圖形面積的最大值26.2.2 二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象與性質(zhì)第 5 課時(shí)向上向下導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入當(dāng)x位于對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，y隨x的增大而減小；x位于對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，y隨x的增大而增大.當(dāng)x位于對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，y隨x的增大而減??；x位于對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，y隨x的增大而增大.做一做寫出下列拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).（1）y = x2 - 4x - 5; (2) y = -x2 - 3x + 4. 解：(1) 開(kāi)口方向：向上；對(duì)稱軸：x = 2； 頂點(diǎn)坐標(biāo)：(2，-9).合作探究最小值最大值求二次函數(shù)的最大（或最?。┲堤骄繗w納問(wèn)題2 當(dāng)自變量 x 為全體實(shí)數(shù)時(shí)，二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的最值是多少？問(wèn)題3 當(dāng)自變量 x 限定范圍時(shí)，二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的最值如何確定？先判斷 是否在限定范圍內(nèi)，若在，則二次函數(shù)在 x = 時(shí)取得一個(gè)最值，另一個(gè)最值需考察限定范圍的端點(diǎn)處來(lái)決定；若不在，則根據(jù)二次函數(shù)的增減性確定其最值.例1 求下列函數(shù)的最大值與最小值：解：典例精析解：∴ 當(dāng) -3≤x≤1 時(shí) y 隨著 x 的增大而減小.方法歸納1. 配方，求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸；2. 畫出函數(shù)圖象，標(biāo)明對(duì)稱軸，并在橫坐標(biāo)上標(biāo)明 x 的取值范圍；3. 判斷，判斷 x 的取值范圍與對(duì)稱軸的位置關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象，確定當(dāng) x 取何值時(shí)函數(shù)有最大或最小值，然后根據(jù) x 的值，求出函數(shù)的最值.典例精析例2 用總長(zhǎng)為 60 m 的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，矩形面積 S (m2) 隨矩形一邊長(zhǎng) l (m) 的變化而變化. 當(dāng) l 是多少米時(shí)，場(chǎng)地的面積 S 最大？問(wèn)題1 矩形面積公式是什么？問(wèn)題2 如何用 l 表示另一邊？問(wèn)題3 面積 S 的函數(shù)關(guān)系式是什么？矩形面積 = 長(zhǎng)×寬另一邊長(zhǎng)為 (30 ? l ) mS = (30?l)l = ?l 2+30l幾何圖形的最大面積問(wèn)題4 當(dāng) l 是多少米時(shí)，場(chǎng)地的面積 S 最大？解：根據(jù)題意得S = l (30 - l)= -l2 + 30l (0＜l＜30)，也就是說(shuō)，當(dāng) l 是 15 m 時(shí)，場(chǎng)地的面積 S 最大.變式1 如圖，用一段長(zhǎng)為 60 m 的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng) 32 m，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？x問(wèn)題2 我們可以設(shè)面積為 S，如何設(shè)自變量？問(wèn)題1 變式 1 與例 2 有什么不同？設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為 x 米籬笆長(zhǎng)不等于周長(zhǎng) (少了一邊)問(wèn)題4 如何求自變量 x 的取值范圍？墻長(zhǎng) 32 m 對(duì)此題有什么作用？問(wèn)題5 如何求面積 S 的最大值？即當(dāng) x = 15 m 時(shí)，有 S最大值 = 450 m2.0＜60－2x≤32，即 14≤x＜30.xx60 - 2x問(wèn)題3 面積 S 的函數(shù)關(guān)系式是什么？S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450.最大值在其圖象頂點(diǎn)處變式2 如圖，用一段長(zhǎng)為 60 m 的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng) 18 m，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？問(wèn)題1 變式 2 與變式 1 有什么異同？問(wèn)題2 可否模仿變式 1 設(shè)未知數(shù)、列函數(shù)關(guān)系式？x問(wèn)題3 可否試設(shè)與墻平行的一邊長(zhǎng)為 x 米？則如何表示另一邊長(zhǎng)與面積？答案：設(shè)矩形面積為 S m2，與墻平行的一邊為 x 米，則問(wèn)題4 當(dāng) x = 30 時(shí) S 取最大值嗎？為什么？問(wèn)題5 如何求自變量的取值范圍？0 ＜ x ≤18.問(wèn)題6 如何求面積最大值？由于 30 ＞18，因此只能利用函數(shù)的增減性求其最值.當(dāng) x = 18 m 時(shí)，S 有最大值是 378 m2.不是，未考慮 x 的實(shí)際范圍.例3 用長(zhǎng)為 6 米的鋁合金材料做一個(gè)形狀如圖所示的矩形窗框. 窗框的高與寬各為多少時(shí)，它的透光面積最大？最大透光面積是多少？（鋁合金型材寬度不計(jì)）矩形窗框的透光面積 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式是所以，當(dāng) x = 1 時(shí)，函數(shù)取得最大值，y最大值 = 1.5.因此，所做矩形窗框的寬為 1 m、高為 1.5 m 時(shí)，它的透光面積最大，最大面積是 1.5 m2. 實(shí)際問(wèn)題中求解二次函數(shù)最值問(wèn)題，不一定都取圖象頂點(diǎn)處，要根據(jù)自變量的取值范圍確定. 通過(guò)變式 1 與變式 2 的對(duì)比，希望同學(xué)們能夠理解函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)與最值的關(guān)系，以及何時(shí)取頂點(diǎn)處、何時(shí)取端點(diǎn)處才有符合實(shí)際意義的最值.方法總結(jié)知識(shí)要點(diǎn)二次函數(shù)解決幾何面積最值問(wèn)題的方法1. 求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；2. 當(dāng)自變量的取值范圍沒(méi)有限制時(shí)，可直接利用公式 求它的最大值或最小值；3. 當(dāng)自變量的取值范圍有所限制時(shí)，可先配成頂點(diǎn)式， 然后畫出函數(shù)圖象的草圖，再結(jié)合圖象和自變量的 范圍求函數(shù)最值. 1. 如圖1，用長(zhǎng) 8 m 的鋁合金條制成如圖的矩形窗框，那么最大的透光面積是 m2.當(dāng)堂練習(xí)2.如圖1，在△ABC 中， ∠B = 90°，AB = 12 cm，BC = 24 cm，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開(kāi)始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移動(dòng)(不與點(diǎn) B 重合)，動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 開(kāi)始沿 BC 以 4 cm/s 的速度移動(dòng)(不與點(diǎn) C 重合). 如果 P、Q 分別從 A、B 同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過(guò) s，四邊形 APQC 的面積最小.33. 某廣告公司設(shè)計(jì)一幅周長(zhǎng)為 12 m 的矩形廣告牌，廣告設(shè)計(jì)費(fèi)用每平方米 1000 元，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x(m),面積為 S (m2). (1) 寫出 S 與 x 之間的關(guān)系式，并寫出自變量 x 的取值范圍； 解：(1) 因?yàn)榫匦我贿呴L(zhǎng)為 x，則另一邊長(zhǎng)為(6 - x)，∴ S = x(6 - x) = -x2 + 6x，其中 0＜x＜6.解：S = -x2 + 6x = -(x - 3)2 + 9.∴ 當(dāng) x = 3，即矩形的一邊長(zhǎng)為 3 m 時(shí)，矩形的面積最大，為 9 m2.這時(shí)設(shè)計(jì)費(fèi)最多，為 9×1000 = 9000 (元).(2) 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)最多，并求出這個(gè)費(fèi)用.圖形面積的最大值一個(gè)關(guān)鍵一個(gè)注意建立函數(shù)關(guān)系式常見(jiàn)幾何圖形的面積公式依 據(jù)最值有時(shí)不在頂點(diǎn)處，要根據(jù)自變量的范圍，利用函數(shù)的增減性來(lái)確定課堂小結(jié)

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