2024年新高考專用數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反基礎(chǔ)版 7.7 空間幾何的外接球（精練）（基礎(chǔ)版）（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）一個底面積為1的正四棱柱的頂點都在同一球面上，若此球的表面積為，則該四棱柱的高為（）
A．B．2C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圓柱內(nèi)有一個球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，已知圓柱的體積為，則球的體積為（）
A．B．C．D．
3． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知在三棱錐中，平面SBC，，，，則該三棱錐外接球體積為（）
A．B．C．D．
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，已知平面，，且，，，則該三棱錐外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中給出了很多立體幾何的結(jié)論，其中提到的多面體“鱉臑”是四個面都是直角三角形的三棱錐．若一個“鱉臑”的所有頂點都在球的球面上，且該“鱉臑”的高為，底面是腰長為的等腰直角三角形．則球的表面積為（）
A．B．C．D．
題組二墻角模型
1． (2023·沈陽市）（多選）一棱長等于1且體積為1的長方體的頂點都在同一球的球面上，則該球的體積可能是（）
A．B．C．D．
2． (2023·黑龍江）長方體的長、寬、高分別為2，2，1，其頂點都在球的球面上，則球的表面積為______.
3． (2023·貴溪市）棱長為的正四面體的外接球體積為___________.
4． (2023·云南）在三棱錐中，已知，，兩兩垂直，且，，，則三棱錐的外接球的表面積為
5． (2023·吉林長春市）已知正四棱柱(底面為正方形且側(cè)棱與底面垂直的棱柱)的底面邊長為3，側(cè)棱長為4，則其外接球的表面積為
6． (2023·河南）在四面體中，平面，三內(nèi)角，，成等差數(shù)列，，，則該四面體的外接球的表面積為
題組三斗笠模型
1． (2023·黑龍江）某圓錐的側(cè)面展開后，是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的體積與它的外接球的體積之比為（）
A．B．C．D．
2． (2023廣西）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球O的球面上，圓錐的母線長為3，側(cè)面展開圖的面積為，則球O的表面積等于（）
A．B．C．D．
3． (2023·寧夏銀川市）已知一個圓錐的底面圓面積為，側(cè)面展開圖是半圓，則其外接球的表面積等于（）
A．B．C．D．
4． (2023·河南）一圓臺的兩底面半徑分別為，高為，則該圓臺外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
5． (2023·浙江）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，面積為，則球的表面積等于（）
A．B．C．D．
題組四 L模型
1． (2023·安徽·巢湖市第一中學(xué)）已知三棱錐中，平面平面，且，，若，則三棱錐外接球的表面積為（）
A．64πB．128πC．40πD．80π
2． (2023·吉林·洮南市第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知三棱錐中，，，平面平面ABC，則三棱錐的外接球的表面積為______．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是___________.
4． (2023·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測（文））在三棱錐中，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
5． (2023·重慶八中高三階段練習(xí)）在三棱錐中、平面平面，，且，則三棱維的外接球表面積是（）
A．B．C．D．
6． (2023·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓(xùn)中心模擬預(yù)測（理））已知四棱錐中，平面平面ABCD，其中為正方形，是邊長為2的等邊三角形，則四棱錐外接球的表面積為（）
A．4B．C．D．
7.7 空間幾何的外接球（精練）（基礎(chǔ)版）
題組一漢堡模型
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）一個底面積為1的正四棱柱的頂點都在同一球面上，若此球的表面積為，則該四棱柱的高為（）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得
設(shè)四棱柱的高為，則，解得故選：C
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圓柱內(nèi)有一個球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，已知圓柱的體積為，則球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面圓的半徑為R，高為2R，
所以，解得：，則球的體積為故選：A
3． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知在三棱錐中，平面SBC，，，，則該三棱錐外接球體積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖，將三棱錐補成以AC為側(cè)棱的直棱柱，設(shè)△BCS外接圓圓心為，半徑為r，設(shè)△ADE外接圓圓心為，連接，，，取的中點O，則點O為三棱錐外接球球心，連接CO，設(shè)該三棱錐外接球半徑為R，在△BCS中，，所以.在中，，所以該三棱錐外接球體積為，
故選：B.
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，已知平面，，且，，，則該三棱錐外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由平面，，知三棱錐可補形為以，為長寬高的長方體，三棱錐的外接球即長方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為，則，所以．
故選：A
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中給出了很多立體幾何的結(jié)論，其中提到的多面體“鱉臑”是四個面都是直角三角形的三棱錐．若一個“鱉臑”的所有頂點都在球的球面上，且該“鱉臑”的高為，底面是腰長為的等腰直角三角形．則球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如下圖所示：
在三棱錐中，平面，且，，
因為平面，、、平面，則，，，
，，平面，平面，，
所以，三棱錐的四個面都是直角三角形，且，
，
設(shè)線段的中點為，則，
所以，點為三棱錐的外接球球心，
設(shè)球的半徑為，則，因此，球的表面積為.
故選：A.
題組二墻角模型
1． (2023·沈陽市）（多選）一棱長等于1且體積為1的長方體的頂點都在同一球的球面上，則該球的體積可能是（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】設(shè)長方體未知的兩棱長分別為，則，，
設(shè)外接球半徑為，則，
球體積為，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以．故選：BCD．
2． (2023·黑龍江）長方體的長、寬、高分別為2，2，1，其頂點都在球的球面上，則球的表面積為______.
【答案】
【解析】因為長方體的外接球的直徑為長方體的體對角線，長方體的長、寬、高分別為2，2，1，
所以長方體的外接球的直徑，
故長方體的外接球的半徑為，
所以球的表面積為.故答案為：
3． (2023·貴溪市）棱長為的正四面體的外接球體積為___________.
【答案】
【解析】如圖，棱長為的正四面體可以嵌入到棱長為的立方體中，所以正四面體的外接球與所嵌入的立方體的外接球相同.
設(shè)立方體的外接球半徑為，則，
所以立方體外接球的體積.
故正四面體的外接球體積為.
故答案為：
4． (2023·云南）在三棱錐中，已知，，兩兩垂直，且，，，則三棱錐的外接球的表面積為
【答案】
【解析】以線段PA，PB，PC為相鄰三條棱的長方體被平面ABC所截的三棱錐符合要求，如圖：
長方體與三棱錐有相同外接球，其外接球直徑為長方體體對角線長，
設(shè)外接球的半徑為，則，
則所求表面積.
5． (2023·吉林長春市）已知正四棱柱(底面為正方形且側(cè)棱與底面垂直的棱柱)的底面邊長為3，側(cè)棱長為4，則其外接球的表面積為
【答案】
【解析】正四棱柱即長方體，其體對角線長為，
因此其外接球的半徑為，則其表面積為，故選:B.
6． (2023·河南）在四面體中，平面，三內(nèi)角，，成等差數(shù)列，，，則該四面體的外接球的表面積為
【答案】
【解析】由題意，內(nèi)角成等差數(shù)列，可得,
因為，可得，即，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
所以，所以，
所以該四面體的外接球與該長方體的外接球是相同的，
根據(jù)長方體的對角線長等于其外接球的直徑，可得，解得，
所以該四面體的外接球的表面積為.
題組三斗笠模型
1． (2023·黑龍江）某圓錐的側(cè)面展開后，是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的體積與它的外接球的體積之比為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)圓錐的母線長為，則展開后扇形的弧長為，
再設(shè)圓錐的底面圓半徑為，可得，即，
圓錐的高為，
設(shè)圓錐外接球的半徑為，則，解得．
圓錐的體積為，
圓錐外接球的體積，
∴該圓錐的體積與它的外接球的體積之比為．故選：C．
2． (2023廣西）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球O的球面上，圓錐的母線長為3，側(cè)面展開圖的面積為，則球O的表面積等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)底面半徑為，圓錐母線為，所以，所以，
如圖，是圓錐軸截面，外接圓是球的大圓，是圓錐底面的圓心，
設(shè)球半徑為，則，，所以，
如圖1，，即，
解得，不符合題意，
當(dāng)為如圖2時，即，
解得，所以球表面積為．
故選：A．
3． (2023·寧夏銀川市）已知一個圓錐的底面圓面積為，側(cè)面展開圖是半圓，則其外接球的表面積等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，高為，母線長為，圓錐的外接球半徑為，
則，可得，
由于圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則，可得，，
由圓錐的幾何特征可知，圓錐的外接球心在圓錐的軸上，
所以，，解得,
因此，該圓錐的外接球的表面積為.
故選：B.
4． (2023·河南）一圓臺的兩底面半徑分別為，高為，則該圓臺外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)該圓臺的外接球的球心為，半徑為，
則或，解得，
所以該圓臺的外接球的表面積為.
故選：C.
5． (2023·浙江）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，面積為，則球的表面積等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)圓錐母線為，底面半徑為，
則，解得，
如圖，是圓錐軸截面，外接圓是球的大圓，設(shè)球半徑為，
，，
，，
所以球表面積為．
故選：A．
題組四 L模型
1． (2023·安徽·巢湖市第一中學(xué)）已知三棱錐中，平面平面，且，，若，則三棱錐外接球的表面積為（）
A．64πB．128πC．40πD．80π
【答案】D
【解析】由題意得，平面，將三棱錐補成三棱柱，如圖，
則三棱柱的外接球即為所求.
設(shè)外接球的球心為，則的外心為，則，
又，則外接球的半徑，
表面積，故選：D
2． (2023·吉林·洮南市第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知三棱錐中，，，平面平面ABC，則三棱錐的外接球的表面積為______．
【答案】
【解析】取的中點，連接，，如圖所示：
因為，所以為的外接圓圓心，
又因為，為的中點，所以.
因為平面平面，所以平面，
所以三棱錐的外接球球心在直線上.
在上取一點，使得，即為三棱錐的外接球球心，
設(shè)，，所以，
.
在中，，
所以，解得，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是___________.
【答案】
【解析】
如圖所示：設(shè)點D為AB的中點，O為外接圓的圓心，∵，∴O在CD上，且，
，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，
又AB，平面PAB，∴，，在中，，D為AB的中點，∴，
∴，∴O即為三棱錐外接球的球心，且外接球半徑，
∴該三棱錐外接球的表面積.
故答案為：.
4． (2023·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測（文））在三棱錐中，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意得，如圖，取BC的中點E，連接AE，DE，
則外接圓圓心在DE上，且，
解得，設(shè)三棱錐外接球球心為O，
連接，，過作，垂足為，
由平面平面，得，故四邊形為矩形，
因為，
所以，
且，
所以，設(shè)三棱錐外接球半徑為R，
有，
又，
所以，解得，
所以三棱錐外接球的表面積為.
故選：D.
5． (2023·重慶八中高三階段練習(xí)）在三棱錐中、平面平面，，且，則三棱維的外接球表面積是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，為直角三角形，故在三棱維的外接球的一個切面圓上，為該圓直徑；
又平面平面，故外接球的球心在所在的平面內(nèi)，又，故為等腰三角形，球心O在BD邊中線所在直線上，點到線段的距離為，設(shè)外接球的半徑為，則，
解得，則外接球的表面積為.
故選：C.
6． (2023·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓(xùn)中心模擬預(yù)測（理））已知四棱錐中，平面平面ABCD，其中為正方形，是邊長為2的等邊三角形，則四棱錐外接球的表面積為（）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】連接交于，球心在底面的射影必為點，取的中點，在截面中，連接，如圖，
在等邊中，的中點為，
所以，又平面平面，是交線，
所以平面，且，
設(shè)，外接球半徑為，
則在正方形中，，，
在中，，
而在截面中，，
由可得：
解得，
所以，
所以．
故選：B．

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