考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一 公式法求和
【例1】 (2023·江蘇江蘇·高三期末）已知數(shù)列滿足.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項和.
【一隅三反】
1． (2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且.
(1)求；
(2)證明：當時，.
2． (2023·湖南·一模）已知數(shù)列的前n項和為，．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)記數(shù)列的前n項和為，證明：．
3． (2023·廣東深圳·一模）已知數(shù)列的首項，且滿足．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和．
考點二 裂項相消求和
【例2-1】 (2023·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）已知是等差數(shù)列的前項和，，，公差，且___________.從①為與等比中項，②等比數(shù)列的公比為，這兩個條件中，選擇一個補充在上面問題的橫線上，使得符合條件的數(shù)列存在并作答.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.
【例2-2】 (2023·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和，并證明：.
【例2-3】 (2023·廣東梅州·二模）已知是數(shù)列的前項和，，___________.
①，；②數(shù)列為等差數(shù)列，且的前項和為.從以上兩個條件中任選一個補充在橫線處，并求解：
(1)求；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【例2-4】 (2023·廣東茂名·二模）已知數(shù)列滿足，，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【一隅三反】
1． (2023·廣東梅州·二模）已知是數(shù)列的前項和，，___________.
①，；②數(shù)列為等差數(shù)列，且的前項和為.從以上兩個條件中任選一個補充在橫線處，并求解：
(1)求；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
2． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，.
(1)求的通項公式；
(2)若，求的前n項和.
3． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列的前n項和為，給出以下三個條件：①，；②；③，.從這三個條件中任選一個解答下面的問題.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分
4． (2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列{}中，，是其前n項和，且滿足
(1)求數(shù)列{}的通項公式：
(2)已知數(shù)列{}滿足，設(shè)數(shù)列{}的前n項和為，求的最小值.
考點三 錯位相減求和
【例3】 (2023·廣東茂名·二模）已知數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【一隅三反】
1． (2023·廣東廣東·一模）設(shè)數(shù)列的前n項和為，滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求的前n項和．
2． (2023·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
3． (2023·全國·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）求的通項公式．
考點四 分組轉(zhuǎn)化求和
【例4-1】 (2023·全國·模擬預(yù)測（理））已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【例4-2】 (2023·山東日照·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，，（），，，，成等差數(shù)列．
(1)求k的值和的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【一隅三反】
1． (2023·安徽·高三期末（理））已知數(shù)列的前n項和．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
2． (2023·全國·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前2n項的和
3． (2023·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，令.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前14項和.
考點五 周期數(shù)列
【例5】 (2023·江西贛州·一模）設(shè)正項數(shù)列的前項和為，已知.
(1)求的通項公式；
(2)記，是數(shù)列的前項和，求.
【一隅三反】
1． (2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式，，其前項和為，則______．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)（理））數(shù)列的通項公式為，前項和為，則＝________.
考點六 倒序相加法
【例6】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則（ ）
A．2018B．2019C．4036D．4038
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值為（ ）
A．1B．2C．2020D．2021
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是上的奇函數(shù)，，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．2018B．2019
C．4036D．4038
6.4 求和方法（精講）（提升版）
思維導(dǎo)圖
考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一 公式法求和
【例1】 (2023·江蘇江蘇·高三期末）已知數(shù)列滿足.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由可知，，即，
由可知，，
所以是以12為首項，4為公比的等比數(shù)列，
所以的通項公式為.
(2)由（1）知，，
所以,
又符合上式,所以,所以，
所以的前20項和.
【一隅三反】
1． (2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且.
(1)求；
(2)證明：當時，.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】(1)當時，，解得，
當時，，
即，
是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則，即，
(2)由，得，
則，令，則，
令，則，當時，，
在上單調(diào)遞增，，即，
當且僅當時，取等，得證.
2． (2023·湖南·一模）已知數(shù)列的前n項和為，．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)記數(shù)列的前n項和為，證明：．
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.
【解析】
(1)，，∴，
故數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為2；
(2)由(1)可知，∴，.
3． (2023·廣東深圳·一模）已知數(shù)列的首項，且滿足．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)由，得， 又，故，
故，所以， 所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
(2)由（1）可知，所以，
所以．
考點二 裂項相消求和
【例2-1】 (2023·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）已知是等差數(shù)列的前項和，，，公差，且___________.從①為與等比中項，②等比數(shù)列的公比為，這兩個條件中，選擇一個補充在上面問題的橫線上，使得符合條件的數(shù)列存在并作答.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.
【答案】(1)選擇條件見解析，(2)證明見解析
【解析】(1)若選①，為與的等比中項，
則，由為等差數(shù)列，，得，∴，
把代入上式，可得，解得或（舍）
∴，；
若選②，為等比數(shù)列的公比，且，
可得，即，即有，即；
又，可得，即，解得，此時；
(2)∵，
∴；∴，得證
【例2-2】 (2023·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和，并證明：.
【答案】(1)(2)，證明見解析.
【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比是q，首項是.
由，可得.
由，可得，所以，
所以；
(2)證明：因為，
所以
.
又，所以.
【例2-3】 (2023·廣東梅州·二模）已知是數(shù)列的前項和，，___________.
①，；②數(shù)列為等差數(shù)列，且的前項和為.從以上兩個條件中任選一個補充在橫線處，并求解：
(1)求；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)條件選擇見解析，(2)
【解析】(1)解：選條件①：，，得，
所以，，
即數(shù)列、均為公差為的等差數(shù)列，
于是，
又，，，所以；
選條件②：因為數(shù)列為等差數(shù)列，且的前項和為，
得，所以，
所以的公差為，
得到，則，
當，.
又滿足，所以，對任意的，.
(2)解：因為，
所以
.
【例2-4】 (2023·廣東茂名·二模）已知數(shù)列滿足，，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)由得：，又，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
(2)由（1）得：，
則，，，…，，
各式作和得：，
又，，
，
當為偶數(shù)時，；
當為奇數(shù)時，；
綜上所述：.
【一隅三反】
1． (2023·廣東梅州·二模）已知是數(shù)列的前項和，，___________.
①，；②數(shù)列為等差數(shù)列，且的前項和為.從以上兩個條件中任選一個補充在橫線處，并求解：
(1)求；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)條件選擇見解析，(2)
【解析】(1)解：選條件①：，，得，
所以，，
即數(shù)列、均為公差為的等差數(shù)列，
于是，
又，，，所以；
選條件②：因為數(shù)列為等差數(shù)列，且的前項和為，
得，所以，
所以的公差為，
得到，則，
當，.
又滿足，所以，對任意的，.
(2)解：因為，
所以
.
2． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，.
(1)求的通項公式；
(2)若，求的前n項和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：由，可得，即，
所以當時，，，，，
將上述式子進行累加得，-
將代入可得，即.
當時也滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式.
(2)解：由（1）得，
則.
3． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列的前n項和為，給出以下三個條件：①，；②；③，.從這三個條件中任選一個解答下面的問題.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分
【答案】(1)(2)
【解析】(1)若選①：由，得.
令，，可得.
當時，，，…，，
累加得.
又，則，則.
又也適合上式，所以.
若選②：由，可得.
又是正項數(shù)列，所以，所以，則.
當時，.
又也適合上式，所以.
若選③：由得，當時，，兩式作差得
，整理得.
由于，故，即是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以.
(2)由（1）得，，
則，
所以
.
4． (2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列{}中，，是其前n項和，且滿足
(1)求數(shù)列{}的通項公式：
(2)已知數(shù)列{}滿足，設(shè)數(shù)列{}的前n項和為，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)正項數(shù)列{}，，滿足，所以，
所以數(shù)列{}是以1為首項1為公差的等差數(shù)列，
所以，所以，
當時，，
當時也成立，
所以.
(2)因為
所以，
所以當為奇數(shù)時，；
當為偶數(shù)時，，
由{}遞增，得，
所以的最小值為.
考點三 錯位相減求和
【例3】 (2023·廣東茂名·二模）已知數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)由可得，
由得，
所以，即，
所以，，
所以數(shù)列是公差為1，首項為1的等差數(shù)列.
(2)由（1），得，
所以，
，兩式相減得
，
所以.
【一隅三反】
1． (2023·廣東廣東·一模）設(shè)數(shù)列的前n項和為，滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求的前n項和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)當時，，
得
即，即
所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故．
(2)由（1）知，則
（1）
（2）
（1）－（2）得
所以
2． (2023·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）當時，，
，
當時，由①，
得②，①②得
，
又是首項為，公比為的等比數(shù)列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時不等式恒成立；
時，，得；
時，，得；
所以.
3． (2023·全國·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）求的通項公式．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于為數(shù)列的前n項積，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;
[方法二]【最優(yōu)解】：
由已知條件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因為，所以，所以．
在中，當時，．
故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法
由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當時顯然成立．
假設(shè)當時成立，即．
那么當時，．
綜上，猜想對任意的都成立．
即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
（2）
由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
,
,
當n=1時，,
當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴.
考點四 分組轉(zhuǎn)化求和
【例4-1】 (2023·全國·模擬預(yù)測（理））已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)時，，又，解得，
由得，
時，，
兩式相減得，
，又，所以，是等差數(shù)列，
所以；
(2)由（1），，
，
為偶數(shù)時，，
為奇數(shù)時，，
所以．
【例4-2】 (2023·山東日照·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，，（），，，，成等差數(shù)列．
(1)求k的值和的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)解：，，成等差數(shù)列，
所以，
得，得，
因為，所以，
所以，得．
(2)由（1）知，
當n為偶數(shù)時，設(shè)n＝2k，
可得
，
即；
當n為奇數(shù)時，設(shè)n＝2k－1，
可得
，
即．
綜上所述，.
【一隅三反】
1． (2023·安徽·高三期末（理））已知數(shù)列的前n項和．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：當時，，
當時，，
當時，上式也成立，
所以；
(2)解：，
設(shè)數(shù)列的前項和為，
則
.
2． (2023·全國·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前2n項的和
【答案】(1)(2)
【解析】(1)∵，，，∴，
∴，
∴，，，…，，
將上述式子左右分別相乘得，
∴．
∵滿足上式，
∴．
(2)∵，令，，
的前項和為，的前項和為，
∴，
，
∴．
3． (2023·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，令.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前14項和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)當時，，又，得，
由①
得②，①②兩式相除可得，
則，且，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故.
(2)當n為奇數(shù)時，；
當n為偶數(shù)時，，
.
所以數(shù)列的前14項和為
.
考點五 周期數(shù)列
【例5】 (2023·江西贛州·一模）設(shè)正項數(shù)列的前項和為，已知.
(1)求的通項公式；
(2)記，是數(shù)列的前項和，求.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：當時，，所以，又，故；
當時，，而，兩式相減得，
整理得，因為，所以，
故是以為公差的等差數(shù)列，從而.
(2)解：，
設(shè)
，其中，
所以.
【一隅三反】
1． (2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式，，其前項和為，則______．
【答案】1010
【解析】，周期
故答案為：
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)（理））數(shù)列的通項公式為，前項和為，則＝________.
【答案】
【解析】 ，，，，又的周期為，

故答案為：
考點六 倒序相加法
【例6】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則（ ）
A．2018B．2019C．4036D．4038
【答案】A
【解析】∵，∴．
又∵，∴．
令，則，
兩式相加得，∴．故選：A
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值為（ ）
A．1B．2C．2020D．2021
【答案】C
【解析】函數(shù)，設(shè)，則有，
所以，
所以當時，，
令，
所以，
故．故選：C
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是上的奇函數(shù)，，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題已知是上的奇函數(shù)，故，
代入得：， ∴函數(shù)關(guān)于點對稱，
令，則，得到，
∵，，
倒序相加可得，即，故選：C．
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．2018B．2019
C．4036D．4038
【答案】A
【解析】，，令，
則，兩式相加得：，.故選：.

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這是一份2024年新高考數(shù)學(xué)專用第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反提升卷 7.5 外接球（精講）（提升版）（原卷版+解析版），共31頁。試卷主要包含了漢堡模型，墻角模型，斗笠模型，麻花模型，L模型，懷表模型，矩形模型，內(nèi)切球等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年新高考數(shù)學(xué)專用第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反提升卷 7.3 空間角（精講）（提升版）（原卷版+解析版）：

這是一份2024年新高考數(shù)學(xué)專用第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反提升卷 7.3 空間角（精講）（提升版）（原卷版+解析版），共29頁。試卷主要包含了線線角，線面角，二面角，空間角的綜合運用等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年新高考數(shù)學(xué)專用第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反提升卷 6.4 求和方法（精練）（提升版）（原卷版+解析版）：

這是一份2024年新高考數(shù)學(xué)專用第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反提升卷 6.4 求和方法（精練）（提升版）（原卷版+解析版），共32頁。

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