A．B．
C．D．
2． (2023·黑龍江·鐵力市第一中學(xué)校高三開學(xué)考試（理））已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．3D．9
3． (2023·江蘇南通）（多選）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4 (2023·山東·濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)）（多選）下列各式中，與相等的是（ ）
A．B．
C．D．
5． (2023·江蘇·常州市第一中學(xué)）（多選）下列命題中正確的是（ ）
A．的值等于
B．若，則
C．
D．
6． (2023·廣東·高三開學(xué)考試）的值為（ ）
A．B．1C．D．2
7． (2023·河北邢臺(tái)·高三期末）已知，則（ ）
A．B．C．D．
8． (2023·河南省直轄縣級(jí)單位·二模（文））已知，，則（ ）
A．B．12C．－12D．
9． (2023·上海交大附中高三開學(xué)考試）已知、都是銳角，且，，那么、之間的關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
10． (2023·江蘇·姜堰中學(xué)）已知，均為銳角，滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
題組二 角的拼湊
1． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·江蘇省阜寧中學(xué)）若，則（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知，則（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A．B．C．－D．
5．（2022·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）已知，，且，，求=
6．（2022·湖南）若，則（ ）
A．B．
C．D．
7． (2023·貴州畢節(jié)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
8． (2023·福建·廈門一中）若，則（ ）
A．B．C．D．
題組三 公式的綜合運(yùn)用
1．（2022·四川成都）已知，則的值為（ ）
A．B．0C．2D．0或2
2． (2023·重慶·二模）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）（多選）已知，其中為銳角，則以下命題正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4． (2023·江蘇南通·高三期中）（多選 ）若，則（ ）
A．B．
C．D．
5． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，若，則的值是________.
6． (2023·河南焦作·一模（理））計(jì)算：___________.
7． (2023·江蘇南通·高三期末）寫出一個(gè)滿足tan20°＋4csθ＝的θ＝_________.
8． (2023·河北石家莊·一模）已知角，，則______.
9． (2023·江蘇南通·高三期末）若，則α的一個(gè)可能角度值為__________.
題組四 三角公式與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用
1． (2023·山東濟(jì)南·二模）已知傾斜角為的直線l過定點(diǎn)，且與圓相切，則的值為（ ）
A．B．C．或D．
2． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四邊形OABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，點(diǎn)D為邊OA的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OC上，且是以角B為頂角的等腰三角形，記直線EB，DB的傾斜角分別為，，則（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全國(guó)）復(fù)數(shù)的模為1，其中為虛數(shù)單位，，則這樣的一共有（ ）個(gè).
A．9B．10C．11D．無數(shù)
4． (2023·全國(guó)·單元測(cè)試）▲表示一個(gè)整數(shù)，該整數(shù)使得等式成立，這個(gè)整數(shù)▲為（ ）
A．-1B．1C．2D．3
5． (2023·四川省廣安第三中學(xué)校高一階段練習(xí)）設(shè)，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·河北石家莊）黃金分割比例廣泛存在于許多藝術(shù)作品中．在三角形中，底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形，被認(rèn)為是最美的三角形，它是兩底角為72°的等腰三角形．達(dá)芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，在整個(gè)畫面里形成了一個(gè)黃金三角形．如圖，在黃金三角形中，，根據(jù)這些信息，可得（ ）
A．B．
C．D．
7． (2023·江西·上高二中高二階段練習(xí)）已知扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，若其周長(zhǎng)為6，當(dāng)該扇形面積最大時(shí)，其圓心角為，則_________．
8． (2023·全國(guó)·單元測(cè)試）已知α，β∈(0，2π)且α＜β，若關(guān)于x的方程(x＋sinα)(x＋sinβ)＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式＝________．
9． (2023·山東）如果，是方程的兩根，則______．
5.2 三角公式的運(yùn)用（精練）（提升版）
題組一 公式的基本運(yùn)用
1． (2023·全國(guó)·高考真題（理））已知，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.
2． (2023·黑龍江·鐵力市第一中學(xué)校高三開學(xué)考試（理））已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】C
【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，
即，即，解得，
所以．
故選：C．
3． (2023·江蘇南通）（多選）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，
，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，
，D錯(cuò).
故選：AC.
4 (2023·山東·濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)）（多選）下列各式中，與相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以A選項(xiàng)不符合.
對(duì)于B選項(xiàng)，，所以B選項(xiàng)符合.
對(duì)于C選項(xiàng)，
，
由于，，所以 ，所以C選項(xiàng)符合.
對(duì)于D選項(xiàng)，，所以D選項(xiàng)符合.
故選：BCD
5． (2023·江蘇·常州市第一中學(xué)）（多選）下列命題中正確的是（ ）
A．的值等于
B．若，則
C．
D．
【答案】AC
【解析】A ，，
所以，A正確
B .若 ，則，即，解得 ，B錯(cuò)誤；
C ，C正確；
D ，，D錯(cuò)誤故選：AC．
6． (2023·廣東·高三開學(xué)考試）的值為（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】依題意，，
所以的值為.故選：A
7． (2023·河北邢臺(tái)·高三期末）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>所以.
故選：A.
8． (2023·河南省直轄縣級(jí)單位·二模（文））已知，，則（ ）
A．B．12C．－12D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，，解得：，所?
所以.所以.故選：C
9． (2023·上海交大附中高三開學(xué)考試）已知、都是銳角，且，，那么、之間的關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，則，所以，，
因?yàn)?、都是銳角，由題意可得，所以，，
所以，，
因?yàn)?、都是銳角，則且，則，所以，，因此，.
故選：D.
10． (2023·江蘇·姜堰中學(xué)）已知，均為銳角，滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，且為銳角，可得由，且為銳角，可得
則又由，均為銳角，可得，則故選：D
題組二 角的拼湊
1． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
則，故選：B．
2． (2023·江蘇省阜寧中學(xué)）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，又，聯(lián)立得，解得，又，，故.故選：C.
3． (2023·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，
.故選：C.
4． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A．B．C．－D．
【答案】B
【解析】
，故選：B
5．（2022·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）已知，，且，，求=
【答案】
【解析】，，
，，
，，
，，
所以
即.
6．（2022·湖南）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，
因?yàn)樗裕?br>因?yàn)?，，所以，?br>則．故選：C
7． (2023·貴州畢節(jié)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，又，
所以.故選：C．
8． (2023·福建·廈門一中）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】（用整體的觀點(diǎn)看待角度，用已知表示所求）令，則，
所以
故選：A
（法二）因?yàn)?，?br>所以
故選：A
題組三 公式的綜合運(yùn)用
1．（2022·四川成都）已知，則的值為（ ）
A．B．0C．2D．0或2
【答案】D
【解析】因?yàn)樗运?br>解得或
當(dāng)時(shí)
當(dāng)時(shí)故選：D
2． (2023·重慶·二模）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，，所以或?br>若，則，此時(shí)（舍）；
若，則，此時(shí)（符合題意），
所以，即；
因?yàn)榍?，所以且?br>解得，，則，所以.故選：C.
3． (2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）（多選）已知，其中為銳角，則以下命題正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】因?yàn)?，，所以，故A正確；
因?yàn)?，所?br>所以，故B正確；
，，
由得，，解得；故C不正確；
由得，，解得；
，故D不正確.故選：AB.
4． (2023·江蘇南通·高三期中）（多選 ）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】對(duì)于AC，，；
，，A錯(cuò)誤；
，C正確；
對(duì)于BD，，，
即，
，
，
，B正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.
5． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，若，則的值是________.
【答案】
【解析】在中，因，則，
假定，則，，
于是得，此時(shí)，，矛盾，即，
從而有，又，則，，
所以.故答案為：
6． (2023·河南焦作·一模（理））計(jì)算：___________.
【答案】
【解析】
.故答案為：
7． (2023·江蘇南通·高三期末）寫出一個(gè)滿足tan20°＋4csθ＝的θ＝_________.
【答案】（答案不唯一）．
【解析】由題意，
因此（實(shí)際上）．故答案為：（答案不唯一）．
8． (2023·河北石家莊·一模）已知角，，則______.
【答案】
【解析】，，，
，
，，，則.故答案為：.
9． (2023·江蘇南通·高三期末）若，則α的一個(gè)可能角度值為__________.
【答案】等答案較多
【解析】
則，故，或
故答案為：等均符合題意.
題組四 三角公式與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用
1． (2023·山東濟(jì)南·二模）已知傾斜角為的直線l過定點(diǎn)，且與圓相切，則的值為（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【解析】容易判斷，若，則直線l與圓相交，不合題意，于是設(shè)，根據(jù)直線與圓相切可得：，因?yàn)?，所以，解得：，所以，原?
故選：D.
2． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四邊形OABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，點(diǎn)D為邊OA的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OC上，且是以角B為頂角的等腰三角形，記直線EB，DB的傾斜角分別為，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，，，，
∴，，
∴，，
∴四邊形為正方形，
又∵為邊的中點(diǎn)，是以角為頂角的等腰三角形，
∴必為邊的中點(diǎn)，則，，
∴，，
∴，；
直線與軸垂直，則，
∴.
故選：B.
3． (2023·全國(guó)）復(fù)數(shù)的模為1，其中為虛數(shù)單位，，則這樣的一共有（ ）個(gè).
A．9B．10C．11D．無數(shù)
【答案】C
【解析】，其中，所以，即，，當(dāng)時(shí)，①，，所以，，因?yàn)椋曰?；②，，所以，，因?yàn)?，所以，，，，或；?dāng)時(shí)，①，，即，，因?yàn)?，所以，②，，即，，因?yàn)?，所以，，，，，綜上：，，一共有11個(gè).故選：C
4． (2023·全國(guó)·單元測(cè)試）▲表示一個(gè)整數(shù)，該整數(shù)使得等式成立，這個(gè)整數(shù)▲為（ ）
A．-1B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以?br>則
因此，
即，
所以，
即，
所以，
故選：B.
5． (2023·四川省廣安第三中學(xué)校高一階段練習(xí)）設(shè)，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
，
，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
，即.
故選：B
6． (2023·河北石家莊）黃金分割比例廣泛存在于許多藝術(shù)作品中．在三角形中，底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形，被認(rèn)為是最美的三角形，它是兩底角為72°的等腰三角形．達(dá)芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，在整個(gè)畫面里形成了一個(gè)黃金三角形．如圖，在黃金三角形中，，根據(jù)這些信息，可得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由題設(shè)，可得，，
所以，又，所以.故選：B
7． (2023·江西·上高二中高二階段練習(xí)）已知扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，若其周長(zhǎng)為6，當(dāng)該扇形面積最大時(shí)，其圓心角為，則_________．
【答案】
【解析】根據(jù)題意：，故，
，
當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
.
故答案為：.
8． (2023·全國(guó)·單元測(cè)試）已知α，β∈(0，2π)且α＜β，若關(guān)于x的方程(x＋sinα)(x＋sinβ)＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式＝________．
【答案】
【解析】整理方程(x＋sinα)(x＋sinβ)＋1＝0得x2＋x(sinα＋sinβ)＋sinαsinβ＋1＝0．
由題意得Δ＝(sinα＋sinβ)2－4sinαsinβ－4≥0，即(sinα－sinβ)2≥4①，
∵－1≤sinα≤1，－1≤sinβ≤1，∴sinα－sinβ∈[－2，2]，從而(sinα－sinβ)2≤4②．
由①②得或
且，即
因此．
故答案為：﹒
9． (2023·山東）如果，是方程的兩根，則______．
【答案】
【解析】由已知得，，
.故答案為：.

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