2024年新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練29 定義法或幾何法求空間角（原卷版+解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2AD，過(guò)AD，BC分別作異于平面ABCD的平面，，若，則l與BD所成角的正切值是（）
A．B．1C．2D．4
2．在正方體，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為（）
A．B．C．D．
3．已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，若為底面的中心，則與平面所成角的大小為（）
A．B．C．D．
4．空間四邊形ABCD中，AB、BC、CD的中點(diǎn)分別是P、Q、R，且PQ=3，QR=5，PR=7，那么異面直線AC和BD所成的角是（）
A．B．C．D．
5．如圖，正三棱柱的九條棱都相等，三個(gè)側(cè)面都是正方形，、分別是和的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
6．如圖在四面體中，平面，，那么直線和所成角的余弦值（）
A．B．C．D．
7．如圖所示，點(diǎn)是二面角棱上的一點(diǎn)，分別在、平面內(nèi)引射線、，若，，那么二面角的大小為（）
A．B．C．D．
8．如圖，是正方體，，則與所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．
9．在長(zhǎng)方體中，，，、分別為上底面的邊、的中點(diǎn)，過(guò)、的平面與底面交于、兩點(diǎn)，、分別在下底面的邊、上，，平面與棱交于點(diǎn)，則直線與側(cè)面所成角的正切值為（）.
A．
B．
C．
D．
10．如圖，在正四棱錐中，設(shè)直線與直線、平面所成的角分別為、，二面角的大小為，則（）
A．B．
C．D．
11．已知在正方體中，，分別為，上的點(diǎn)，且滿足，，則異面直線與所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
12．如圖所示，已知正方體，則直線與平面所成的角為（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
13．如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面，，是線段上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)).設(shè)與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）
A．B．C．D．
14．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
15．已知長(zhǎng)方體的高，則當(dāng)最大時(shí)，二面角的余弦值為（）
A．B．C．D．
二、多選題
16．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，則（）
A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．異面直線A1G與EF所成角的余弦值為
D．點(diǎn)G到平面AEF的距離是點(diǎn)C到平面AEF的距離的2倍
17．在棱長(zhǎng)為1的正方體中中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題正確的是（）
A．異面直線和所成的角為定值
B．直線和平面平行
C．三棱錐的體積為定值
D．直線和平面所成的角為定值
18．世紀(jì)年代，人們發(fā)現(xiàn)利用靜態(tài)超高壓和高溫技術(shù)，通過(guò)石墨等碳質(zhì)原料和某些金屬反應(yīng)可以人工合成金剛石，人工合成金剛石的典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及他們的過(guò)渡形態(tài). 其中立方八面體（如圖所示）有條棱、個(gè)頂點(diǎn)，個(gè)面（個(gè)正方形、個(gè)正三角形），它是將立方體“切”去個(gè)“角”后得到的幾何體.已知一個(gè)立方八面體的棱長(zhǎng)為，則（）
A．它的所有頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，且該球的直徑為
B．它的任意兩條不共面的棱所在的直線都互相垂直
C．它的體積為
D．它的任意兩個(gè)共棱的面所成的二面角都相等
三、解答題
19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.∠BDC=90°，BC=1，BP=，PC=2.
（1）求證：CD⊥平面PBD；
（2）若BD與底面PBC所成的角為，求二面角B-PC-D的正切值.
20．如圖所示，平面ABEF⊥平面ABC，四邊形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝，△ABC是以A為直角的等腰直角三角形，點(diǎn)P是線段BF上的一點(diǎn)，PF＝3.
（1）證明：AC⊥BF；
（2）求直線BC與平面PAC所成角的正切值.
21．如圖BC⊥BD，AB＝BD，∠ABD＝60°，平面BCD⊥平面ABD，E、F、G分別為棱AC、CD、AD中點(diǎn).
（1）證明：EF⊥平面BCG；
（2）若BC＝4，且二面角A—BF—D的正切值為，求三棱錐G—BEF體積.（注意：本題用向量法求解不得分）
22．中，，，E，F(xiàn)分別是邊，上的點(diǎn)，且，于H，，將沿折起，點(diǎn)A到達(dá)，此時(shí)滿足面面．
（1）若，求直線與面所成角大小；
（2）若E，F(xiàn)分別為，中點(diǎn)，求銳二面角的余弦值；
（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)B到面的距離．
23．在四棱錐中，，，，，，，，．
（1）求證：面；
（2）已知點(diǎn)F為中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面上的射影為點(diǎn)Q，直線與平面所成角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值．
24．如圖，已知四棱錐中，平面，，，，，是的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.
25．如圖，在矩形ABCD中，，，沿對(duì)角線BD把折起，使點(diǎn)C移到點(diǎn)，且在平面ABD內(nèi)的射影O恰好落在AB上．
（1）求證：；
（2）求證：平面平面；
（3）求二面角的余弦值．
26．如圖，已知三棱錐中，，D為的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）若，求與平面所成角的正弦值.
27．如圖，三棱柱中，平面，．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
28．如圖，在平面四邊形中，，，繞旋轉(zhuǎn)．
（1）若所在平面與所在平面垂直，求證：平面．
（2）若二面角大小為，求直線與平面所成角的正切值．
29．如圖，多面體中，四邊形是菱形，，平面，
（1）求二面角的大小的正切值；
（2）求點(diǎn)到平面的距離；
（3）求直線與平面所成的角的正弦值.
30．如圖，三棱臺(tái)中，，，四邊形為等腰梯形，，平面平面．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

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