定角定高問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，也是升入名?？疾榈臒狳c(diǎn)。
此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，常常會(huì)與三角形，四邊形進(jìn)行結(jié)合起來(lái)，隱蔽性強(qiáng)。常應(yīng)用于求一類三角形底邊長(zhǎng)的最小值，繼而求三角形面積的最小值，問(wèn)題的關(guān)鍵就在作這個(gè)動(dòng)三角形的外接圓，根據(jù)“半徑+弦心距≥定高”求出半徑的最小值，那底邊存在最小值，面積存在最小值。由于底邊的長(zhǎng)在變化，此外接圓“隱形圓”的大小也會(huì)發(fā)生變化，但是在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中于找到“隱形圓”半徑最小值，找到此處為突破口，建立數(shù)學(xué)模型，綜合性問(wèn)題就迎刃而解.
【方法技巧】
1.定角定高模型呈現(xiàn)：有一類問(wèn)題滿足這樣的條件特征：如下圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角。則AD有最小值。又因?yàn)?，像探照燈一樣所以也叫探照燈模型?br>【典例分析】
【典例1】輔助圓之定角定高求解探究
（1）如圖①，已知線段AB，以AB為斜邊，在圖中畫(huà)出一個(gè)直角三角形；
（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD為AB邊上的高，若CD＝4，試判斷AB是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出AB最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，點(diǎn)E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出面積的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1-1】如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為 ．
【變式1-2】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC邊上的高AD＝6，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為 ．
【變式1-3】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，則△AEF面積的最小值為 ．
【變式1-4】（2019?新城區(qū)校級(jí)一模）問(wèn)題提出：
如圖1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，點(diǎn)O為△ABC的外心，則△ABC的外接圓半徑是 ．
問(wèn)題探究：
如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD兩邊上點(diǎn)且∠EAF＝45°，請(qǐng)問(wèn)線段BE、DF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
問(wèn)題解決：
如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，點(diǎn)E、F分別是射線CB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，并且∠EAF＝∠C＝60°，試問(wèn)△AEF的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
專題05 定角定高（知識(shí)解讀）
【專題說(shuō)明】
定角定高問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，也是升入名?？疾榈臒狳c(diǎn)。
此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，常常會(huì)與三角形，四邊形進(jìn)行結(jié)合起來(lái)，隱蔽性強(qiáng)。常應(yīng)用于求一類三角形底邊長(zhǎng)的最小值，繼而求三角形面積的最小值，問(wèn)題的關(guān)鍵就在作這個(gè)動(dòng)三角形的外接圓，根據(jù)“半徑+弦心距≥定高”求出半徑的最小值，那底邊存在最小值，面積存在最小值。由于底邊的長(zhǎng)在變化，此外接圓“隱形圓”的大小也會(huì)發(fā)生變化，但是在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中于找到“隱形圓”半徑最小值，找到此處為突破口，建立數(shù)學(xué)模型，綜合性問(wèn)題就迎刃而解.
【方法技巧】
1.定角定高模型呈現(xiàn)：有一類問(wèn)題滿足這樣的條件特征：如下圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角。則AD有最小值。又因?yàn)?，像探照燈一樣所以也叫探照燈模型?br>【典例分析】
【典例1】輔助圓之定角定高求解探究
（1）如圖①，已知線段AB，以AB為斜邊，在圖中畫(huà)出一個(gè)直角三角形；
（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD為AB邊上的高，若CD＝4，試判斷AB是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出AB最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，點(diǎn)E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出面積的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）如圖①中，△ABC即為所求．
（2）如圖②中，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．設(shè)OA＝OC＝2x．
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，OA＝OB，OE⊥AB，
∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°，
∴OE＝OA＝x，AE＝x，
∵OC+OE≥CD，
∴3x≥4，
∴x≥，
∴x的最小值為，
∵AB＝2x，
∴AB的最小值為．
（3）如圖③中，連接AC，延長(zhǎng)BC交AD的延長(zhǎng)線于G，將△CDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CBH，作△CEH的外接圓⊙O．
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝AC，CD＝CB，
∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），
∴S△ACD＝S△ACB，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DCB＝135°，
∴∠DCG＝45°，
∵∠CDG＝90°，
∴CD＝DG＝6，
∴CG＝CD＝12，
∴AB＝GB＝12+6，
由（2）可知，當(dāng)△CEH的外接圓的圓心O在線段BC上時(shí)，△ECH的面積最小，此時(shí)四邊形AFCE的面積最大，
設(shè)OC＝OE＝r，易知OB＝EB＝r，
∴r+r＝6，
∴r＝6（2﹣），
∴EH＝r＝12（2﹣），
∴四邊形AFCE的面積的最大值＝2××（12+6）×6﹣×12（2﹣）×6＝144．
【變式1-1】如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為 ．
【答案】
【解答】解：作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，
∴BC＝r，
∵OA+OE≥AD，
∴r+r≥4，
解得：r≥，
∴BC≥，
∴，
∴△ABC的面積的最小值為，
故答案為：．
【變式1-2】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC邊上的高AD＝6，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為 ．
【答案】12+12
【解答】解：如圖，延長(zhǎng)CB到E，使得BE＝BA，延長(zhǎng)BC到F，使得CD＝CA，連接AE，AF，作△AEF的外接圓⊙O，連接OE，OF，過(guò)點(diǎn)O作OJ⊥EF于點(diǎn)J，交⊙O于點(diǎn)T．
∵BA＝BE，CA＝CF，
∴∠BAE＝∠BEA，∠CAF＝∠CAF，
∵∠ABC＝∠BAE+∠BEA，∠ACB＝∠CAF+∠CFA，
∴∠AEF+∠AFE＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，
∴∠EAF＝135°，
∴∠EOF＝90°，
∵OJ⊥EF，
∴EJ＝JF，
∴OJ＝EF，
設(shè)OE＝OF＝r，則EF＝r，OJ＝r，
∵AB+BC+AC＝EB+BC+CF＝EF，
∴EF最小時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)最小，
∵AD⊥BC，
∴AD+OJ≤OT，
∴6+r≤r，
∴r≥12+6，
∴EF≥12+12，
∴AB+BC+AC≥12+12，
∴△ABC的周長(zhǎng)的最小值為12+12，
故答案為：12+12．
【變式1-3】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，則△AEF面積的最小值為 ．
【答案】36﹣36
【解答】解：如圖，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AH＝AE，∠BAH＝∠DAE，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝∠BAH+∠BAF＝45°，
∴∠FAH＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AHF中，
，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴FH＝EF，
∴S△AEF＝S△AFH，
設(shè)DE＝x，BF＝y(tǒng)，則BH＝DE＝x，EF＝BF+BH＝x+y，CE＝6﹣x，CF＝6﹣y，
在Rt△EFC中，EC2+CF2＝EF2，
∴（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，
化簡(jiǎn)得：y＝＝﹣6+，
∴S△AEF＝S△AFH＝FH?AB＝×6（x+y）＝3[x+（﹣6+）]＝3[（x+6）+﹣12]＝3[（﹣）2+12﹣12]，
∴當(dāng)＝時(shí)，x＝6﹣6，S△AEF的最小值為36﹣36．
故答案為：36﹣36．
【變式1-4】（2019?新城區(qū)校級(jí)一模）問(wèn)題提出：
如圖1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，點(diǎn)O為△ABC的外心，則△ABC的外接圓半徑是 ．
問(wèn)題探究：
如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD兩邊上點(diǎn)且∠EAF＝45°，請(qǐng)問(wèn)線段BE、DF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
問(wèn)題解決：
如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，點(diǎn)E、F分別是射線CB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，并且∠EAF＝∠C＝60°，試問(wèn)△AEF的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）如圖1，作出△ABC的外接圓⊙O，
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BC＝10，
∴OB＝sin45°×BC＝，
故答案為：5．
（2）EF＝BE+DF，理由如下：
如圖2，延長(zhǎng)EB，使BG＝DF，連接AG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠GAE＝45°，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝GE＝DF+BE，
（3）存在最小值，如圖3，延長(zhǎng)CB，使BG＝DF，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABG＝135°，
∴∠ABG＝∠ADF，
又∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，
∵∠ABC＝45°，∠D＝135°，∠C＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝60°，
∴∠GAE＝60°，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
在△AEF中，∵∠EAF＝60°，AH＝4，
∴EF邊上的高AK＝4，
畫(huà)△AEF的外接圓⊙O，作OM⊥EF于M，
∵∠EAF＝60°，
∴∠EOM＝60°，
設(shè)OM＝x，EM＝，OE＝2x，EF＝2，
∵OM+OA≥AK，
∴x+2x≥4，
∴x≥，
∴EF的最小值為2×，
∴S△AEF的最小值為．

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