一、高考真題匯編的意義
1、增強(qiáng)高考考生的復(fù)習(xí)動(dòng)力和信心。
2、提高高考考生的復(fù)習(xí)效率。使考生能夠更好地梳理復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，提高復(fù)習(xí)效率。
3、加深考生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握。
二、高考真題匯編的內(nèi)容
1、高考試題收錄。高考真題匯編收錄高考真題，涵蓋了高考考試的各個(gè)學(xué)科。
2、答案解析。高考真題匯編提供了詳細(xì)的答案解析，加深考生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握。
3、復(fù)習(xí)指導(dǎo)。高考真題匯編還提供了一些復(fù)習(xí)指導(dǎo)，提高復(fù)習(xí)效率。
三、高考真題匯編的重要性
高考真題匯編不僅可以提高考生的復(fù)習(xí)動(dòng)力和信心，增強(qiáng)考生的復(fù)習(xí)效率，而且還可以加深考生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，使考生更好地把握考試方向，為高考復(fù)習(xí)提供了有力的支持。本文介紹了高考真題匯編的意義、內(nèi)容和重要性，分析了它對(duì)高考考生的重要作用，強(qiáng)調(diào)了它在高考復(fù)習(xí)中的重要性。
專題05 立體幾何（選擇題、填空題）（文）
知識(shí)點(diǎn)目錄
知識(shí)點(diǎn)1：三視圖
知識(shí)點(diǎn)2：空間幾何體表面積、體積、側(cè)面積
知識(shí)點(diǎn)3：空間直線、平面位置關(guān)系的判斷
知識(shí)點(diǎn)4：線線角、線面角、二面角
知識(shí)點(diǎn)5：外接球、內(nèi)切球問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)6：立體幾何中的范圍與最值問(wèn)題及定值問(wèn)題
近三年高考真題
知識(shí)點(diǎn)1：三視圖
1．（2022?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的體積（單位：是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由三視圖可知幾何體是上部為半球，中部是圓柱，下部是圓臺(tái)，
所以幾何體的體積為：．
故選：．
2．（2022?甲卷（文））如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為
A．8B．12C．16D．20
【答案】
【解析】由多面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱，
四棱柱的底面是直角梯形，如圖，
，，，平面，
該多面體的體積為：
．
故選：．
3．（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由三視圖還原原幾何體如圖，
底面，，，
則是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
則該四面體的表面積為．
故選：．
4．（2021?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的體積（單位：是
A．B．3C．D．
【答案】
【解析】由三視圖還原原幾何體如圖，
該幾何體為直四棱柱，底面四邊形為等腰梯形，
其中，由三視圖可知，延長(zhǎng)與相交于一點(diǎn)，且，
且，，，等腰梯形的高為，
則該幾何體的體積．
故選：．
5．（2021?甲卷（文））在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)分別為，，．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由題意，作出正方體，截去三棱錐，根據(jù)正視圖，
可得在正方體左側(cè)面，如圖，根據(jù)三視圖的投影，
可得相應(yīng)的側(cè)視圖是圖形，
故選：．
6．（2021?乙卷（文））以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為 （寫(xiě)出符合要求的一組答案即可）．
【解析】觀察正視圖，推出正視圖的長(zhǎng)為2和高1，②③圖形的高也為1，即可能為該三棱錐的側(cè)視圖，
④⑤圖形的長(zhǎng)為2，即可能為該三棱錐的俯視圖，
當(dāng)②為側(cè)視圖時(shí)，結(jié)合側(cè)視圖中的直線，可以確定該三棱錐的俯視圖為⑤，
當(dāng)③為側(cè)視圖時(shí)，結(jié)合側(cè)視圖虛線，虛線所在的位置有立體圖形的輪廓線，可以確定該三棱錐的俯視圖為④．
故答案為：②⑤或③④．
知識(shí)點(diǎn)2：空間幾何體表面積、體積、側(cè)面積
7．（2023?甲卷（文））在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，則該棱錐的體積為
A．1B．C．2D．3
【答案】
【解析】如圖，
，，取的中點(diǎn)，連接，，
可得，，
又，、平面，平面，
在與中，求得，
在中，由，，得，則，
，
．
故選：．
8．（2023?天津）在三棱錐中，線段上的點(diǎn)滿足，線段上的點(diǎn)滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】在三棱錐中，線段上的點(diǎn)滿足，線段上的點(diǎn)滿足，
所以，
設(shè)到平面的距離，到平面的距離，則，
則三棱錐的體積為．
故三棱錐和三棱錐的體積之比為．
故選：．
9．（2021?新高考Ⅱ）正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解法一：如圖為正四棱臺(tái)，，，．
在等腰梯形中，過(guò)作，可得，
．
連接，，
，，
過(guò)作，，
，
正四棱臺(tái)的體積為：
．
解法二：作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，
該四棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，
該棱臺(tái)的記，
下底面面積，上底面面積，
則該棱臺(tái)的體積為：
．
故選：．
10．（2022?天津）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為
A．23B．24C．26D．27
【答案】
【解析】如圖，該組合體由直三棱柱和直三棱柱組成，且為正方形，
設(shè)重疊后的與交點(diǎn)為，
作于，因?yàn)椋?br>所以，，，
方法①：四個(gè)形狀相同的三棱錐、，、的體積之和，加上正四棱錐的體積：
在直三棱柱中，平面，則，
由可得平面，
正四棱錐的高等于的長(zhǎng)，
，，
該組合體的體積；
方法②：兩個(gè)直三棱柱體積相加，再減去重疊部分（正四棱錐的體積：
在直三棱柱中，平面，則，
由可得平面，
正四棱錐的高等于的長(zhǎng)，
，，
該組合體的體積．
故選：．
11．（2022?甲卷（文））甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】如圖，
甲，乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖剛好拼成一個(gè)圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為，，高分別為，，
則，，解得，，
由勾股定理可得，
．
故選：．
12．（2022?新高考Ⅰ）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)．已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為．將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，
根據(jù)題意，增加的水量約為
．故選：．
13．（2021?新高考Ⅰ）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為
A．2B．C．4D．
【答案】
【解析】由題意，設(shè)母線長(zhǎng)為，
因?yàn)閳A錐底面周長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的弧長(zhǎng)，圓錐的母線長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的半徑，
則有，解得，
所以該圓錐的母線長(zhǎng)為．
故選：．
14．（多選題）（2023?新高考Ⅱ）已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，為底面直徑，，，點(diǎn)在底面圓周上，且二面角為，則
A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為
C．D．的面積為
【答案】
【解析】取中點(diǎn)，則，，
由二面角的定義可知，二面角的平面角即為，
對(duì)于，中，由于，，
則，，
則，，選項(xiàng)正確．
對(duì)于，，選項(xiàng)錯(cuò)誤．
對(duì)于，，選項(xiàng)正確．
對(duì)于，，，選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
15．（多選題）（2022?新高考Ⅱ）如圖，四邊形為正方形，平面，，．記三棱錐，，的體積分別為，，，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】設(shè)，
，
，
如圖所示，
連接交于點(diǎn)，連接、，
則，，，
故，
，
故、正確，、錯(cuò)誤．
故選：．
16．（2023?新高考Ⅱ）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為 ．
【解析】如圖所示，根據(jù)題意易知△，
，又，
，，又上下底面正方形邊長(zhǎng)分別為2，4，
所得棱臺(tái)的體積為．
故答案為：28．
17．（2023?新高考Ⅰ）在正四棱臺(tái)中，，，，則該棱臺(tái)的體積為 ．
【解析】如圖，設(shè)正四棱臺(tái)的上下底面中心分別為，，
過(guò)作，垂足點(diǎn)為，由題意易知，又，
，又，，
該四棱臺(tái)的體積為．
故答案為：．
18．（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，則圓柱的側(cè)面積為 ．
【答案】．
【解析】圓柱的底面半徑為，高為，
所以圓柱的側(cè)面積為．
故答案為：．
知識(shí)點(diǎn)3：空間直線、平面位置關(guān)系的判斷
19．（2022?乙卷（文））在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【答案】
【解析】對(duì)于，由于，分別為，的中點(diǎn)，則，
又，，，且，平面，
平面，則平面，
又平面，
平面平面，選項(xiàng)正確；
對(duì)于，由選項(xiàng)可知，平面平面，而平面平面，在該正方體中，試想運(yùn)動(dòng)至?xí)r，平面不可能與平面垂直，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，在平面上，易知與必相交，故平面與平面不平行，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，易知平面平面，而平面與平面有公共點(diǎn)，故平面與平面不可能平行，選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
20．（2021?浙江）如圖，已知正方體，，分別是，的中點(diǎn)，則
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
【答案】
【解析】連接，如圖：
由正方體可知，，平面，
，由題意知為△的中位線，，
又平面，平面，平面．對(duì)；
由正方體可知與平面相交于點(diǎn)，平面，，
直線與直線是異面直線，、錯(cuò)；
，不與平面垂直，不與平面垂直，錯(cuò)．
故選：．
知識(shí)點(diǎn)4：線線角、線面角、二面角
21．（2022?甲卷（文））在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則
A．
B．與平面所成的角為
C．
D．與平面所成的角為
【答案】
【解析】如圖所示，連接，，不妨令，
在長(zhǎng)方體中，面，面，
所以和分別為與平面和平面所成的角，
即，
所以在中，，，
在中，，，
所以，，，
故選項(xiàng)，錯(cuò)誤，
由圖易知，在平面上的射影在上，
所以為與平面所成的角，
在中，，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
如圖，連接，
則在平面上的射影為，
所以為與平面所成的角，
在△中，，所以，
所以選項(xiàng)正確，
故選：．
22．（2021?乙卷（文））在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解法一：，是直線與所成的角（或所成角的補(bǔ)角），
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，，，
，
，
直線與所成的角為．
解法二：，直線與所成角為，
在正△中，是的平分線，
．
直線與所成的角為．
故選：．
知識(shí)點(diǎn)5：外接球、內(nèi)切球問(wèn)題
23．（2022?新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】如圖所示，正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，連接與交于點(diǎn)，連接，則球心在直線上，連接，
設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，
在中，，即，
球的體積為，球的半徑，
在中，，即，
，，
，又，，
該正四棱錐體積，
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
（4），
又，，且，
，
即該正四棱錐體積的取值范圍是，，
故選：．
24．（2022?乙卷（文））已知球的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】對(duì)于圓內(nèi)接四邊形，如圖所示，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，為圓的直徑，且時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)四邊形為正方形，
當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，底面一定為正方形，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，
則，
該四棱錐的高，
該四棱錐的體積，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
該四棱錐的體積最大時(shí)，其高，
故選：．
25．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】當(dāng)球心在臺(tái)體外時(shí)，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為，下底面所在平面截球所得圓的半徑為，如圖，
設(shè)球的半徑為，則軸截面中由幾何知識(shí)可得，解得，
該球的表面積為．
當(dāng)球心在臺(tái)體內(nèi)時(shí)，如圖，
此時(shí)，無(wú)解．
綜上，該球的表面積為．
故選：．
26．（2021?天津）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】如圖，設(shè)球的半徑為，由題意，，
可得，則球的直徑為4，
兩個(gè)圓錐的高之比為，，，
由直角三角形中的射影定理可得：，即．
這兩個(gè)圓錐的體積之和為．
故選：．
27．（2021?新高考Ⅱ）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為，半徑為的球，其上點(diǎn)的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積（單位：，則占地球表面積的百分比約為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由題意，作出地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖，
則，那么；
衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積，
那么，占地球表面積的百分比為．
故選：．
28．（2023?甲卷（文））在正方體中，，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是 ．
【答案】，．
【解析】設(shè)球的半徑為，
當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過(guò)正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，
若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒(méi)有交點(diǎn)，
正方體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng)，
即，，故，
分別取側(cè)枝，，，的中點(diǎn)，，，，
則四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，且為正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，
連接，則，
當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑最小，
即的最小值為，
綜上，球的半徑的取值范圍是，．
故答案為：，．
29．（2023?乙卷（文））已知點(diǎn)，，，均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則 ．
【答案】2．
【解析】設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，
則，解得，
設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，，
則，，
，，解得．
故答案為：2．

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