共頂點(diǎn)模型，即四邊形或構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。主要：含90°的對(duì)角互補(bǔ)，含120°的對(duì)角互補(bǔ)，兩種類型，種類不同，得出的個(gè)別結(jié)論會(huì)有所區(qū)別。解決此類題型常用到的輔助線畫(huà)法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)法和過(guò)頂點(diǎn)作兩垂線.
【方法技巧】
類型一：含90°的對(duì)角互補(bǔ)模型
（1）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，則有以下結(jié)論：
作法1 作法2
；
；
（2）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當(dāng)∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D時(shí)，則有以下結(jié)論：

作法1 作法2
；
；
類型二：含120°的對(duì)角互補(bǔ)模型
（1）如圖，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，則有以下結(jié)論：
作法1 作法2
；
；
（2）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當(dāng)∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D時(shí)，則有以下結(jié)論：
作法1 作法2
；
；
【典例分析】
【類型一：含90°的對(duì)角互補(bǔ)模型】
【典例1】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是 ；（不需要證明）
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【變式1-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接EF交AP于點(diǎn)G，以下五個(gè)結(jié)論：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互補(bǔ)；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四邊形AEPF的面積是△ABC面積的，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③B．①②④⑤C．①③④⑤D．①③④
【變式1-2】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF＝50°．探究圖中線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．
小明同學(xué)探究的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是 （直接寫(xiě)結(jié)論，不需證明）；
（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且2∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為7的正方形，∠EBF＝45°，直接寫(xiě)出△DEF的周長(zhǎng)．
【變式1-3】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系： ；
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；
（3）在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD所在直線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系： ．
【變式1-4】問(wèn)題探究：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．
①BE、CF與EF之間的關(guān)系為：BE+CF EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）
②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明．
問(wèn)題解決：如圖2，在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D為頂點(diǎn)作∠EDF＝65°，∠EDF的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【類型二：含120°的對(duì)角互補(bǔ)模型】
【典例2】問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 ；
探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；
實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以70海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以90海里/小時(shí)的速度，前進(jìn)2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．
【變式2-1】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連結(jié)MN，則△AMN的周長(zhǎng)是 ．
【變式2-2】【問(wèn)題背景】
如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，試探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．
小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 ．
【探索延伸】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．
【學(xué)以致用】
如圖3，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5的正方形，∠EBF＝45°，直接寫(xiě)出△DEF的周長(zhǎng)．
專題05 對(duì)角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用（知識(shí)解讀）
【專題說(shuō)明】
共頂點(diǎn)模型，即四邊形或構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。主要：含90°的對(duì)角互補(bǔ)，含120°的對(duì)角互補(bǔ)，兩種類型，種類不同，得出的個(gè)別結(jié)論會(huì)有所區(qū)別。解決此類題型常用到的輔助線畫(huà)法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)法和過(guò)頂點(diǎn)作兩垂線.
【方法技巧】
類型一：含90°的對(duì)角互補(bǔ)模型
（1）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，則有以下結(jié)論：
作法1 作法2
；
；
（2）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當(dāng)∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D時(shí)，則有以下結(jié)論：

作法1 作法2
；
；
類型二：含120°的對(duì)角互補(bǔ)模型
（1）如圖，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，則有以下結(jié)論：
作法1 作法2
；
；
（2）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當(dāng)∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D時(shí)，則有以下結(jié)論：
作法1 作法2
；
；
【典例分析】
【類型一：含90°的對(duì)角互補(bǔ)模型】
【典例1】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是 ；（不需要證明）
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【解答】解：（1）EF＝BE+FD，
理由如下：如圖1，延長(zhǎng)CB至G，使BG＝DF，連接AG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝BG+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD，
故答案為：EF＝BE+FD；
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，
理由如下：如圖2，延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，連接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠3+∠4＝∠EAF，
∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
（3）（1）中的結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，
理由如下：如圖3，在EB上截取BH＝DF，連接AH，
同（2）中證法可得，△ABH≌△ADF，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAE＝∠FAE，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EH，
∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【變式1-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接EF交AP于點(diǎn)G，以下五個(gè)結(jié)論：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互補(bǔ)；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四邊形AEPF的面積是△ABC面積的，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③B．①②④⑤C．①③④⑤D．①③④
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
故①正確；
∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AP＝CP，∠APC＝90°，∠BAP＝∠C＝45°，
∵∠EPF＝∠APC，
∴∠APE＝∠FPC，
在△AEP和△CFP中，
，
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴PE＝PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴四邊形AEPF的面積為S△AEP+S△AFP＝S△CPF+S△APF＝S△APC＝S△ABC，
故④正確，⑤不正確；
∵∠BAC＝∠EPF＝90°，
∴∠AFP和∠AEP互補(bǔ)，
故③正確；
∵PE不是定長(zhǎng)，故②不正確．
∴正確的有：①③④，
故選：D．
【變式1-2】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF＝50°．探究圖中線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．
小明同學(xué)探究的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是 EF＝BE+DF （直接寫(xiě)結(jié)論，不需證明）；
（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且2∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為7的正方形，∠EBF＝45°，直接寫(xiě)出△DEF的周長(zhǎng)．
【解答】證明：（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，
∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°，
∴∠EAF＝∠FAG＝50°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝BE+DF，
故答案為：EF＝BE+DF；
（2）結(jié)論仍然成立，
理由如下：如圖2，延長(zhǎng)EB到G，使BG＝DF，連接AG．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∵在△ABG與△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵2∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF，
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD；
（3）如圖，延長(zhǎng)EA到H，使AH＝CF，連接BH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝7＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAH＝∠BCF＝90°，
又∵AH＝CF，AB＝BC，
∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，
∵∠EBF＝45°，
∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，
∴∠EBH＝∠EBF，
又∵BH＝BF，BE＝BE，
∴△EBH≌△EBF（SAS），
∴EF＝EH，
∴EF＝EH＝AE+CF，
∴△DEF的周長(zhǎng)＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝14．
【變式1-3】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系： ；
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；
（3）在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD所在直線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系： ．
【解答】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)EB到G，使BG＝DF，連接AG．
∵在△ABG與△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠GAE＝∠EAF．
又AE＝AE，
易證△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（2）（1）中的結(jié)論EF＝BE+FD仍然成立．
理由是：如圖2，延長(zhǎng)EB到G，使BG＝DF，連接AG．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∵在△ABG與△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠GAE＝∠EAF．
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（3）當(dāng)（1）結(jié)論EF＝BE+FD成立，
當(dāng)圖三中，EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．
證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG與△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
同理可得：∴EG＝EF
∵EG＝BG﹣BE
∴EF＝FD﹣BE．
故答案為：（1）EF＝BE+FD；（2）成立；（3）EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．
\
【變式1-4】問(wèn)題探究：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．
①BE、CF與EF之間的關(guān)系為：BE+CF EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）
②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明．
問(wèn)題解決：如圖2，在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D為頂點(diǎn)作∠EDF＝65°，∠EDF的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【解答】解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)ED到H，使得DH＝DE，連接CH，F(xiàn)H．
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵DE＝DH，F(xiàn)D⊥EH，
∴FE＝FH，
在△FCH中，∵CH+CF＞FH，
∴BE+CF＞EF．
故答案為＞．
（2）結(jié)論：EF2＝BE2+CF2．
理由：如圖2中，延長(zhǎng)ED到H，使得DH＝DE，連接CH，F(xiàn)H．
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，∠B＝∠DCH，
∵DE＝DH，F(xiàn)D⊥EH，
∴FE＝FH，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCH＝90°，
∴∠FCH＝90°，
∴FH2＝CH2+CF2，
∴EF2＝BE2+CF2．
（3）如圖3中，結(jié)論：EF＝BE+CF．
理由：∵DB＝DC，∠B+∠ACD＝180°，
∴可以將△DBE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DCH，A，C，H共線．
∵∠BDC＝130°，∠EDF＝65°，
∴∠CDH+∠CDF＝∠BDE+∠CDF＝65°，
∴∠FDE＝∠FDH，
∵DF＝DF，DE＝DH，
∴△FDE≌△FDH（SAS），
∴EF＝FH，
∵FH＝CF+CH＝CF+BE，
∴EF＝BE+CF．
【類型二：含120°的對(duì)角互補(bǔ)模型】
【典例2】問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 ；
探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；
實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以70海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以90海里/小時(shí)的速度，前進(jìn)2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．
【解答】解：?jiǎn)栴}背景：由題意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，
∴BE＝DG，EF＝GF，
∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD．
故答案為：EF＝BE+FD．
探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立．
理由：如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF，
＝∠BAD﹣∠BAD＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD．
實(shí)際應(yīng)用：如圖3，連接EF，延長(zhǎng)AE，BF相交于點(diǎn)C，
在四邊形AOBC中，
∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的條件，
∴結(jié)論EF＝AE+FB成立．
即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里）
答：此時(shí)兩艦艇之間的距離為320海里．
【變式2-1】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連結(jié)MN，則△AMN的周長(zhǎng)是 ．
【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，
∴∠BCD＝∠DBC＝30°，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，
∴∠DBA＝∠DCA＝90°，
延長(zhǎng)AB至F，使BF＝CN，連接DF，
在△BDF和△CND中，
，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，
∵∠MDN＝60°，
∴∠BDM+∠CDN＝60°，
∴∠BDM+∠BDF＝60°，
在△DMN和△DMF中，
，
∴△DMN≌△DMF（SAS），
∴MN＝MF，
∴△AMN的周長(zhǎng)是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6+6＝12．
故答案為：12．
【變式2-2】【問(wèn)題背景】
如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，試探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．
小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 ．
【探索延伸】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．
【學(xué)以致用】
如圖3，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5的正方形，∠EBF＝45°，直接寫(xiě)出△DEF的周長(zhǎng)．
【解答】（1）解：如圖1，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案為：EF＝BE+DF．
（2）解：結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；
理由：如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（3）解：如圖3，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)G，截取CG＝AE，連接BG，
在△AEB與△CGB中，
∵，
∴△AEB≌△CGB（SAS），
∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG．
∵∠EBF＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
∴∠CBF+∠CBG＝45°．
在△EBF與△GBF中，
∵，
∴△EBF≌△GBF（SAS），
∴EF＝GF，
∴△DEF的周長(zhǎng)＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10．

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