數(shù)列的概念及簡單表示法
1.數(shù)列的定義
按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.
2.數(shù)列的分類
3.數(shù)列的表示法
數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.
4.數(shù)列的通項公式
(1)通項公式：如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個式子an＝f(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.
(2)遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.
5.數(shù)列求和的幾種常用方法
(1)分組轉(zhuǎn)化法
把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.
(2)裂項相消法
把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.
(3)錯位相減法
如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解.
(4)倒序相加法
如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.
1.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān).
3.易混項與項數(shù)的概念，數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應(yīng)的位置序號.
4.Sn與an關(guān)系問題的求解思路
根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．
5.由遞推關(guān)系式求通項公式的常用方法
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1.
(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1.
(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{an＋k}．
(4)形如an＋1＝(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解．
6.在利用裂項相消法求和時應(yīng)注意：
(1)在把通項裂開后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項之差；
(2)要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．
7.用錯位相減法求和時，應(yīng)注意
(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意
與的關(guān)系
1. （2022湖北省新高考） 已知數(shù)列的首項，其前項和為，若，則__________．
由遞推公式求通項
1.（2022河南省頂級名校9月開學(xué)聯(lián)考）若數(shù)列滿足：，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022遼寧省盤錦市高級中學(xué)9月月考）已知數(shù)列滿足，，且=+-（n≥2），則數(shù)列的通項公式為_____________.
分組求和
1.（2022湖北省武漢市部分學(xué)校9月質(zhì)量檢測）設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求的表達(dá)式.
2.（2022安徽省江淮十校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知數(shù)列的前n項和為，滿足，（t為常數(shù)）．
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項和為．
裂項相消法求和
1.（2022河南省部分名校高三上學(xué)期8月份摸底）已知數(shù)列的前項和為，且.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項和.
錯位相減求和
1.（2021高三數(shù)學(xué)沖刺原創(chuàng)卷）已知是首項為1的單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其中，，成等比數(shù)列．的前項和為，且，．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
2.（2022河南省頂級名校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知數(shù)列、滿足：且，．
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）數(shù)列滿足：，其中，若數(shù)列的前項和為，求．
1.（2020年新課標(biāo)Ⅰ）數(shù)列滿足，前16項和為540，則 ______________.
2.（2020年新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．
（1）求的公比；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
3.（2021年全國高考乙卷）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）求的通項公式．
一、單選題
1． (2023·浙江嘉興·二模）已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項和，則（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則當(dāng)取得最大值時的值為（ ）
A．2020B．2024C．2022D．2023
二、多選題
3． (2023·湖北·黃岡中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且對于恒成立，若定義，，則以下說法正確的是（ ）
A．是等差數(shù)列B．
C．D．存在使得
三、填空題
4． (2023·遼寧葫蘆島·一模）已知數(shù)列，，對于任意正整數(shù)m，n，都滿足，則______．
5． (2023·江西景德鎮(zhèn)·三模（理））已知數(shù)列和正項數(shù)列，其中，且滿足，數(shù)列的前n項和為，記，滿足．對于某個給定或的值，則下列結(jié)論中：①；②；③若，則數(shù)列單調(diào)遞增；④若，則數(shù)列從第二項起單調(diào)遞增．其中正確命題的序號為______．
四、解答題
6． (2023·重慶八中模擬預(yù)測）已知是公差不為零的等差數(shù)列的前n項和，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列，數(shù)列化的前2n項和為，若，求正整數(shù)n的最小值.
7． (2023·福建·模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，，設(shè)，求數(shù)列的前項和.
8． (2023·江蘇·海安高級中學(xué)二模）已知數(shù)列前n項積為，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求證：．
9． (2023·廣東廣州·二模）問題：已知，數(shù)列的前n項和為，是否存在數(shù)列，滿足，__________﹖若存在．求通項公式﹔若不存在，說明理由．
在①﹔②；③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
10． (2023·浙江嘉興·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是首項為1公比為的等比數(shù)列，其前n項和為，且，對任意恒成立.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設(shè)，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
分類標(biāo)準(zhǔn)
類型
滿足條件
項數(shù)
有窮數(shù)列
項數(shù)有限
無窮數(shù)列
項數(shù)無限
項與項
間的大
小關(guān)系
遞增數(shù)列
an＋1＞an
其中n∈N+
遞減數(shù)列
an＋1＜an
常數(shù)列
an＋1＝an
擺動數(shù)列
從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列

考點13 數(shù)列概念及通項公式（核心考點講與練）
數(shù)列的概念及簡單表示法
1.數(shù)列的定義
按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.
2.數(shù)列的分類
3.數(shù)列的表示法
數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.
4.數(shù)列的通項公式
(1)通項公式：如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個式子an＝f(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.
(2)遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.
5.數(shù)列求和的幾種常用方法
(1)分組轉(zhuǎn)化法
把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.
(2)裂項相消法
把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.
(3)錯位相減法
如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解.
(4)倒序相加法
如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.
1.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān).
3.易混項與項數(shù)的概念，數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應(yīng)的位置序號.
4.Sn與an關(guān)系問題的求解思路
根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．
5.由遞推關(guān)系式求通項公式的常用方法
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1.
(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1.
(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{an＋k}．
(4)形如an＋1＝(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解．
6.在利用裂項相消法求和時應(yīng)注意：
(1)在把通項裂開后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項之差；
(2)要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．
7.用錯位相減法求和時，應(yīng)注意
(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意
與的關(guān)系
1. （2022湖北省新高考） 已知數(shù)列的首項，其前項和為，若，則__________．
【答案】96
【分析】由題意易得，兩式相減可得數(shù)列從第二項開始成等比數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
兩式相減得，
又因為，，得，
所以數(shù)列從第二項開始成等比數(shù)列，
因此其通項公式為，
所以，
故答案為：96.
由遞推公式求通項
1.（2022河南省頂級名校9月開學(xué)聯(lián)考）若數(shù)列滿足：，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
分析】利用整體相減的方法即可計算出數(shù)列的通項公式
【詳解】由①得，當(dāng)時②
由①②得
當(dāng)時也滿足上式
故選：D
2.（2022遼寧省盤錦市高級中學(xué)9月月考）已知數(shù)列滿足，，且=+-（n≥2），則數(shù)列的通項公式為_____________.
【答案】
【分析】化簡題設(shè)條件得到，得出數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，求得則，再利用疊加法，即可求解，得到答案.
【詳解】由題意，數(shù)列滿足（），
兩側(cè)同除，可得，即，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
則，
所以
（），
當(dāng)時，適合上式，
所以，所以數(shù)列的通項公式.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了等差數(shù)列定義及通項公式，以及“疊加法”的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義和通項公式，合理利用“疊加法”求解是解答的關(guān)鍵.
分組求和
1.（2022湖北省武漢市部分學(xué)校9月質(zhì)量檢測）設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求的表達(dá)式.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)，即可求出數(shù)列的通項公式；
（2）利用分組求和法以及等差數(shù)列的前和公式即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，
即，因此，
所以
，
經(jīng)檢驗，時成立，所以；
（2），
所以
2.（2022安徽省江淮十校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知數(shù)列的前n項和為，滿足，（t為常數(shù)）．
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項和為．
【答案】（1）；（2）．
【分析】(1)令,解得:,再由,即可求出,
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,再利用并項求和,即可求解.
【詳解】解：（1）令，，可得，所以
時，，可得
所以（），又因為滿足上式，所以
（2）因為
所以
裂項相消法求和
1.（2022河南省部分名校高三上學(xué)期8月份摸底）已知數(shù)列的前項和為，且.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項和.
答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列與的關(guān)系，消去，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，知，再利用裂項相消法求和.
【詳解】解：（1）由，得，①
于是得， ②
②-①得，
即，
當(dāng)時，，即，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以.
錯位相減求和
1.（2021高三數(shù)學(xué)沖刺原創(chuàng)卷）已知是首項為1的單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其中，，成等比數(shù)列．的前項和為，且，．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及已知條件，求出等差數(shù)列的公差，再利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；(2)根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項公式，再利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式即可求解．
【詳解】(1)因為是首項為1的單調(diào)遞增的等差數(shù)列，所以，
設(shè)數(shù)列的公差為且，
則，，
．
因為，，成等比數(shù)列，
所以，
即，
解得或（舍負(fù)），
所以．
(2)因為，①
所以，②
由①-②得，
所以．
因為，，
所以是從第二項開始的等比數(shù)列，
則數(shù)列的通項公式為??=3,?=1,2?,?≥2.
由（Ⅰ）知?????=3,?=1,2??1?2?,?≥2,
則，③
，④
③-④得
，
所以．
2.（2022河南省頂級名校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知數(shù)列、滿足：且，．
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）數(shù)列滿足：，其中，若數(shù)列的前項和為，求．
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）由遞推關(guān)系可構(gòu)造等比數(shù)列，即可求出，代入化簡即可得；
（2）由（1）可得，利用錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）由，令，得，
是以為首項，以為公比的等比數(shù)列．
，即．
．
（2）由題意知，
①
②
①-②得，，
．
1.（2020年新課標(biāo)Ⅰ）數(shù)列滿足，前16項和為540，則 ______________.
【答案】
【分析】對為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項、偶數(shù)項的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項遞推公式將奇數(shù)項用表示，由偶數(shù)項遞推公式得出偶數(shù)項的和，建立方程，求解即可得出結(jié)論.
【詳解】，
當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.
設(shè)數(shù)列的前項和為，
，
.
故答案為：.
【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項求和，考查分類討論思想和數(shù)學(xué)計算能力，屬于較難題.
2.（2020年新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．
（1）求的公比；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知結(jié)合等差中項關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；
（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項，根據(jù)的通項公式特征，用錯位相減法，即可求出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項，
，
；
（2）設(shè)的前項和為，，
，①
，②
①②得，
，
.
【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算、等差中項的性質(zhì)，以及錯位相減法求和，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
3.（2021年全國高考乙卷）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）求的通項公式．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項的關(guān)系求得.
【詳解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于為數(shù)列的前n項積，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;
[方法二]【最優(yōu)解】：
由已知條件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因為，所以，所以．
在中，當(dāng)時，．
故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法
由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當(dāng)時顯然成立．
假設(shè)當(dāng)時成立，即．
那么當(dāng)時，．
綜上，猜想對任意的都成立．
即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
（2）
由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
,
,
當(dāng)n=1時，,
當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴.
【整體點評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而替換相除消項得到相鄰兩項的關(guān)系，從而證得結(jié)論；
方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；
方法三由，得，由的定義得，進(jìn)而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論．
（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達(dá)式,然后利用和與項的關(guān)系求得的通項公式；
一、單選題
1． (2023·浙江嘉興·二模）已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項和，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判斷出，通過放縮得到，再通過分析法證得，結(jié)合裂項相消即可證得，
又由證得即可.
【詳解】當(dāng)，時，因為，所以，
又因為，
且，
下證，
即證，
即證，
即證，
即證，
即證
令，即證，當(dāng)，時，不等式恒成立.
因此，，
所以
，
又因為，
故選：D.
【點睛】本題關(guān)鍵點在于分析法的應(yīng)用，通過分析法證得，又由放縮得到，進(jìn)而通過裂項相消證得，最后由證得即可.
2． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則當(dāng)取得最大值時的值為（ ）
A．2020B．2024C．2022D．2023
【答案】A
【分析】利用作商法可得，討論n的取值判斷與1的大小關(guān)系，即可得最大時的值.
【詳解】
∵，
∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，
∴根據(jù)選項，當(dāng)時，取得最大值.
故選：A．
二、多選題
3． (2023·湖北·黃岡中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且對于恒成立，若定義，，則以下說法正確的是（ ）
A．是等差數(shù)列B．
C．D．存在使得
【答案】BC
【分析】利用退位相減法可得數(shù)列的通項及即可判斷A選項，按照給出的定義求出即可判斷B選項，數(shù)學(xué)歸納法和累加法即可判斷C、D選項.
【詳解】當(dāng)時，，
當(dāng)時，由，得，故，即，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，故，
A選項錯誤；
則，所以，
，B選項正確；
當(dāng)時，，
假設(shè)當(dāng)時，成立，
當(dāng)時，由可得，則，，，，，將上式相加可得，又，則，故，即時也成立，
故，C選項正確；
D選項，當(dāng)時，由知不成立，
當(dāng)時，由C選項知：，則 ，，，，，上式相加得，又由上知，，則，可得，又由可得，，即，D選項錯誤；
故選：BC.
【點睛】本題關(guān)鍵在于C、D選項的判斷，C選項通過數(shù)學(xué)歸納法和累加法以及組合數(shù)的性質(zhì)即可求解；D選項借助C選項的結(jié)論，通過累加法以及組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.
三、填空題
4． (2023·遼寧葫蘆島·一模）已知數(shù)列，，對于任意正整數(shù)m，n，都滿足，則______．
【答案】
【分析】令,得，用累加法求出，由此利用裂項相消求和求出的值.
【詳解】令，得，所以，則
，，……，，，
所以當(dāng)時，
，
又滿足上式，所以
所以，
.
故答案為：.
5． (2023·江西景德鎮(zhèn)·三模（理））已知數(shù)列和正項數(shù)列，其中，且滿足，數(shù)列的前n項和為，記，滿足．對于某個給定或的值，則下列結(jié)論中：①；②；③若，則數(shù)列單調(diào)遞增；④若，則數(shù)列從第二項起單調(diào)遞增．其中正確命題的序號為______．
【答案】①②③
【分析】求得的范圍判斷①；求得的值判斷②；判定出數(shù)列單調(diào)性判斷③；由數(shù)列第三項小于第二項否定④.
【詳解】由，可知，則，又
則，解之得.則①判斷正確；
由，可得，則，則
又由，可知，則
則由，則或（舍）
則或（舍）. 則②判斷正確；
由，可知，則
若，則，
又，則，則，則
由，可得，則
又，則數(shù)列單調(diào)遞增. 則③判斷正確；
由，可得
由，，
則當(dāng)時，，
即數(shù)列的第三項小于第二項.
則數(shù)列從第二項起單調(diào)遞增的說法判斷錯誤.
故答案為：①②③
四、解答題
6． (2023·重慶八中模擬預(yù)測）已知是公差不為零的等差數(shù)列的前n項和，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列，數(shù)列化的前2n項和為，若，求正整數(shù)n的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.由題意，列方程組求，即求通項公式；
（2）求得，由裂項相消法求，解不等式可得的最小值.
(1)公差不為零的等差數(shù)列，由， ，解得.
又，可得，
所以數(shù)列是以1為首項和公差的等差數(shù)列，
所以.
(2)解：由（1）可知，
，
，
所以的最小值為505.
7． (2023·福建·模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，，設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，作差得到，即可得到是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而得到通項公式；
（2）首先求出的通項公式，即可得到，利用錯位相減法求和即可；
(1)解：因為，所以，
兩式相減，可得，整理得，
∵時，，∴，
所以公比，即數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；
(2)解：易知，，所以公差，
所以，所以，
因為，
則，
兩式相減可得.
即
8． (2023·江蘇·海安高級中學(xué)二模）已知數(shù)列前n項積為，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求證：．
【分析】（1）由已知得，，兩式相除整理得，從而可證得結(jié)論，
（2）由（1）可得，再利用累乘法求，從而，然后利用放縮法可證得結(jié)論
(1)因為，所以，
所以，
兩式相除，得，整理為，
再整理得，．
所以數(shù)列為以2為首項，公差為1的等差數(shù)列．
(2)因為，所以，
由（1）知，，故，
所以．
所以
．
又因為，
所以．
9． (2023·廣東廣州·二模）問題：已知，數(shù)列的前n項和為，是否存在數(shù)列，滿足，__________﹖若存在．求通項公式﹔若不存在，說明理由．
在①﹔②；③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】選①：；選②：；選③：
【分析】選①：利用與的關(guān)系得到關(guān)于的遞推公式，再由遞推公式求，然后可得通項；選②：利用與的關(guān)系得到遞推公式，然后構(gòu)造等比數(shù)列可求通項；選③：根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列可解.
【詳解】選①：
，即是以2為公差，1為首項的等差數(shù)列
，即
當(dāng)時，
顯然，時，上式不成立，所以.
選②：當(dāng)時，，即
所以
整理得
又，
所以從第二項起，是以2為公比，4為首項的等比數(shù)列
當(dāng)時，，即
顯然，時，上式成立，所以
選③：
又
是以2為公比和首項的等比數(shù)列
，即
10． (2023·浙江嘉興·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是首項為1公比為的等比數(shù)列，其前n項和為，且，對任意恒成立.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設(shè)，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件及等差等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式即可求解；
（2）利用（1）得出的通項公式，再利用錯位相減法求出，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題即可求解.
(1)設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為則
由，得即
由①得，由②得，由③得，
所以數(shù)列的通項公式為，
所以數(shù)列的通項公式為.
(2)由（1）知，，所以，
①
②
②-①得：
化簡得：，
又因為，即
即，
（i）當(dāng)時，，所以；
（ii）當(dāng)時，，
令，則
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增；
當(dāng)時，取得最小值為
，即,
所以的取值范圍是.
分類標(biāo)準(zhǔn)
類型
滿足條件
項數(shù)
有窮數(shù)列
項數(shù)有限
無窮數(shù)列
項數(shù)無限
項與項
間的大
小關(guān)系
遞增數(shù)列
an＋1＞an
其中n∈N+
遞減數(shù)列
an＋1＜an
常數(shù)列
an＋1＝an
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