4．2　平面與平面平行第1課時　平面和平面平行的性質學 習 任 務核 心 素 養(yǎng)1．理解平面和平面平行的性質，并會應用性質解決問題．(重點、難點)2．了解直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的平行關系可以相互轉化．(難點)1．通過對平面和平面平行性質定理的推導和應用，培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng)．2．通過利用平面和平面平行性質定理進行相關的計算，培養(yǎng)學生數學運算素養(yǎng)． 2010年在上海舉行的世界博覽會給全世界的游客留下了深刻的印象，其中中國國家館成為上海市的又一標志性建筑．中國國家館表達了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化的精神與氣質，展館共分三層，這三層給人以平行平面的感覺．閱讀教材，結合上述情境回答下列問題：問題1：展館的每兩層所在的平面平行，那么上層面上任何一直線狀物體與下層面有何位置關系？問題2：上層面上任何一直線狀物體與下層面上任何一直線狀物體有何位置關系？問題3：上下兩層所在的平面與側墻所在平面分別相交，它們的交線是什么位置關系？知識點　平面與平面平行的性質定理文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語言1.兩個平面平行，那么兩個平面內的所有直線都相互平行嗎？[提示]　不一定．因為兩個平面平行，所以分別在這兩個平面內的任意兩條直線無公共點，它們平行或異面．2．若平面α∥β，點P∈α，a∥β且P∈a，那么一定有a?α嗎？[提示]　一定有．∵a∥β，α∥β，∴a∥α或a?α. 又∵P∈a，P∈α，∴a?α.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若平面α∥β，則平面α內任意一條直線都平行于平面β. (　　)(2)若平面α∥平面β，l?平面β，m?平面α，則l∥m. (　　)(3)已知兩個平面平行，若有第三個平面與其中的一個平面平行，那么它與另一平面也平行．????????????? ????????????? (　　)[提示]　(1)正確．因為平面α∥β，所以平面α內任意一條直線和平面β沒有交點，所以和平面β平行．(2)錯誤．直線l和m可能平行或異面．(3)正確．[答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 類型1　平面和平面平行性質定理的應用【例1】　(教材北師版P220例5改編)如圖所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中點，D′是B′C′的中點，設平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判斷直線a，b的位置關系，并證明．[解]　直線a，b的位置關系是平行．證明如下：∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴A′D′∥a，同理可得AD∥b.又D是BC的中點，D′是B′C′的中點，∴DD′綊BB′，而BB′綊AA′，∴DD′綊AA′，∴四邊形AA′D′D為平行四邊形，∴A′D′∥AD，因此a∥b.利用面面平行的性質定理判斷兩直線平行的步驟(1)先找兩個平面，使這兩個平面分別經過這兩條直線中的一條；(2)判定這兩個平面平行(此條件有時題目會直接給出)；(3)再找一個平面，使這兩條直線都在這個平面上；(4)由定理得出結論．1.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中點，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求證：N為AC的中點．[證明]　∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，∴四邊形ANC1M為平行四邊形，∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，∴N為AC的中點． 類型2　與平行性質定理有關的計算問題【例2】　如圖，已知平面α∥β，P?α且P?β，過點P的直線m與α，β分別交于A，C，過點P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長．1.平面和平面平行的性質定理的實質是什么？[提示]　平面和平面平行的性質定理的實質是：面面平行?線線平行，實現了面面平行和線線平行的相互轉化．2.應用平面和平面平行的性質定理的關鍵是什么？[提示]　在已知兩個平面平行的條件下，應用平面和平面平行的性質定理的關鍵是找到和這兩個平面都相交的第三個平面，發(fā)現交線，得到兩條交線平行．3.→→→[解]　∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，∴AB∥CD，可得＝.∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，∴＝，解得BD＝.1．若例2改為：若點P在平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，試求BD的長．[解]　由例2可得＝，代入PA＝6，PC＝3，PD＝8，得＝，解得PB＝16，∴BD＝PB＋PD＝24，∴BD的長為24.2.將例2改為：如圖，平面α∥平面β∥平面γ，兩條直線a，b分別與平面α，β，γ相交于點A，B，C和點D，E，F.已知AC＝15 cm，DE＝5 cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的長．[解]　如圖所示，連接AF，交β于點G，則點A，B，C，G共面．∵β∥γ，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF，∴BG∥CF，∴△ABG∽△ACF，∴＝，同理，有AD∥GE，＝，∴＝.又＝，∴AB＝AC＝ cm，BC＝AC＝ cm.∴EF＝3DE＝3×5＝15 cm.應用平面與平面平行性質定理的基本步驟2.如圖所示，直線a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α兩側，點B，C∈a，AB，AC分別交平面α于點E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，則EF＝__________．　[由于點A不在直線a上，則直線a和點A確定一個平面β，所以α∩β＝EF.因為a∥平面α，a?平面β，所以EF∥a. 所以＝. 所以EF＝＝＝.]1．已知長方體ABCD-A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，則EF與E′F′的位置關系是(　　)A．平行    B．相交    C．異面    D．不確定A　[由面面平行的性質定理易得．]2．(多選題)已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β，γ為三個不重合的平面，現給出四個命題不正確的是(　　)A．?α∥β   B．?α∥β；C．?a∥α   D．?a∥βACD　[A.α與β有可能相交；B.正確；C.有可能a?α；D.有可能a?β.故選ACD.]3．平面α∥平面β，a?α，b?β，則直線a，b的位置關系是(　　)A．平行     B．相交C．異面     D．平行或異面D　[借助正方體模型求解．]4．若平面α∥平面β，直線a?α，點M∈β，過點M的所有直線中(　　)A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數條與a平行的直線D．有且只有一條與a平行的直線D　[由于α∥β，a?α，M∈β，過M有且只有一條直線與a平行，故D項正確．]5．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱DD1上的點．當平面AB1C∥平面A1EC1時，則點E的位置在________處．點D　[如圖，連接B1D1，BD，設B1D1∩A1C1＝M，BD∩AC＝O，連接ME、B1O，∵平面AB1C∥平面A1EC1，平面AB1C∩平面BDD1B1＝B1O，平面A1EC1∩平面BDD1B1＝ME，∴B1O∥ME.又四邊形B1MDO為平行四邊形，則B1O∥MD.故E與D重合．]回顧本節(jié)內容，自我完成以下問題：1.應用面面平行的性質定理時應注意什么問題？[提示]　平面和平面平行的性質定理提供了證明線線平行的另一種方法，應用時要緊扣與兩個平行平面都相交的第三個平面．2.常用的面面平行的性質還有哪些？[提示]　常用的面面平行的其他幾個性質(1)兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面．(2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．(3)經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．(5)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．  

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高中數學北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

4.2 平面與平面平行

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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