2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)八年級(jí)三角形的證明（北師大版） 單元測(cè)試 基礎(chǔ)卷一 學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 1．（本題3分）通過畫圖，判斷下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（????） A．有兩個(gè)內(nèi)角相等的三角形 B．有一個(gè)角是的直角三角形 C．有一個(gè)角是的直角三角形 D．有一個(gè)角是、一個(gè)角是的三角形 2．（本題3分）到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（????） A．三條中線的交點(diǎn) B．三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn) C．三條高的交點(diǎn) D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) 3．（本題3分）下列命題中是真命題的是（????） A．等邊三角形一條邊上的高線也是該條邊上的中線 B．有一個(gè)角是的三角形是等邊三角形 C．等腰三角形一定是銳角三角形 D．有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等 4．（本題3分）如圖，在中，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)A，交于點(diǎn)B，分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，畫射線，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，且，點(diǎn)E是射線上一點(diǎn)，則的長(zhǎng)度不可能是（????） A．2 B．2.5 C．3 D．5 5．（本題3分）如圖，在 中，于點(diǎn) ，交 于點(diǎn) ，交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，若 ，，則 的度數(shù)為 （???） A． B． C． D． 6．（本題3分）在直角三角形中，兩個(gè)銳角關(guān)系是（?????） A．互余 B．互補(bǔ) C．相等 D．以上都不對(duì) 7．（本題3分）一個(gè)等腰三角形的兩邊之和是180厘米，三角形中一條邊是50厘米，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（　?。├迕祝?A．310 B．230 C．190 D．230或310 8．（本題3分）如圖所示，平分，平分，且，設(shè)，，，則的周長(zhǎng)為（????） ?? A．34 B．32 C．30 D．28 9．（本題3分）如圖，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，若，則的度數(shù)是（????） ?? A． B． C． D． 10．（本題3分）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線．如圖，把其中一把直尺的一邊與射線重合，另一把直尺的一邊與射線重合，且與第一把直尺交于點(diǎn)，小明說：“射線就是的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（?????） ?? A．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上 B．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等 C．三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等 D．以上均不正確 11．（本題3分）如圖，等邊三角形中，是的中點(diǎn)，于交于，則的周長(zhǎng)為 ． 12．（本題3分）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和6，則它的周長(zhǎng)為 ． 13．（本題3分）已知等腰三角形一底角為，則這個(gè)等腰三角形頂角的大小是 度． 14．（本題3分）在中，，則的度數(shù)為 ． 15．（本題3分）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為 ． 16．（本題3分）如圖，在矩形中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線交于點(diǎn)E，若，，則 ． 17．（本題3分）如圖，是的角平分線，于點(diǎn)E，若，，則的面積為 ． 18．（本題3分）如圖，在中，斜邊的中垂線交于點(diǎn)，交的外角平分線于點(diǎn)于點(diǎn)垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有 （填序號(hào)）． 19．（本題8分）一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是． (1)若腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求這個(gè)等腰三角形各邊的長(zhǎng)． (2)若其中一邊的長(zhǎng)為，求這個(gè)等腰三角形其余兩邊的長(zhǎng)． 20．（本題8分）如圖，在中，，是中線，是角平分線，．求和的度數(shù)． 21．（本題10分）如圖，和都是等邊三角形． 求證：． 22．（本題10分）如圖，在中，，直線經(jīng)過頂點(diǎn)，過，兩點(diǎn)分別作的垂線，，，為垂足，且．求證： (1)； (2)． 23．（本題10分）如圖，四邊形中， ，，，，垂足為E． (1)求證：； (2)若，求的度數(shù)． 24．（本題10分）如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，．求證：． 25．（本題10分）如圖，已知中，，，，，是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)從點(diǎn)A開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為秒． ???? (1)出發(fā)1秒時(shí)，求的長(zhǎng)； (2)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過計(jì)算說明能否把的周長(zhǎng)平分； (3)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出能使成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間． 評(píng)卷人得分一、單選題（共30分）評(píng)卷人得分二、填空題（共24分）評(píng)卷人得分三、解答題（共66分）參考答案： 1．B 【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形的定義與判斷，根據(jù)軸對(duì)稱圖形定義：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解決問題的關(guān)鍵． 【詳解】解：A、該圖形是等腰三角形，是軸對(duì)稱圖形，不符合題意； B、該圖形不是軸對(duì)稱圖形，符合題意； C、該圖形是等腰直角三角形，是軸對(duì)稱圖形，不符合題意； D、該圖形是、、的等腰三角形，是軸對(duì)稱圖形，不符合題意； 故選：B． 2．D 【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到相等兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解：到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)， 故選：D． 3．A 【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判定對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷后即可確定答案． 【詳解】解：A、等邊三角形一條邊上的高線也是該條邊上的中線，正確，故A符合題意； B、有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形，故B不符合題意； C、等腰三角形可能的銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，故C不符合題意； D、有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形不一定全等，故D不符合題意． 故選：A． 4．A 【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)角平分線上點(diǎn)到角兩端的距離相等可得，由點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)即可得出即可求解． 【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知：為的平分線，過點(diǎn)作， 為的平分線且，，， ， ，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)， ，即， 的長(zhǎng)度不可能為， 故選：A． 5．D 【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，根據(jù)求出，進(jìn)而即可求解． 【詳解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ 故選：D 6．A 【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)“直角三角形兩銳角互余”即可判斷． 【詳解】解：直角三角形中，兩個(gè)銳角互余． 故選：A． 7．D 【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的兩腰相等，分情況討論：當(dāng)50厘米是底邊，180厘米為兩腰之和，當(dāng)50厘米是底邊，180厘米為腰和底之和，當(dāng)50厘米是腰時(shí)，180厘米為一條腰和底之和，分別求出結(jié)果即可． 【詳解】解：當(dāng)50厘米是底邊，180厘米為兩腰之和，則腰長(zhǎng)為（厘米），因?yàn)?，符合三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是： （厘米）； 當(dāng)50厘米是底邊，180厘米為腰和底之和，則腰長(zhǎng)為（厘米），因?yàn)?，符合三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是： （厘米）； 當(dāng)50厘米是腰時(shí)，180厘米為一條腰和底之和，則底邊長(zhǎng)為（厘米），因?yàn)?，所以這樣的三邊不能構(gòu)成三角形，不符合題意； 綜上分析可知，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是230厘米或310厘米． 故選：D． 8．C 【分析】本題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，難度不大，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．根據(jù)平分，平分，且，可得出，，所以三角形的周長(zhǎng)是． 【詳解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵設(shè)，， ∴的周長(zhǎng)為： ． 故選：C． 9．B 【分析】連接、，由對(duì)稱的性質(zhì)可知，，結(jié)合，可得，進(jìn)而求出的度數(shù)，本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)． 【詳解】解：連接、， ?? 點(diǎn)關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)分別為，， ，，， 又， ， 是等邊三角形， ， ， 故選：． 10．A 【分析】本題主要考查了基本作圖，過兩把直尺的交點(diǎn)作與點(diǎn)，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上可得平分，解題的關(guān)鍵是掌握角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上這一判定定理． 【詳解】如圖所示：過兩把直尺的交點(diǎn)作與點(diǎn)， ?? 由題意得， ∵兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺， ∴， ∴平分（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）， 故選：． 11． 【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，求出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)而得出答案． 【詳解】解：， ， ， ， 是中點(diǎn)， ， 等邊三角形， 周長(zhǎng)， 故答案為：． 12． 【分析】本題考查等腰三級(jí)形的定義，構(gòu)成三角形的條件．分3為腰長(zhǎng)和6為腰長(zhǎng)，進(jìn)行討論求解即可． 【詳解】解：當(dāng)3為腰長(zhǎng)時(shí)：，不能構(gòu)成三角形； ∴6為腰長(zhǎng)， ∴它的周長(zhǎng)為； 故答案為：15． 13．120 【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，三角形的內(nèi)角和為，可以求出其底角或頂角的度數(shù)． 【詳解】解：等腰三角形頂角的大小是， 故答案為：120． 14．/34度 【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出答案，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解：， 故答案為： 15．12 【分析】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，等腰三角形的定義，分當(dāng)腰長(zhǎng)為2時(shí)，當(dāng)腰長(zhǎng)為5時(shí)，兩種情況根據(jù)構(gòu)成三角形的條件進(jìn)行討論求解即可． 【詳解】解：當(dāng)腰長(zhǎng)為2時(shí)，則該等腰三角形三邊長(zhǎng)為2，2，5， ∵， ∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，不符合題意； 當(dāng)腰長(zhǎng)為5時(shí)，則該等腰三角形三邊長(zhǎng)為2，5，5， ∵， ∴此時(shí)能構(gòu)成三角形，符合題意， ∴這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為， 故答案為：12． 16． 【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理解三角形，連接，利用基本作圖得到垂直平分，所以，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理求出x即可． 【詳解】解：連接，如圖： 由作圖得到垂直平分， ∴， ∵四邊形為矩形， ∴，， 設(shè)，則，， 在中， ， 即， 解得：， 即的長(zhǎng)為， 故答案為：． 17．1 【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵． 過點(diǎn)作于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)可知，再由三角形面積公式即可得出結(jié)論． 【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)， ∵是的角平分線，于點(diǎn)E，， ∴， ∵， ∴ 故答案為：1． 18． 【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．利用“” 證明；證明，進(jìn)而不能證明；利用“”字模型可證；連接，可證，則得． 【詳解】解：平分，，， ，， 垂直平分， ， 在和中 ， 故正確； 由可知，， ， 又， ， ， 故正確； 平分， ， 由可知，， ， ， 中的度數(shù)沒有給出，由圖可知， ， 不能判斷， 故錯(cuò)誤； 連接， 垂直平分， ， 在中，， ， ，， ， ， 故錯(cuò)誤． 故答案為：． 19．(1) (2)與，或與 【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，等腰三角形的定義等知識(shí)，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵． （1）設(shè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，則腰長(zhǎng)為，根據(jù)“周長(zhǎng)是”列方程求解即可； （2）根據(jù)等腰三角形的定義，分腰為與底為兩種情況分別求出其他兩邊即可； 【詳解】（1）解：設(shè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，則腰長(zhǎng)為， 由題意得：， 解得： ∴，這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)分別為，， 即各邊長(zhǎng)分別是； （2）當(dāng)腰為時(shí)，底邊長(zhǎng)為： ， ∴其余兩邊分別為，此時(shí)能構(gòu)成三角形； 當(dāng)?shù)诪闀r(shí)，腰長(zhǎng)為：， ∴其余兩邊分別為，此時(shí)能構(gòu)成三角形； 綜上所述：其余兩邊分別為與，或與． 20．， 【分析】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的三線合一解答．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而解答即可． 【詳解】，， ， ，是中線， ，即． ． ，是的平分線， ． 是的外角， ． 21．見解析 【分析】本題主要考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定．解答的關(guān)鍵是運(yùn)用證明． 【詳解】證明：∵都是等邊三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22．(1)見解析 (2)見解析 【分析】本題考查了全等三角形的常見模型：垂線模型，熟悉模型的構(gòu)成及相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵． （1）證即可求證； （2）由（1）可得，據(jù)此即可求證． 【詳解】（1）證明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. （2）解：， . 又，， . 23．(1)見解析 (2) 【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． （1）根據(jù)，得到，利用證明全等即可； （2）根據(jù)，得到，結(jié)合，計(jì)算，利用直角三角形兩個(gè)銳角互余，計(jì)算，計(jì)算即可． 【詳解】（1）證明：， ． ，， ， ； （2）解：， ， ， ， 又， ， ． 24．見解析 【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，用證明即可得到． 【詳解】證明：， ， 在和中 ， ． ． 25．(1)的長(zhǎng)為 (2)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)不能把的周長(zhǎng)平分； (3)當(dāng)t的值為秒或3秒或秒時(shí)，為等腰三角形 【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出，再求出和，根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)； （2）由勾股定理求出，由題意得出方程，解方程求出t，即可得出結(jié)論； （3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況： ①當(dāng)時(shí)（圖1），則，可證明，則，則，從而求得t； ②當(dāng)時(shí)（圖2），則，易求得t； ③當(dāng)時(shí)（圖3），過B點(diǎn)作于點(diǎn)E，則求出，，即可得出t． 【詳解】（1）解：， ， ∵， ∴； （2）解：由勾股定理得：， 根據(jù)題意得：，，， 若能把的周長(zhǎng)平分，則， 即， 解得：， 此時(shí)， ∴不合題意， ∴點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能把的周長(zhǎng)平分； （3）解：①當(dāng)時(shí)，如圖1所示 ?? 則， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； ②當(dāng)時(shí)，如圖2所示： ?? 則， ∴（秒）； ③當(dāng)時(shí)，如圖3所示： ?? 過B點(diǎn)作于點(diǎn)E， 則， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 由上可知，當(dāng)t的值為秒或3秒或秒時(shí)，為等腰三角形． 【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、三角形的面積以及等腰三角形的判定和性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用，注意方程思想、分類討論思想的應(yīng)用．

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