?專題29 定義法或幾何法求空間角
一、單選題
1．在長方形ABCD中，AB=2AD，過AD，BC分別作異于平面ABCD的平面，，若，則l與BD所成角的正切值是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】
將異面直線平移到同一平面ABCD中即有l(wèi)與BD所成角為，即可求其正切值.
【詳解】

由及線面平行的判定定理，得，
再由線面平行的性質(zhì)定理，得．
所以與所成角是，從而．
故選：C．
【點睛】
思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決：
（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條到同一平面內(nèi)；
（2）認定：確定異面直線所成的平面角；
（3）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當角為鈍角時，應取補角作為兩條異面直線所成的角．
2．在正方體，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用正方體中，，將問題轉化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可.
【詳解】
在正方體中，，所以異面直線與所成角為，
如圖設正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，

則.
故選:C.
【點睛】
求異面直線所成角主要有以下兩種方法：
幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關系，用余弦定理求角.
向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.
3．已知三棱柱的側棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形，若為底面的中心，則與平面所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)三棱柱的體積公式，求得，結合線面角的定義，即可求解.
【詳解】
如圖所示，底面是邊長為的正三角形，可得，
設點是的中心，所以，解得，
又由，
在直角中，可得，
又，所以.
故選：B.

4．空間四邊形ABCD中，AB、BC、CD的中點分別是P、Q、R，且PQ=3，QR=5，PR=7，那么異面直線AC和BD所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由異面直線所成角的定義確定異面直線所成的角，然后在三角形中由余弦定理計算．
【詳解】
∵AB、BC、CD的中點分別是P、Q、R，∴，
∴異面直線AC和BD所成的角是（或其補角），
中，，
∴異面直線AC和BD所成的角為．
故選：B．

5．如圖，正三棱柱的九條棱都相等，三個側面都是正方形，、分別是和的中點，則與所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
取的中點，連接、，設，證明出四邊形為平行四邊形，可知異面直線與所成的角為或其補角，設，計算出三邊邊長，利用余弦定理計算出，即可得解.
【詳解】
取的中點，連接、，設，設，

、分別為、的中點，則且，
在正三棱柱中，且，
為的中點，所以，且，
則四邊形為平行四邊形，所以，，
所以，異面直線與所成的角為或其補角，
，，
，則，，，
由余弦定理可得.
因此，與所成角的余弦值為.
故選：D.
【點睛】
平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：
（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；
（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．
6．如圖在四面體中，平面，，那么直線和所成角的余弦值（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
設，分別取的中點，連接 ，則，所以（或其補角）就是直線和所成的角，根據(jù)三角形的余弦定理可求得選項.
【詳解】
設，分別取的中點，連接 ，
則，所以（或其補角）就是直線和所成的角，
又平面，平面，所以 ，所以，
又，，所以在中，，
所以直線和所成角的余弦值為.

【點睛】
本題考查求異面直角所成的角，平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：
（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；
（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．
7．如圖所示，點是二面角棱上的一點，分別在、平面內(nèi)引射線、，若，，那么二面角的大小為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
過上一點分別在、內(nèi)做的垂線，交、于點、，則即為二面角的平面角，設，通過解三角形即可求出答案．
【詳解】
解：過上一點分別在、內(nèi)做的垂線，交、于點、，
則即為二面角的平面角，如下圖所示：

設，∵，
∴，，
又∵，∴為等邊三角形，則，
∴，
∴，
故選：D．
8．如圖，是正方體，，則與所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
通過平移直線求得異面直線所成的角，再由余弦定理即可得解.
【詳解】
過點A在平面內(nèi)作，再過點在平面內(nèi)作，如圖，

則或其補角即為與所成的角，
因為是正方體，不妨設，
則，，
所以在中，.
故選：A.
9．在長方體中，，，、分別為上底面的邊、的中點，過、的平面與底面交于、兩點，、分別在下底面的邊、上，，平面與棱交于點，則直線與側面所成角的正切值為（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意畫出圖形，通過分析可知，直線與側面所成角為，則，然后根據(jù)圖形中的幾何條件分析計算出及的長度即可解得答案.
【詳解】
延長和交于點，連接，，

∵平面，平面//平面，
∴//平面，
又平面，且，
∴//，又//
∴//，∴，
又，∴，
∵∽，
∴，且，∴，
∵∽，∴，且，
∴，又，∴，
根據(jù)線面夾角的概念可知，直線與側面所成角為，
則.
故選：A.
【點睛】
本題考查直線與平面夾角的計算問題，利用定義法求解線面夾角時，一般步驟如下：
（1）找出斜線在平面內(nèi)的投影，或根據(jù)題目條件通過作輔助線找到投影，找到所求角；
（2）根據(jù)幾何條件計算所求角所在三角形的各邊長；
（3）根據(jù)解三角形的方法計算所求角的三角函數(shù)值.
10．如圖，在正四棱錐中，設直線與直線、平面所成的角分別為、，二面角的大小為，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
連接、交于，連，取的中點，連，根據(jù)正棱錐的性質(zhì)可知，，，，再比較三個角的正弦值可得結果.
【詳解】
連接、交于，連，取的中點，連，如圖：

因為，所以，又因為四棱錐為正四棱錐，所以，
由正四棱錐的性質(zhì)可知，平面，所以，
易得，，所以，
因為，，且，所以，又都是銳角，所以，
因為，，且，所以，因為都是銳角，所以.
故選：A
【點睛】
關鍵點點睛：根據(jù)正棱錐的性質(zhì)，利用異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角的定義得到這三個角是解題關鍵，屬于中檔題.
11．已知在正方體中，，分別為，上的點，且滿足，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
取線段上一點，使，連接，，證明（或其補角）為異面直線與所成的角，在中求出此角的余弦即可．
【詳解】
取線段上一點，使，連接，，如圖所示，
因為，，所以，
所以，，
又，所以易知（或其補角）為異面直線與所成的角.
正方體中平面，平面，所以，所以
設該正方體的棱長為，則，，
所以在中，，
所以.
故選：A．

【點睛】
本題考查異面直線所成的角，解題時需根據(jù)定義作出異面直線所的角，并證明，然后再計算．
12．如圖所示，已知正方體，則直線與平面所成的角為（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【分析】
把與平面所成的角轉化為與平面所成的角，根據(jù)線面垂直的判定定理，證得平面，得到為與平面所成的角，在直角中，即可求解.
【詳解】
由題意，在正方體中，可得，
所以直線與平面所成的角，即為與平面所成的角，
連接交于點，可得，
又由平面，因為平面，可得
由線面垂直判定定理，可得平面，
所以為與平面所成的角，
設正方體的棱長為1，可得,
在直角中，，
因為，所以.
故選：B.

13．如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面，，是線段上的點(不含端點).設與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)空間角的定義作出異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的平面角，歸結在直角三角形中計算正弦值、余弦值，然后可得角大?。?br /> 【詳解】
如圖，取中點，連接，∵，∴，而平面平面，平面平面，∴平面，
連接，作交于，則平面，
∵，∴為直線與所成的角，即，作于，∴，
連接，則是直線與平面所成的角，即，顯然，
∴，
作交于，則，連接，由平面得，
，∴平面，∴，∴是二面角的平面角，即，同樣，，
由圖可知，∴，（都是銳角），
，∴，（也是銳角），
又，，根據(jù)上面作圖過程知是矩形，，∴，∴，
綜上．
故選：D．

【點睛】
本題考查空間角：異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角，解題關鍵是根據(jù)它們的定義作出這些角（平面上的角），然后利用三角函數(shù)值比較它們的大?。?br /> 14．在我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）


A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如圖所示，分別取，，，的中點，，，，則，，，為異面直線與所成角．
【詳解】
解：如圖所示，分別取，，，的中點，，，，則，，，
為異面直線與所成角．
設，則，，
，
異面直線與所成角的余弦值為，
故選：．

【點睛】
平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：
①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；
③計算：求該角的值，常利用解三角形；
④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．
15．已知長方體的高，則當最大時，二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先由基本不等式得確定當且僅當時，取得最大值，接著求出，，，再取的中點，連接，，，并確定就是二面角的平面角，最后在三角形中由余弦定理求得解題.
【詳解】
解：設，，
則由題意得：，，，
所以，由基本不等式得：，
當且僅當時，取得最大值，此時，，
所以，
取的中點，連接，，，如圖，

則，，則就是二面角的平面角，
在等腰三角形中，因為，，所以，
在等腰三角形中，因為，，所以，
在長方體，求得，
故在三角形中，由余弦定理得，
故選：B.
【點睛】
方法點睛：本題主要考查二面角的余弦值的求解，是中檔題.求二面角的常用方法：
（1）找（確定二面角的平面角）
①點（定義法）：再二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直與棱的射線；
②線（三垂線定理）：過二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角；
③面（垂面法）：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角即是二面角的平面角.
（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）
①在三角形中，利用余弦定理求值；
②射影面積公式求值；
③利用公式法求值.
還可以建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的余弦值.

二、多選題
16．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點，則（ ）

A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．異面直線A1G與EF所成角的余弦值為
D．點G到平面AEF的距離是點C到平面AEF的距離的2倍
【答案】BCD
【分析】
利用正方體的性質(zhì)，平移異面直線得到它們的平面角進而證D1D、AF是否垂直及求直線A1G與EF所成角的余弦值即可，利用等體積法可求G到平面AEF的距離與點C到平面AEF的距離的數(shù)量關系，利用線面平行的判定即可判斷A1G、平面AEF是否平行.
【詳解】
A選項，由，即與并不垂直，所以D1D⊥AF錯誤.
B選項，如下圖，延長FE、GB交于G’連接AG’、GF，有GF//BE又E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點，所以，而，即；又因為面 面=，且面，面，所以A1G∥平面AEF，故正確.

C選項，取中點，連接，由題意知與平行且相等，所以異面直線A1G與EF所成角的平面角為，若正方體棱長為2，則有，即在中有，故正確.

D選項，如下圖若設G到平面AEF的距離、C到平面AEF的距離分別為、，則由且，知，故正確.

故選：BCD
【點睛】
思路點睛：求異面直線所成角時平移線段，將它們置于同一個平面，而證明線面平行主要應用線面平行的判定、線面垂直的性質(zhì)證明.
1、平移：將異面直線置于同一平面且有一個公共點，結合其角度范圍為.
2、線面平行判定：由直線平行該直線所在的一平面與對應平面的交線即可證線面平行.
3、由、即可求G、C到平面AEF的距離比.
17．在棱長為1的正方體中中，點P在線段上運動，則下列命題正確的是（ ）

A．異面直線和所成的角為定值
B．直線和平面平行
C．三棱錐的體積為定值
D．直線和平面所成的角為定值
【答案】ABC
【分析】
A：由正方體的性質(zhì)判斷平面，得出，異面直線與所成的角為90°；B：由，證明平面，即得平面；C：三棱錐的體積等于三棱錐的體積的體積，判斷三棱錐的體積為定值；D：找出直線和平面所成的角，可知其不是定值.
【詳解】
解：對于A，因為在正方體中，
，，
又，，平面，
所以平面，
而平面，所以，
故這兩個異面直線所成的角為定值90°，所以A正確；
對于B，因為平面與面是同一平面，
，面，平面，
故平面，即平面，故B正確；
對于C，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，
而平面為固定平面，且大小一定，
又因為，
因為，平面，平面，
所以平面，
所以點A到平面的距離即為點P到該平面的距離，為定值，
所以三棱錐的體積為定值，故C正確；
對于D，由線面夾角的定義，令與的交點為O，
所以平面，

可得即為直線與平面所成的角，
當P移動時這個角是變化的，故D錯誤.
故選：ABC.
【分析】
本題考查線面平行的判定，線面垂直的判定及性質(zhì)，異面直線所成的角，直線與平面所成的角，空間中的距離，屬于較難題.
18．世紀年代，人們發(fā)現(xiàn)利用靜態(tài)超高壓和高溫技術，通過石墨等碳質(zhì)原料和某些金屬反應可以人工合成金剛石，人工合成金剛石的典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及他們的過渡形態(tài). 其中立方八面體（如圖所示）有條棱、個頂點，個面（個正方形、個正三角形），它是將立方體“切”去個“角”后得到的幾何體.已知一個立方八面體的棱長為，則（ ）

A．它的所有頂點均在同一個球面上，且該球的直徑為
B．它的任意兩條不共面的棱所在的直線都互相垂直
C．它的體積為
D．它的任意兩個共棱的面所成的二面角都相等
【答案】ACD
【分析】
利用立方八面體與正方體之間的關系計算出正方體的棱長，可判斷A、C選項的正誤；計算出不共面的棱所成角的大小可判斷B選項的正誤，計算相鄰的兩個面所成二面角的大小可判斷D選項的正誤.
【詳解】
如下圖所示，由題意可知，立方八面體的頂點為正方體各棱的中點，
故立方八面體的棱為正方體相鄰兩條棱的中點的連線，
故正方體的棱長為，
由對稱性可知，立方八面體的外接球球心為正方體的中心，
外接球的直徑為正方體的面對角線長，該球的半徑為，A選項正確；
設、為立方八面體的兩條不共面的棱，如下圖所示，則，
在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，
，，由于，
易知為等邊三角形，則，所以，與所成角為，B選項錯誤；
立方八面體的體積為，C選項正確；
設正方體底面的中心為點，連接交立方八面體的棱于點，
連接，則為的中點，且為等邊三角形，所以，，
，為的中點，，
、分別為、的中點，則，，
所以，為立方八面體的底面與由平面所成二面角的平面角，
立方八面體的棱長為，，，，
平面，平面，，
在中，，
所以，，
同理可知，立方八面體的相鄰兩個面所成二面角的余弦值為，D選項正確.
故選：ACD.

【點睛】
作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
三、解答題
19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.∠BDC=90°，BC=1，BP=，PC=2.

（1）求證：CD⊥平面PBD；
（2）若BD與底面PBC所成的角為，求二面角B-PC-D的正切值.
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】
（1）由已知求解三角形證明，再由平面與平面垂直的性質(zhì)可得平面，則，又由已知可得，利用直線與平面垂直的判定可得平面；
（2）證明為等腰直角三角形，得，取中點，連接，則，可得平面，過作，垂足為，連接，可得，則為二面角的平面角，求解三角形可得二面角的正切值．
【詳解】
（1）證明：在中，由，，，
可得，，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，則，
又，，且，
平面；
（2）平面平面，平面，
在底面上的射影在上，則與底面所成的角為，
由已知得，為直角三角形，為等腰直角三角形，且，
取中點，連接，則，

又平面平面，且平面平面，平面，
平面，過作，垂足為，連接，可得，
則為二面角的平面角，
在等腰直角三角形中，由，可得，
由，可得，得，
在中，可得．
二面角的正切值為．
【點睛】
方法點睛：本題考查線面垂直的判定，考查二面角的求法，定義法找二面角歸納如下：
設平面與平面的交線為，空間中一點，
1. 點在平面內(nèi)，但不在交線上：過作平面的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，連接，角為二面角的平面角；
2. 點在交線上：過在平面與平面內(nèi)分別作垂直于交線的射線，角為二面角的平面角；
3. 點在兩平面外：過作平面的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，過在平面內(nèi)作交線的垂線，則角為二面角的平面角．
20．如圖所示，平面ABEF⊥平面ABC，四邊形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝，△ABC是以A為直角的等腰直角三角形，點P是線段BF上的一點，PF＝3.

（1）證明：AC⊥BF；
（2）求直線BC與平面PAC所成角的正切值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）要證明線線垂直，需證明線面垂直，利用題中的垂直關系，易證明平面；（2）由題中所給的長度，證明平面，即∠BCP為直線BC與平面PAC所成的角，在Rt△BCP中，求線面角的正切值.
【詳解】
(1)證明：因為△ABC是以A為直角的等腰直角三角形，
所以AC⊥AB，
又平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，
所以AC⊥平面ABEF.
因為BF?平面ABEF，所以AC⊥BF.
(2)在矩形ABEF中，AB＝2，AF＝2，
則BF＝4，又PF＝3，
所以FA2＝PF·BF，所以BF⊥AP，
由(1)知AC⊥BF，又AC∩AP＝A，所以BF⊥平面PAC，
則∠BCP為直線BC與平面PAC所成的角.
如圖，過點P作PM∥AB交BE于點M，過點P作PN⊥AB于點N，
連接NC，

因為BF＝4，PF＝3，所以PB＝1，則，
所以PM＝BN＝，BM＝PN＝，AN＝AB－BN＝2－＝，
所以CN＝＝，PC＝＝.
在Rt△BCP中，tan∠BCP＝.
故直線BC與平面PAC所成角的正切值為.
【點睛】
方法點睛：本題考查計算線面角，注意包含以下方法：
1.利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進而確定線面角中的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；
2.在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法解垂線段的長度，而不必畫出線面角，利用/斜線段長，進行求角；
3.建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設是直線的方向向量，是平面的法向量，利用公式求解.
21．如圖BC⊥BD，AB＝BD，∠ABD＝60°，平面BCD⊥平面ABD，E、F、G分別為棱AC、CD、AD中點.

（1）證明：EF⊥平面BCG；
（2）若BC＝4，且二面角A—BF—D的正切值為，求三棱錐G—BEF體積.（注意：本題用向量法求解不得分）
【答案】（1）證明見解析 （2）
【分析】
（1）由平面BCD⊥平面ABD，可得平面，從而可證平面，又 ，可證.
（2）過作于點，為的中點,過作于點，連接
, 可得平面,則,從而平面.從而為二面角A—BF—D的平面角，再求三角形邊長進行計算得出答案.
【詳解】
（1）由平面BCD⊥平面ABD，且平面BCD平面ABD
又BC⊥BD，平面，所以平面
又平面，則
又, 為中點，則
而,則平面
又E、F分別為棱AC、CD中點，則
所以EF⊥平面BCG；
（2）由AB＝BD，∠ABD＝60°，則為正三角形.
過作于點，為的中點,過作于點，連接
由平面BCD⊥平面ABD，且平面BCD平面ABD，可得平面.
所以,從而平面.
所以為二面角A—BF—D的平面角.
設，在中，
所以
則，則
所以為等腰直角，
由，平面,平面,則平面
則
所以三棱錐G—BEF體積為.

【點睛】
關鍵點睛：本題考查線面垂直的證明和根據(jù)二面角的大小解決體積問題，解答本題的關鍵是利用面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直，由平面BCD⊥平面ABD，過作于點，可得平面，從而得出為二面角A—BF—D的平面角，屬于中檔題.
22．中，，，E，F(xiàn)分別是邊，上的點，且，于H，，將沿折起，點A到達，此時滿足面面．

（1）若，求直線與面所成角大??；
（2）若E，F(xiàn)分別為，中點，求銳二面角的余弦值；
（3）在（2）的條件下，求點B到面的距離．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）折疊過程中與保持垂直，由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，從而可得為直線與面所成角，解即可得；
（2）由（1）分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出二面角的兩個面的法向量，由法向量夾角的余弦得二面角的余弦（注意銳二面角）；
（3）同樣求出平面的一個法向量，由在法向量方向上的投影的絕對值即為點B到面的距離可得結論．
【詳解】
（1）因為，，，，
所以為中點，，，，
所以，又平面平面，所以平面，
所以為直線與面所成角
若，由得，所以，，
，又，
，是銳角，所以；
（2）分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為E，F(xiàn)分別為，中點，則，，
，，，，，
設平面的一個法向量為，
則，取，則，即，
平面的一個法向量為，
，
所以銳二面角的余弦值為．

（3）由（2），，，，
設平面的一個法向量為，則
，取，則，，即，
，
所以點B到面的距離為．
【點睛】
本題考查求直線與平面所成的角，考查用空間向量法求二面角，求點到平面的距離，解題關鍵是建立空間直角坐標系，求出平面的法向量．然后只要計算即可得．
23．在四棱錐中，，，，，，，，．

（1）求證：面；
（2）已知點F為中點，點P在底面上的射影為點Q，直線與平面所成角的余弦值為，當三棱錐的體積最大時，求異面直線與所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】
（1）在直角梯形中先求出，然后可求得，從而可證明，由線面垂直判定定理證明線面垂直；
（2）由（1）得面面垂直，知在上，為直線與平面所成的角，
，設（），求出三棱錐的體積，由二次函數(shù)知識求得最大值，及此時的值，得為中點，從而有，為異面直線與所成角（或補角），由余弦定理可得．
【詳解】
（1）證明：，，，，，，
∴，又，∴，，，
由余弦定理得，
又，
∴，∴，
∵，又，平面，
∴平面．
（2）由（1）平面．平面，
∴平面平面，∴點在上，為直線與平面所成的角，
，
設（），則，，
，
，當且僅當時等號成立，
則當最大時，，∴為中點，
∵為中點，∴，
∴為異面直線與所成角（或補角），
，則由平面得，又，
則，
∴異面直線與所成角的余弦值為．

【點睛】
本題考查線面垂直的判定定理，考查直線與平面所成的角，異面直線所成的角，三棱錐的體積等，旨在考查學生的空間想象能力，運算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題．
24．如圖，已知四棱錐中，平面，，，，，是的中點.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） .
【分析】
（Ⅰ）要證明線面平行，需轉化為證明線線平行，取中點，連，可證明四邊形為平行四邊形，從而證明；（Ⅱ）法一，連結，證明平面，即為所求；法二：是中點，連轉化為求與平面的線面角.
【詳解】
（Ⅰ）取中點，連.易知，且，，且,所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以.又因為，，所以

（Ⅱ）(一)連.由，，所以，.
在直角梯形上，.
.又，所以

又.，所以為直線與平面所成角
…
(二)設是中點，連因為，則，作，所以為，也即直線與平面所成角

【點睛】
方法點睛：1.利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進而確定線面角中的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；
2.在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法解垂線段的長度，而不必畫出線面角，利用/斜線段長，進行求角；
3.建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設是直線的方向向量，是平面的法向量，利用公式求解.
25．如圖，在矩形ABCD中，，，沿對角線BD把折起，使點C移到點，且在平面ABD內(nèi)的射影O恰好落在AB上．

（1）求證：；
（2）求證：平面平面；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．
【分析】
（1）證明：由面面垂直的判定可證得平面平面ABD．再由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)可得證；
（2）由線面垂直的判定可證得平面．再由面面垂直的判定可得證；
（3）由（2）知，由二面角的定義可得二面角的平面角是，解三角形可得答案．
【詳解】
解：（1）證明：由題意得平面ABD．∵平面．∴平面平面ABD．
又，平面平面，
∴平面，∴；
（2）證明：∵，，，∴平面．
又平面，∴平面平面．
（3）由（2）知，在中，∴，∵，，∴二面角的平面角是，
∴，
∴二面角的余弦值是．
【點睛】
本題考查線面垂直、面面垂直的判定和性質(zhì)，二面角的計算，屬于中檔題.關鍵在于作出二面角的平面角，常常有以下的方法，A：利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點作平面角；B：利用面的垂線(三垂線定理或其逆定理)作平面角；C：利用與棱垂直的直線,通過作棱的垂面作平面角；D：利用無棱二面角的兩條平行線作平面角.
26．如圖，已知三棱錐中，，D為的中點.

（1）求證：；
（2）若，求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）取的中點E，連接，利用已知條件得到，，再利用線面垂直的判定定理證明平面，即可得證；（2）取的中點F，連接，過D作于H；先利用已知條件以及線面垂直的判定定理得到平面，進而得到，再利用線面垂直的判定定理得到平面，所以就是與平面所成角，利用已知條件求解即可.
【詳解】
（1）取的中點E，連接.



∵，
∴ ，
∵D，E分別是的中點，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ 平面，
∴ .
（2）取的中點F，連接，
過D作于H.


∵，∴，
∵，∴，∴.
∵D，F(xiàn)分別是的中點，
∴，∴，
∵，∴，
∵，
∴平面，∴，
∵，
∴平面，
∴就是與平面所成角，
∵，
∴，
∴與平面所成角的正弦值為.
【點睛】
方法點睛：求空間中直線與平面所成角的常見方法為：
（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；
（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.
27．如圖，三棱柱中，平面，．

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析； （2）.
【分析】
（1）在中，根據(jù)勾股定理，證得，進而證得，結合線面垂直的判定定理，證得平面，即可得到；
（2）過點作，證得平面，在直角中，求得，進而得到點到平面的距離等于點到平面的距離，結合線面角的定義，即可求解.
【詳解】
（1）連接，在中，因為，
由余弦定理，可得，
可得，所以，
又因為平面，平面，所以，
又由，且平面，
所以平面，又因為平面，所以；
（2）過點作于點，
在三棱柱中，，
因為平面，可得平面，
根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，
在直角中，，可得，
又由，平面，所以平面，
所以點到平面的距離等于點到平面的距離，其距離，
又在矩形中，，可得，
設直線與平面所成角，可得
所以直線與平面所成角的正弦值為．

【點睛】
求解直線與平面所成角的方法：
1、定義法：根據(jù)直線與平面所成角的定義，結合垂線段與斜線段的長度比求得線面角的正弦值；
2、向量法：分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉化為求兩個向量方法向量的夾角（或補角）；
3、法向量法：求出斜線的方向向量和平面的法向量所夾的銳角，取其余角即為斜線與平面所成的角.
28．如圖，在平面四邊形中，，，繞旋轉．

（1）若所在平面與所在平面垂直，求證：平面．
（2）若二面角大小為，求直線與平面所成角的正切值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】
（1）證明平面內(nèi)的兩條相交直線．
（2）先作出二面角的平面角，再找出直線與平面所成角的平面角，通過解三角形，即可得答案；
【詳解】
（1），，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，
，，平面，平面，
，平面．

（2）取BC的中點N，連結，
設，則，
點M為中點，，
，，
為二面角的平面角，，
，，
，，
，，，
平面，為直線與平面所成角，
.

【點睛】
利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，從而證明線面垂直；利用傳統(tǒng)法求角時，要求按照一作、二證、三求的步驟.
29．如圖，多面體中，四邊形是菱形，，平面，

（1）求二面角的大小的正切值；
（2）求點到平面的距離；
（3）求直線與平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）過A作于點G，則為二面角的平面角，求其正切值即可；
（2）設點E到平面AFC的距離為h，利用等體積法計算即得結果；
（3）作于點H，則為直線FC與平面ABF所成的角，求其正弦值即可.
【詳解】
解：（1）過A作于點G，連接FG，

四邊形ABCD是菱形，，
為等邊三角形，,.
平面ABCD，平面ABCD，，
又， ，平面AFG，-
為二面角的平面角，
；
連接AE，設點E到平面AFC的距離為h，
則， 即，
也就是，
解得：；
(3)作于點H，連接FH，為等邊三角形，

為AB的中點，，
平面ABCD，平面ABCD，，
又，平面ABF，
為直線FC與平面ABF所成的角，
．
【點睛】
求空間中二面角的常見方法為：
（1）定義法：過一個平面上的一點作另一個平面的垂線，再往交線上作垂線，找到二面角的平面角，計算即可；
（2）向量法：利用兩個平面的法向量，計算其夾角的余弦值，再判斷
求空間中直線與平面所成角的常見方法為：
（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；
（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.
30．如圖，三棱臺中，，，四邊形為等腰梯形，，平面平面．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）延長、、交于點，由平面平面推導出平面，進而可得出；
（Ⅱ）設，可得出，，，過點作，垂足為，計算出點到平面的距離，以及的長，即可求得直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】
（I）延長、、交于點，
四邊形為等腰梯形，，，則，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
由平面，可得，即；
（II），可知為的中點.
=
設，則，，，
由，，可得，，平面，
平面，，，
過點作，垂足為，
平面，平面，，
，，所以平面，
，，則到平面的距離，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【點睛】
本題考查利用線面垂直證明線線垂直，同時也考查了線面角正弦值的求解，考查計算能力，屬于中等題.


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