線段是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？什么叫線段的垂直平分線？
知識(shí)點(diǎn) 1 線段的垂直平分線的性質(zhì)
如圖 2－17，直線 l 是線段AB 的垂直平分線，l 交 AB 于點(diǎn) O. 把 OA 沿直線 l 翻折，因?yàn)椤?＝∠2＝90°，OA＝OB，所以 OA與OB重合.
線段是軸對(duì)稱(chēng)圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱(chēng)軸.
如圖2－18，線段 AB 的垂直平分線 l 交 AB 于點(diǎn)O，點(diǎn)P在上 PA 與 PB 相等嗎?
我們可以運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)的方法，利用線段的軸對(duì)稱(chēng)性，證明 PA＝PB .
把△PAO沿直線 l 翻折(如圖)，因?yàn)?∠POA＝ ∠POB，所以O(shè)A 落在射線OB 上，因?yàn)?OA ＝OB，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B 重合.依據(jù)基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”，可知 PA 與PB 重合，所以PA＝PB.
于是，我們得到如下定理：
線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.
如圖， ∵點(diǎn)A 在線段BC 的垂直平分線上， ∴ AB＝AC.
線段有兩條對(duì)稱(chēng)軸，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱(chēng)軸，線段自身所在的直線也是它的對(duì)稱(chēng)軸.
1. 線段的垂直平分線的性質(zhì)中的“距離”是“該點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離”. 2. 用線段的垂直平分線的性質(zhì)可直接證明線段相等，不必再用三角形全等來(lái)證明，因此它為證明線段相等提供了新方法.
線段的垂直平分線外的點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等嗎?為什么?
如圖 2－20，點(diǎn)P在線段AB 的垂直平分線 l 外，PA交 l 于點(diǎn)Q，連接 QB. 因?yàn)辄c(diǎn)Q在AB的垂直平分線上，所以 QA＝QB，于是 PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB ＞ PB.
如圖，在△ABC 中，AB 的垂直平分線分別交 AB、BC 于點(diǎn)D、E，連接AE. 若 AE＝4，EC＝2，則BC 的長(zhǎng)是(　　) A. 2　　　　B. 4　　　　 C. 6　　　　D. 8
方法點(diǎn)撥 利用線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行線段間的轉(zhuǎn)化，是一種常用的解題方法. 本題中解題的關(guān)鍵是利用線段垂直平分線的性質(zhì)將BC 的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為線段 AE＋EC 的長(zhǎng)，即可求解.
解：∵直線DE 是AB 的垂直平分線， ∴ BE＝AE. ∴ BC＝BE＋EC ＝AE＋EC ＝4＋2 ＝6.
1. 利用網(wǎng)格畫(huà)線段 PQ 的垂直平分線 ：
2. 如圖，要在公路旁設(shè)一個(gè)公共汽車(chē)站，車(chē)站應(yīng)設(shè)在什 么地方，才能使 A、B 兩村到車(chē)站的距離相等?
解：如圖所示，連接 AB，作線段 AB 的垂直平分線l，直線l交公路于點(diǎn) C，則點(diǎn)C就是汽車(chē)站的位置，此時(shí) A，B 兩村到車(chē)站的距離相等.
知識(shí)點(diǎn) 2 線段的垂直平分線的判定
如果一個(gè)點(diǎn)在一條線段的垂直平分線上，那么這個(gè)點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等.反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)點(diǎn)到一條線段兩端的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上嗎?
若點(diǎn)Q在線段 AB 上，且 QA ＝QB，則Q是線段 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上(如圖 2－21(1)).
若點(diǎn)Q在線段 AB 外，且 QA＝QB，則作 QM⊥AB，垂足為 M (如圖 2－21(2)). 由∠QMA＝∠QMB＝90°，QA＝QB，QM＝QM，可證 Rt△QAM ≌ Rt△QBM (HL). 由此可知AM＝BM，即點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上.
到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.
線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合.
如圖，∵ AB＝AC，∴點(diǎn)A 在線段BC 的垂直平分線上.
按下列作法，用直尺和圓規(guī)作線段 AB 的垂直平分線：
在△ABC 中，用直尺和圓規(guī)分別作AB、AC的垂直平分線l1、l2，l1、l2 相交于點(diǎn) O，再作 BC 的垂直平分線， 你有什么發(fā)現(xiàn)?
BC 的垂直平分線過(guò)點(diǎn)O.
證明一個(gè)點(diǎn)在一條線段的垂直平分線上，還可以利用線段垂直平分線的定義進(jìn)行推理，思路有兩種： 一是作垂直，證平分； 二是取中點(diǎn)，證垂直.
例1 已知：如圖2－22，在三△ABC中，AB、AC 的垂直 平分線 l1、l2 相交于點(diǎn) O. 求證：點(diǎn) O 在 BC 的垂直平分線上.
證明：連接 OA、OB、OC.∵點(diǎn)O在AB 的垂直平分線l1 上，∴ OA＝OB (線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等).
同理 OA＝OC.∴OB＝OC.∴點(diǎn) O 在 BC 的垂直平分線上 (到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上).
如圖，AD 為∠BAC 的平分線，交BC 于點(diǎn)D，AE＝AF. 請(qǐng)判斷線段AD 所在的直線是否為線段EF 的垂直平分線，若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
教你一招 判斷線段垂直平分線的兩種方法： 一是定義法，二是判定定理. 一般習(xí)慣用定義法進(jìn)行判斷，而利用判定定理判斷更簡(jiǎn)單. 用判定定理判定一條直線是線段的垂直平分線時(shí)，一定要證明直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
解：線段AD 所在的直線是線段EF 的垂直平分線.證明如下：連接DE、DF.∵ AD 為∠BAC 的平分線，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED 和△ AFD 中， AE＝AF， ∠EAD＝∠FAD， AD＝AD，
∴△ AED ≌△ AFD.∴ DE＝DF.∴點(diǎn)D 在線段EF 的垂直平分線上.∵ AE＝AF，∴點(diǎn)A 在線段EF 的垂直平分線上.∴線段AD 所在的直線是線段EF 的垂直平分線.
切忌只證明一個(gè)點(diǎn)在直線上，就說(shuō)過(guò)該點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線.
1. 利用網(wǎng)格在圖中找一點(diǎn) O，使OA＝OB＝OC.
2. 直線l 外有點(diǎn) A、B，若要在 l 上找一點(diǎn)，使這點(diǎn)與點(diǎn) A、B 的距離相等，這樣的點(diǎn)一定能找到嗎?請(qǐng)你畫(huà)圖 表示各種可能的情況.
解：不一定能找到，各種可能情況如圖所示.

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2.4 線段、角的軸對(duì)稱(chēng)性

版本： 蘇科版

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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