專題27 向量法求空間角一、單選題 1．在正方體中，，，，分別為，，，的中點，則異面直線與所成角的大小是（    ）A． B． C． D．2．在長方體中，，，設交于點，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．3．如圖在棱長為2的正方體中，點是的中點，那么異面直線和所成的角的余弦值等于（    ）A． B． C． D．4．如圖，已知點、、G、分別是正方體中棱、、、的中點，記二面角的平面角為，直線與平面所成角為，直線與直線所成角為，則（    ）A． B． C． D．5．如圖，在正四面體中，，記平面與平面?平面?平面，所成的銳二面角分別為??，則（    ）A． B． C． D．6．如圖，在長方體中，，，是的中點，則直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．7．已知兩條異面直線的方向向量分別是，1，，，2，，則這兩條異面直線所成的角滿足（    ）A． B． C． D．二、解答題8．如圖，四邊形中，是等腰直角三角形，，是邊長為2的正三角形，以為折痕，將向上折疊到的位置，使點在平面內的射影在上，再將向下折疊到的位置，使平面平面，形成幾何體.（1）點在上，若平面，求點的位置；（2）求二面角的余弦值.9．如圖所示，在四棱錐中，，，，底面，為的中點.（1）求證：平面；（2）在側面內找一點，使平面；（3）求直線與平面所成角的正弦.10．如圖所示，四棱錐中，側面是邊長為的正三角形且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點.（1）求與底面所成角的大小；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.11．如圖，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，是的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．12．如圖，在四棱錐中，底面中，，側面平面，且，點在棱上，且．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值13．如圖，在底面為菱形的四棱錐中，，．（1）證明：；（2）若，點在線段上，且，求二面角的余弦值．14．如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的正方形，，，分別是，的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在上是否存在一點，使得與所成角為？若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．15．已知如圖①，在菱形中，且，為的中點，將沿折起使，得到如圖②所示的四棱錐.（1）求證：平面平面；（2）若為的中點，求二面角的余弦值.16．如圖，E為矩形邊的中點，沿將向上翻折至，使得二面角為60°，且，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面夾角的正弦值.17．如圖，長方體中，，，若在上存在點，使得平面.（1）求的長；（2）求平面與平面夾角的余弦值.18．如圖，三棱柱的側面是邊長為的正方形，面面，，，是的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離； （3）在線段上是否存在一點，使二面角為，若存在，求的長；若不存在，說明理由.19．如圖，在直三棱柱中，，（1）求證：；（2）求直線和所成角的大??； （3）求直線和平面所成角的大小.20．如圖，已知三棱錐中，平面，，M、E分別為、的中點，N為的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線和平面所成角的正弦值．21．如圖，三棱柱中，底面是邊長為的等邊三角形，側面為菱形，且平面平面，，為棱的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．22．在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，平面，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一點，使得二面角的大小為？如果存在，確定點的位置；如果不存在，說明理由.23．在四棱錐中，四邊形ABCD為正方形，平面平面ABCD，為等腰直角三角形，，AB=2.（1）求證：平面平面PAC；（2）設E為CD的中點，求二面角C-PB-E的余弦值.24．已知長方體中，，，E為的中點.（1）證明平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.25．如圖，四邊形為菱形，，四邊形為矩形，平面平面，點在上，.（1）證明：平面；（2）若與平面所成角為60°，求二面角的余弦值.26．如圖，在邊長為8的菱形中，，將沿折起，使點到達的位置，且二面角為60°.（1）求證：；（2）若點E為中點，求直線BE與平面所成角的正弦值.27．如圖，在直三棱柱中，，，，點是的中點.（1）求證：平面⊥平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角（是指不超過的角）的余弦值.28．中，，，E，F分別是邊，上的點，且，于H，，將沿折起，點A到達，此時滿足面面．（1）若，求直線與面所成角大??；（2）若E，F分別為，中點，求銳二面角的余弦值；（3）在（2）的條件下，求點B到面的距離．29．如圖，在梯形中，，，平面，四邊形為矩形，點為線段的中點，且，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.30．如圖，四棱錐的底面為正方形，側面底面．為等腰直角三角形，且．，分別為底邊和側棱的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值． 

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