
對于B：八級地震即時，，解得，
所以，
所以八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的倍，故B錯誤；
對于C：六級地震即時，，解得，
所以，
即八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍，故C正確；
對于D：由題意得（n=1，2，···，9，10），
所以，所以
所以，即數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故D正確；
故選：ACD
7．（2021·福建廈門·一模）某醫(yī)藥研究機構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線．據(jù)進一步測定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（???????）

A．
B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時
C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克
D．注射一次治療該病的有效時間長度為時
【答案】AD
【分析】利用圖象分別求出兩段函數(shù)解析式，再進行逐個分析，即可解決．
【詳解】由函數(shù)圖象可知，
當(dāng)時，，即，解得，
，故正確，
藥物剛好起效的時間，當(dāng)，即，
藥物剛好失效的時間，解得，
故藥物有效時長為小時，
藥物的有效時間不到6個小時，故錯誤，正確；
注射該藥物小時后每毫升血液含藥量為微克，故錯誤，
故選：．
8．（2021·江蘇南京·二模）某港口一天24h內(nèi)潮水的高度S（單位：m）隨時間t（單位：h，0≤t≤24）的變化近似滿足關(guān)系式，則下列說法正確的有（???????）
A．在[0，2]上的平均變化率為m/h
B．相鄰兩次潮水高度最高的時間間距為24h
C．當(dāng)t＝6時，潮水的高度會達到一天中最低
D．18時潮水起落的速度為m/h
【答案】BD
【解析】利用導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義、求導(dǎo)法則，逐個判斷選項即可
【詳解】由題意，對于選項A，，，
所以在[0，2]上的平均變化率為m/h，故A選項錯誤；
對于選項B，相鄰兩次潮水高度最高的時間間距為一個周期，而h，故B選項正確；對于選項C，當(dāng)t＝6時，，
所以潮水的高度會達到一天中最低為錯誤說法，即C選項錯誤；
對于選項D，，
所以，
則選項D正確；綜上，答案選BD.
故選：BD
【點睛】關(guān)鍵點睛：解題關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義、求導(dǎo)法則，求出題中函數(shù)的單調(diào)性、周期和最值，進而判斷選項，屬于基礎(chǔ)題
9．（2020·福建莆田·模擬預(yù)測）某導(dǎo)演的紀錄片《垃圾圍城》真實地反映了城市垃圾污染問題，目前中國668個城市中有超過的城市處于垃圾的包圍之中，且城市垃圾中的快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾正在逐年攀升，有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，某城市從2016年到2019年產(chǎn)生的包裝垃圾量如下表：
年份x
2016
2017
2018
2019
包裝垃圾y（萬噸）
4
6
9
13. 5
（1）有下列函數(shù)模型：①；②；③（參考數(shù)據(jù)：，），以上函數(shù)模型（???????）A．選擇模型①，函數(shù)模型解析式，近似反映該城市近幾年包裝垃圾生產(chǎn)量y（萬噸）與年份x的函數(shù)關(guān)系
B．選擇模型②，函數(shù)模型解析式，近似反映該城市近幾年包裝垃圾生產(chǎn)量y（萬噸）與年份x的函數(shù)關(guān)系
C．若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2021年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸
D．若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2022年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸
【答案】AD
【解析】分別選函數(shù)模型: ，，代入數(shù)據(jù)計算得到近似值，比較即可，根據(jù)選擇的函數(shù)模型，令計算得出結(jié)論.
【詳解】若選，計算可得對應(yīng)數(shù)據(jù)近似為，
若選，計算可得對應(yīng)數(shù)據(jù)近似值都大于2012，顯然A正確，B錯誤；
按照選擇函數(shù)模型，
令，即，
，
，
，
，
即從2022年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸，故C錯誤D正確.
故選：AD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)給出的函數(shù)模型，利用所給數(shù)據(jù)比較擬合程度即可選出適合的函數(shù)模型，根據(jù)所選函數(shù)模型，解不等式即可求出結(jié)論，考查運算能力，屬于中檔題.
三、填空題
10．（2022·重慶·模擬預(yù)測）我國的酒駕標(biāo)準是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于，已知一駕駛員某次飲酒后體內(nèi)每血液中的酒精含量（單位：）與時間（單位：
）的關(guān)系是：當(dāng)時，；當(dāng)時，，那么該駕駛員在飲酒后至少要經(jīng)過__________才可駕車.
【答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性和反比例函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.
【詳解】當(dāng)時，，
當(dāng)時，函數(shù)有最大值，所以當(dāng)時，飲酒后體內(nèi)每血液中的酒精含量小于，
當(dāng)當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，令，因此飲酒后小時體內(nèi)每血液中的酒精含量等于，
故答案為：
四、解答題
11．（2022·四川·瀘縣五中模擬預(yù)測（理））為響應(yīng)綠色出行，前段時間貴陽市在推出“共享單車”后，又推出“新能源分時租賃汽車”，其中一款新能源分時租賃汽車，每次租車收費的標(biāo)準由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程按1元/公里計費；②行駛時間不超過40分鐘時，按0.12元/分鐘計費；超出部分按0.20元/分鐘計費，已知張先生家離上班地點15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅路燈等因素，每次路上開車花費的時間（分鐘）是一個隨機變量.現(xiàn)統(tǒng)計了100次路上開車花費時間，在各時間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示：
時間（分鐘）




頻數(shù)
4
36
40
20

將各時間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車的時間，范圍為分鐘.
(1)寫出張先生一次租車費用（元）與用車時間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若公司每月給900元的車補，請估計張先生每月（按24天計算）的車補是否足夠上下租用新能源分時租賃汽車？并說明理由；（同一時段，用該區(qū)間的中點值作代表）
(3)若張先生一次開車時間不超過40分鐘為“路段暢通”，設(shè)表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù)，求的分布列和期望.
【答案】(1)；
(2)張先生每月的車補不夠上下班租用新能源分時租賃汽車費用，理由見解析；
(3)分布列見解析，期望為.
【分析】（1）分類討論得到一次租車費用（元）與用車時間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出一個月上下班租車的費用即得解；
（3）由題得可取，再求出對應(yīng)的概率即得解.
(1)解：當(dāng)時，
當(dāng)時，
所以.
(2)解：張先生租用一次新能源分時汽車上下班，
平均用車時間為
每次上下班租車的費用約為
一個月上下班租車的費用約為，
估計張先生每月的車補不夠上下班租用新能源分時租賃汽車費用.
(3)解：張先生租賃分時汽車為“路段暢通”的概率，
可取.
，
的分布列為：

0
1
2
3
p




所以
12．（2021·全國·模擬預(yù)測）隨著我國經(jīng)濟發(fā)展?醫(yī)療消費需求增長?人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.某醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為萬元，最大產(chǎn)能為臺.每生產(chǎn)
臺，需另投入成本萬元，且由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.
（1）寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式（利潤=銷售收入-成本）；
（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）；（2）該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是萬元.
【分析】（1）根據(jù)年利潤等于總收入減去固定成本萬再減去另投入成本，寫成分段函數(shù)的形式即可；
（2）分別由二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式求出分段函數(shù)各段的最大值，再比較取最大值即可求解.
【詳解】（1）由題意可得：
當(dāng)時，
；
當(dāng)時，，
所以
（2）若，，
所以當(dāng)時，萬元.
若，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，萬元.
所以該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是萬元.
13．（2018·全國·三模（理））某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y200x＋80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？
【答案】(1)400；(2)不能獲利，至少需要補貼35000元.
【分析】(1)每月每噸的平均處理成本為，利用基本不等式求解即得最低成本；
(2)寫出該單位每月的獲利f(x)關(guān)于x的函數(shù)，整理并利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可作答.
(1)由題意可知：，
每噸二氧化碳的平均處理成本為：
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
∴該單位每月處理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低；
(2)該單位每月的獲利：
，
因，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
從而得當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，即，
所以，該單位每月不能獲利，國家至少需要補貼35000元才能使該單位不虧損.
函數(shù)綜合
一、單選題
1．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)一模）已知，且函數(shù).若對任意的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先參變分離得，然后分類討論求出得最小值，列不等式解出的范圍即可.
【詳解】解：因為，不等式恒成立，
所以，
即恒成立，
令，則，
時，＜0，g（x）遞減；時，＞0，g（x）遞增，
所以g（x）最小值為：，
令（），
所以
令
（1）當(dāng)時，t≥4，，所以的最小值為：，
所以，
即，解得：，
所以
（2）當(dāng)1＜＜4時，所以，，的最小值為：，
所以，
即，解得：
所以恒成立．
綜合（1）（2）可知：
故選B.
【點睛】本題考查了函數(shù)的綜合問題，不等式恒成立問題，參變分離和分類討論是解題關(guān)鍵，屬于難題.
2．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））若關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)解，且，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為（???????）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【詳解】化簡，可得，令，原式可化為，，由韋達定理可得，，， 兩式相乘可得，即的值為，故選A.
【方法點睛】本題主要考查韋達定理的應(yīng)用及數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與劃歸思想，屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準突破點.以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識領(lǐng)域，進而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中.本題中，利用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為，是解題的關(guān)鍵.
3．（2022·貴州·鎮(zhèn)遠縣文德民族中學(xué)校模擬預(yù)測（文））設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)已知條件求出當(dāng)時，函數(shù)，
做出示意圖如下圖所示： 要使，則需，而由可解得，從而得出的范圍.
【詳解】當(dāng)時，，而時，所以
又，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
做出示意圖如下圖所示：
要使，則需，而由解得，所以，
故選：D.

【點睛】本題考查函數(shù)不等式的求解問題，解決問題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件求出相應(yīng)區(qū)間的解析式，運用數(shù)形結(jié)合的思想巧妙求解不等式，屬于中檔題.
4．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】利用特殊值代入的方法排除C D，當(dāng)時，求出，，比較變化情況排除選項A，即可得出結(jié)果.
【詳解】因為，
由，排除C D；
當(dāng)時，
，
，
又，
則，
；
，
，
選項A在減的越來越快，不符合題意；
故選：B.
【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)圖象的識別，此類問題一般利用特殊值代入，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)在特殊點處的函數(shù)的符號等來判別.
5．（2021·安徽·池州市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)函數(shù)，其中 ，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（?????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)，，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)使得滿足，求導(dǎo)可得出函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得且，由此可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】設(shè)，，
由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個點的橫坐標(biāo)為整數(shù)，
，當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以，函數(shù)的最小值為.
又，.
直線恒過定點且斜率為，
故且，解得，故選D.
【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，涉及數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化，屬于中等題.
6．（2021·四川·仁壽一中二模（文））關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①f(x)是偶函數(shù)?????????????②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增
③f(x)在有4個零點???????④f(x)的最大值為2
其中所有正確結(jié)論的編號是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】化簡函數(shù)，研究它的性質(zhì)從而得出正確答案．
【詳解】為偶函數(shù)，故①正確．當(dāng)時，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯誤．當(dāng)時，，它有兩個零點：；當(dāng)時，，它有一個零點：，故在有個零點：，故③錯誤．當(dāng)時，；當(dāng)時，，又為偶函數(shù)，的最大值為
，故④正確．綜上所述，①④???????正確，故選C．
【點睛】畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．

二、多選題
7．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，下列四個命題正確的是．
A．函數(shù)為偶函數(shù)
B．若，其中，，，則
C．函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)
D．若，則
【答案】ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義，函數(shù)性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及作差法，可以判斷.
【詳解】函數(shù)
對于，，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故正確；
對于，若，其中，，，所以，
，即，得到，故正確；
對于，函數(shù)，由，解得，所以函數(shù)的定義域為，因此在上不具有單調(diào)性，故錯誤；
對于，因為，，故
，故正確.
故選：.
【點睛】本題主要考查的是函數(shù)的性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，作差法的應(yīng)用，考查學(xué)生的分析問題的能力，和計算能力，是中檔題.
三、填空題
8．（2021·北京八十中模擬預(yù)測）已知集合，若對于任意，存在，使得成立，則稱集合是“好集合.給出下列4個集合：① ； ② ；③ ； ④ .其中所有“好集合”的序號是________________.
【答案】②③
【解析】根據(jù)題意設(shè)，由，可知，即，逐個作圖，分別判斷即可得解.
【詳解】根據(jù)題意設(shè)，由，
可知，即，

對①，，如圖，不管在一側(cè)還是同側(cè)均不能有

對②，，如圖，對任意，均有使得，

對③，，如圖，對任意，均有使得，

對④， ，如圖，當(dāng)取，則不存在使得，
故答案為：②③
【點睛】本題考查了函數(shù)相關(guān)的新定義，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.
本題的關(guān)鍵點有：
（1）陌生的問題熟悉化，通過轉(zhuǎn)化把新定義轉(zhuǎn)化為垂直問題；
（2）數(shù)形結(jié)合，對圖像的的直觀認識是解題關(guān)鍵.

_
一、單選題
1．（2020·海南·高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （???????）
A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，根據(jù)，解得即可得結(jié)果.
【詳解】因為，，，所以，所以，
設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，
則，所以，所以，
所以天.
故選：B.
【點睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.
2．（2020·天津·高考真題）已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為與有個不同交點，分三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.
【詳解】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根
即可，
令，即與的圖象有個不同交點.
因為，
當(dāng)時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；
當(dāng)時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；
當(dāng)時，如圖3，當(dāng)與相切時，聯(lián)立方程得，
令得，解得（負值舍去），所以.
綜上，的取值范圍為.
故選：D.
???????????????

【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中檔題.
3．（2020·全國·高考真題（理））若，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)，利用作差法結(jié)合的單調(diào)性即可得到答案.
【詳解】設(shè)，則為增函數(shù)，因為
所以，
所以，所以.
，
當(dāng)時，，此時，有
當(dāng)時，，此時，有，所以C、D錯誤.
故選：B.
【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題.
4．（2020·全國·高考真題（理））在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（???????）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.
【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，
，故至少需要志愿者名.
故選：B
【點晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
5．（2019·全國·高考真題（理））關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①f(x)是偶函數(shù)?????????????②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增
③f(x)在有4個零點???????④f(x)的最大值為2
其中所有正確結(jié)論的編號是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】化簡函數(shù)，研究它的性質(zhì)從而得出正確答案．
【詳解】為偶函數(shù)，故①正確．當(dāng)時，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯誤．當(dāng)時，，它有兩個零點：；當(dāng)時，，它有一個零點：，故在有
個零點：，故③錯誤．當(dāng)時，；當(dāng)時，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④???????正確，故選C．
【點睛】畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．

二、雙空題
6．（2019·北京·高考真題（理））李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．
①當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．
【答案】???? 130.???? 15.
【分析】由題意可得顧客需要支付的費用，然后分類討論，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得的最大值.
【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為元,
元時,李明得到的金額為,符合要求.
元時,有恒成立,即,即元.
所以的最大值為.
【點睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識?數(shù)學(xué)式子變形與運算求解能力,以實際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
三、填空題
7．（2019·江蘇·高考真題）設(shè)是定義在上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時，，，其中.若在區(qū)間上，關(guān)于的方程有8個不同的實數(shù)根，則 的取值范圍是_____.
【答案】.
【分析】分別考查函數(shù)和函數(shù)圖像的性質(zhì)，考查臨界條件確定k的取值范圍即可.
【詳解】當(dāng)時，即
又為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，其周期為，如圖，函數(shù)與的圖象，要使在上有個實根，只需二者圖象有個交點即可.
???
當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有個交點；
當(dāng)時，的圖象為恒過點的直線，只需函數(shù)與的圖象有個交點.當(dāng)與圖象相切時，圓心到直線的距離為，即，得，函數(shù)與的圖象有個交點；當(dāng)過點時，函數(shù)與的圖象有個交點，此時，得.
綜上可知，滿足在上有個實根的的取值范圍為.
【點睛】本題考點為參數(shù)的取值范圍，側(cè)重函數(shù)方程的多個實根，難度較大.不能正確畫出函數(shù)圖象的交點而致誤，根據(jù)函數(shù)的周期性平移圖象，找出兩個函數(shù)圖象相切或相交的臨界交點個數(shù)，從而確定參數(shù)的取值范圍.
四、解答題
8．（2019·江蘇·高考真題）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋
AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；
（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；
（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時，P、Q兩點間的距離．
【答案】（1）15（百米）；（2）見解析；（3）17+（百米）.
【分析】解：解法一：
（1）過A作，垂足為E.利用幾何關(guān)系即可求得道路PB的長；
（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.
（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當(dāng)d最小時，P、Q兩點間的距離．
解法二：
（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別確定點P和點B的坐標(biāo)，然后利用兩點之間距離公式可得道路PB的長；
（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.
（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當(dāng)d最小時，P、Q兩點間的距離．
【詳解】解法一：
（1）過A作，垂足為E.
由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.
因為PB⊥AB，
所以.
所以.
因此道路PB的長為15（百米）.

（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除B，E）到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.
②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知，
從而，所以∠BAD為銳角.
所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.
因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.
綜上，P和Q均不能選在D處.
（3）先討論點P的位置.
當(dāng)∠OBP90°時，在中，.
由上可知，d≥15.
再討論點Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時，.此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.
綜上，當(dāng)PB⊥AB，點Q位于點C右側(cè)，且CQ=時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17+（百米）.
解法二：
（1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H.
以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

因為BD=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線l的方程為y=9，點A，B的縱坐標(biāo)分別為3，?3.
因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.
從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.
因為PB⊥AB，所以直線PB的斜率為，
直線PB的方程為.
所以P（?13，9），.
因此道路PB的長為15（百米）.
（2）①若P在D處，取線段BD上一點E（?4，0），則EO=4

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