知識(shí)點(diǎn)01：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
【即學(xué)即練1】（2023春·河北石家莊·高二正定中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若橢圓的離心率為，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 .
【答案】或
【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，易知，
當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，
所以，解得，則，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，
所以，得，滿足題意，
此時(shí)，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
故答案為：或.
知識(shí)點(diǎn)02：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
離心率：橢圓焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比：. （）
當(dāng)越接近1時(shí)，越接近，橢圓越扁；
當(dāng)越接近0時(shí)，越接近0，橢圓越接近圓；
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，圖形為圓，方程為
【即學(xué)即練2】（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓E：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，若E上的點(diǎn)P滿足軸，，則E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，則直線：，由，得，即，

而，，由，得，即，
有，又，因此，
所以E的離心率為.
故選：A
知識(shí)點(diǎn)03：常用結(jié)論
1、與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為：
2、有相同離心率：（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）
3、橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
知識(shí)點(diǎn)04：直線與橢圓的位置關(guān)系
1、直線與橢圓的位置關(guān)系
將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的一元二次方程，其判別式為.
①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn)）；
②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；
③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．
【即學(xué)即練3】（2023春·江西吉安·高二校考期中）直線與橢圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．無法確定
【答案】C
【詳解】聯(lián)立，
則
所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
所以直線與橢圓相交
故選：C.
2、直線與橢圓的相交弦
直線與橢圓問題（韋達(dá)定理的運(yùn)用）
（1）弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點(diǎn)，則：
弦長(zhǎng)

弦長(zhǎng)
這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：
；
（2）結(jié)論1：已知弦是橢圓（）的一條弦，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的斜率為
運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率，設(shè)，；、都在橢圓上，
兩式相減得：，
即 ，故
結(jié)論2：弦的斜率與弦中心和橢圓中心的連線的斜率之積為定值：
（3）.已知橢圓方程，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，，焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，
．求：的面積（用、、表示）．
設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限．
由余弦定理知： · ①
由橢圓定義知： ②，則得
故
【即學(xué)即練4】（2023·全國·高三對(duì)口高考）通過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)等于（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】B
【詳解】由題設(shè)，不妨設(shè)過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線，
代入橢圓方程得，可得，故被橢圓截得的弦長(zhǎng)等于.
故選：B
題型01根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)
【典例1】（2023春·上海楊浦·高二?？计谥校E圓與橢圓的（ ）
A．長(zhǎng)軸相等B．短軸相等C．焦距相等D．長(zhǎng)軸、短軸、焦距均不相等
【答案】C
【詳解】橢圓即，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6，焦距為；
橢圓即，因?yàn)椋?br>則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為,
故兩個(gè)橢圓的焦距相等．
故選：C．
【典例2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知P點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)镻點(diǎn)在橢圓上，則，記，
所以，
又因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸，
且，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值.
故選：B.
【典例3】（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由已知，可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，，，
所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為、短軸長(zhǎng)為、離心率為.
故選：D.
【變式1】（2023春·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，下頂點(diǎn)為，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由橢圓的離心率，可得，所以橢圓的方程為，
設(shè)，則，可得，
又由點(diǎn)，
可得，
因?yàn)?，所以，所?
故選：A.
【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若橢圓的離心率為，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ）
A．6B．或C．D．或
【答案】D
【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，由，解得，符合題意，此時(shí)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；
當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，由，解得，符合題意，此時(shí)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．
故選：D．
【變式3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦距為4，則m的值為 ．
【答案】10或2
【詳解】橢圓的焦距為4，即
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
故m的值為10或2，
故答案為：10或2
題型02根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程
【典例1】（2023秋·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第十九中學(xué)校考期末）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由化簡(jiǎn)可得，
焦點(diǎn)為在軸上，
同時(shí)又過點(diǎn)，設(shè)，
有，解得，
故選：C
【典例2】（2023春·四川瀘州·高二四川省瀘縣第四中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12，則橢圓方程為（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【詳解】由題意知，，，所以，，
∴，
又因?yàn)闄E圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，則焦點(diǎn)可能在或軸上.
∴橢圓方程：或
故選：C
【典例3】（2023秋·廣東江門·高二臺(tái)山市華僑中學(xué)校考期中）已知橢圓焦點(diǎn)在軸，它與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【詳解】橢圓的離心率為，
設(shè)所求橢圓方程為，
則，從而，，
又，∴，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為： .
【變式1】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】解：因?yàn)闄E圓，即，
，，可得，橢圓的焦點(diǎn)為，
設(shè)橢圓方程是，則，解得
所求橢圓的方程為.
故選：A．
【變式2】（2023·陜西西安·長(zhǎng)安一中?？级＃懊扇?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日?qǐng)A的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)闄E圓：的離心率為，則，解得，即橢圓的方程為，
于是橢圓的上頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，經(jīng)過兩點(diǎn)的橢圓切線方程分別為，，
則兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然這兩條切線互相垂直，因此點(diǎn)在橢圓的蒙日?qǐng)A上，
圓心為橢圓的中心O，橢圓的蒙日?qǐng)A半徑，
所以橢圓的蒙日?qǐng)A方程為.
故選：B
【變式3】（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且與橢圓：的離心率相同，則橢圓的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】（答案不唯一）
【詳解】橢圓：的離心率為.
則焦點(diǎn)在軸上離心率為的橢圓可取：.
故答案為：
題型03求橢圓的離心率的值
【典例1】（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)?？计谀┯图垈闶侵袊鴤鹘y(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史.為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某活動(dòng)中將一把油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示.該傘的傘面是一個(gè)半徑為的圓形平面，圓心到傘柄底端距離為2，當(dāng)光線與地面夾角為時(shí)，傘面在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，該橢圓的離心率（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】依題意，過傘面上端邊沿的光線、過這個(gè)邊沿點(diǎn)傘面的直徑及橢圓的長(zhǎng)軸圍成底角為的等腰三角形，
腰長(zhǎng)為傘面圓的直徑，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為底邊長(zhǎng)，則，即，
而橢圓的短軸長(zhǎng)，即，
所以橢圓的離心率
故選：D
【典例2】（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn).若直線的斜率之積為，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由題意，橢圓的左頂點(diǎn)為，
因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，可設(shè)，則，
所以，可得，
又因?yàn)椋矗?br>代入可得，所以離心率為.
故選：D.

【典例3】（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，直線與橢圓另交于點(diǎn)，且，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，所以四邊形為平行四邊形．
設(shè)，則．
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以，所以?br>在中，，
由余弦定理得，
所以，所以．
故選：B.

【典例4】（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上的兩點(diǎn)，分別在第一，第二象限內(nèi)，若與的面積相等，且，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【詳解】由題意得，
故，
又，將代入可得，即，
又，故，離心率.

故答案為：
【變式1】（2023春·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，且，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，
由橢圓的對(duì)稱性可得，
所以四邊形為平行四邊形，
又，所以四邊形為矩形，所以，
由，得，
又，所以，
在中，由，
得，即，所以，
即的離心率為.
故選：A.

【變式2】（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】在中，，
設(shè)，由題意知,，
由余弦定理得,，
由橢圓定義知，則離心率.
故選:C.
【變式3】（2023春·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)在第二象限，在第一象限，
聯(lián)立，可解得，
，，又，
，，
又，，
，
，
，
，
，又，
該橢圓的離心率．
故選：C．
【變式4】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是橢圓：的右焦點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，，則該橢圓的離心率為 .
【答案】
【詳解】由題知，，且，即，
∴，∴，∴，∴.
故答案為：

題型04求橢圓的離心率的最值或范圍
【典例1】（2023春·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）若橢圓上存在點(diǎn)，使得到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為，則稱該橢圓為“倍徑橢圓”.則“倍徑橢圓”的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題可設(shè)點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之分別，
所以，得到，
又，所以，得到，故.
故選：C.
【典例2】（2023春·上海青浦·高二統(tǒng)考期末）點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)（不與重合），若（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：設(shè)，
又，且，
則，與橢圓方程聯(lián)立，
即，解得或，
則，即，
即，則，
故選：B
【典例3】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知橢圓上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】由題意，
在中，設(shè)左焦點(diǎn)為，，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴.
∵，
∴，
由橢圓的定義得，
∴.
∵
∴，
∴，
∴.
故答案為：.
【典例4】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率e的取值范圍為 ．
【答案】
【詳解】當(dāng)傾斜角時(shí)，直線的斜率不存在，如圖則，又橢圓左焦點(diǎn)

若，則，即，
所以，即
所以橢圓的離心率；
當(dāng)傾斜角為，直線的斜率存在設(shè)為，則，
設(shè)，則，所以①，

若，則②，
聯(lián)立①②，結(jié)合可得，
由，，所以，且，
所以，則，故，
所以，即，故
綜上，橢圓的離心率e的取值范圍為.
故答案為：.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知c是橢圓）的半焦距，則取最大值時(shí)橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】，
因?yàn)椤啵?br>設(shè)，則
∴當(dāng)，即時(shí)，取最大值，此時(shí)離心率.
故選：C
【變式2】（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)?，則，
所以，即，
，
又因?yàn)辄c(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)，
所以，兩式相減可得：，即，
所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，即，即，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋瑸闄E圓上的兩點(diǎn)，所以，
所以，解得：，即.
故選：C.
【變式3】（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)是橢圓：的右焦點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，其中，則的離心率的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】過點(diǎn)且與直線垂直的直線為，
兩直線的交點(diǎn)，從而點(diǎn).
點(diǎn)在橢圓上，
則，即
則.
由于，則，，
故答案為：
【變式4】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知為圓上一點(diǎn)，橢圓焦距為6，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍為 ．
【答案】
【詳解】圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為：，
依題意可得圓與橢圓有交點(diǎn)，
又橢圓的右焦點(diǎn)是圓的圓心，
所以，且，又，所以，.
故答案為：.
題型05根據(jù)橢圓離心率求參數(shù)
【典例1】（2023秋·高二單元測(cè)試）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
【典例2】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為1的直線l過左焦點(diǎn)，交C于A，B兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓C的離心率的取值范圍為，則線段AB的長(zhǎng)度的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則，解得，
，
又
,
，，
，，則，
即線段的長(zhǎng)度的取值范圍是，
故選：C
【典例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是 ，斜率為的直線過左焦點(diǎn)且交于兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)是，若橢圓的離心率為，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍是
【答案】
【詳解】如圖示，由橢圓定義可得 ,
則的周長(zhǎng)為4a,設(shè)，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)是，
故 ，
由題意得 ，

得，由于，故，
所以由可得，
故答案為：
【變式1】（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學(xué)校校考期末）已知橢圓的離心率，則的值可能是（ ）
A．3B．7C．3或D．7或
【答案】C
【詳解】橢圓的離心率，
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，，即，，解得，
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，，即，，解得，
所以的值可能是3或.
故選：C
【變式2】（2023春·上海松江·高三上海市松江二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】記橢圓，雙曲線的半焦距分別為，
由題意知橢圓的，雙曲線的，則橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，
設(shè)，則，
，設(shè)，則，解得，即，
又，且，故的取值范圍是.
故答案為：
【變式3】（2023·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考一模）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、在橢圓C上，滿足，，若橢圓C的離心率，則實(shí)數(shù)λ取值范圍為 .
【答案】
【詳解】根據(jù)題意知，由得，
不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
由知，且，
從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)為.
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓C方程得，
整理得，即，
所以.
又因?yàn)?，所以，即?shí)數(shù)λ取值范圍為.
故答案為：.
題型06直線與橢圓的位置關(guān)系
【典例1】（2023·全國·高三對(duì)口高考）若直線與橢圓有且只有一公共點(diǎn)，那么的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€為橢圓，則，
將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，，可得，
則，解得.
故選：C.
【典例2】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不確定
【答案】A
【詳解】對(duì)于直線，整理得，
令，解得，
故直線過定點(diǎn).
∵，則點(diǎn)在橢圓C的內(nèi)部，
所以直線l與橢圓C相交.
故選：A.
【變式1】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知以為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】設(shè)橢圓方程為，
直線代入橢圓方程，消得：，
，整理，得
又，由焦點(diǎn)在軸上，
所以，聯(lián)立解得：，,故橢圓方程為，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；
故選：C
【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】直線過定點(diǎn)，
所以，解得①.
由于方程表示橢圓，所以且②.
由①②得的取值范圍是.
故選：C
題型07直線與橢圓相切
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知過圓錐曲線上一點(diǎn)的切線方程為.過橢圓上的點(diǎn)作橢圓的切線，則過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】過橢圓上的點(diǎn)的切線的方程為，即，切線的斜率為.與直線垂直的直線的斜率為，過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.
故選：B
【典例2】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，則橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)M到直線AB距離的最大值為 ．
【答案】
【詳解】由橢圓，可得，
故直線AB的方程為，與AB平行且與橢圓相切的直線可設(shè)為，
代入橢圓方程整理，得，
則，解得，
當(dāng)時(shí)，與之間的距離為；
當(dāng)時(shí)，與間的距離為，
故橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)M到直線AB距離的最大值為，
故答案為：
【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）橢圓上的點(diǎn)P到直線x+ 2y- 9= 0的最短距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】設(shè)與已知直線平行，與橢圓相切的直線為 ，則
所以
所以橢圓上點(diǎn)P到直線的最短距離為
故選：A
【變式2】（2023·廣西·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為 ．
【答案】
【詳解】解：設(shè)直線與橢圓相切
聯(lián)解消去，得
，解得或
與直線平行且與橢圓相切的直線方程為
其中與直線距離較遠(yuǎn)的是，且距離為，
到直線的最大距離為，
故答案為：．
題型08弦長(zhǎng)
【典例1】（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知橢圓，過左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【詳解】在橢圓中，，，則，故點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)、，由題意可知，直線的方程為，即，
聯(lián)立可得，，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，.
故答案為：.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，設(shè)直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為，求k的值．
【答案】
【詳解】設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，
聯(lián)立消去整理得，
解得，
所以弦長(zhǎng)，
整理得即解得，.
【典例3】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，并且經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)線段AB的長(zhǎng)度最大時(shí)，求直線l的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解法一：因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在x軸上．所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
由題意知，，
解得．
所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
解法二：由于橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
根據(jù)橢圓定義得，
即．
又因?yàn)?，所以?br>所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由，消去y，得，
因?yàn)橹本€與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，
所以，
解得．
設(shè)，，
則，，
所以
當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)直線l的方程為
【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，過左焦點(diǎn)的斜率為1的直線與橢圓分別交于A，B兩點(diǎn)，求．
【答案】
【詳解】因?yàn)闄E圓方程為，則左焦點(diǎn)，
因?yàn)橹本€過橢圓左焦點(diǎn)且斜率為1，所以直線方程為，即，
設(shè)，
聯(lián)立直線與橢圓方程可得，化簡(jiǎn)可得，
且，
由韋達(dá)定理可得，
由弦長(zhǎng)公式可得
.
【變式2】（2023秋·青海西寧·高二期末）已知點(diǎn)，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程：
(2)設(shè)過橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩、，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：由離心率，則，右焦點(diǎn)，
直線的斜率，解得，，
所以，
橢圓的方程為；
（2）解：由（1）可知橢圓的左焦點(diǎn)，則直線的方程為，
由，解得或，不妨令、，
所以.
【變式3】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，的焦點(diǎn)到的漸近線的距離為.直線與相交于A，B兩點(diǎn)，.
(1)求證：
(2)若直線l與相交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題意得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線漸近線方程為，
所以，解得，所以的方程為，
由，消y得，
所以得，
設(shè)，，則，
所以
，
化簡(jiǎn)得，得證；
（2）由消x，得，
所以，即，
結(jié)合，及，可得，
設(shè)，，則，
所以，
所以，
設(shè)，由，得，所以，
所以，
所以.

題型09中點(diǎn)弦和點(diǎn)差法
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C： ，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P恰為弦AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】設(shè)，，則，，
且，，
作差得，所以，
即直線l的斜率是．
故選：C．
【典例2】（2023·全國·高三對(duì)口高考）直線截橢圓所得弦的中點(diǎn)M與橢圓中心連線的斜率為 ．
【答案】/
【詳解】設(shè)線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
可得，
因?yàn)樵跈E圓上，則，兩式相減得，
整理得，即
所以.
故答案為：.
【典例3】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知過點(diǎn)的直線，與橢圓 相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB以點(diǎn)M為中點(diǎn)，則直線AB的方程是 .
【答案】
【詳解】設(shè)，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，，，
且，，兩式相減，化簡(jiǎn)可得，
所以，即直線的斜率為，
根據(jù)點(diǎn)斜式，得到直線的方程為，即.
故答案為：
【典例4】（2023·全國·高三對(duì)口高考）中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓的方程為 ．
【答案】
【詳解】由題意，
在橢圓中，一個(gè)焦點(diǎn)為，
設(shè)橢圓的方程為,
∴，
設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為,弦中點(diǎn)為
∵直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴，，
∴ 即
∴.
∴，解得：
∴橢圓的方程為：，
故答案為：.
故答案為：.

【變式1】（2023春·湖北荊州·高二沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若橢圓的弦AB被點(diǎn)平分，則AB所在直線的方程為（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，則
所以，整理得，
因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，
所以，
所以，
所以弦所在直線的方程為，即.
故選：A.
【變式2】（2023·四川巴中·南江中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則橢圓C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，，則，，兩式作差并化簡(jiǎn)整理得
，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，，
所以，由，得，又因?yàn)?，解得，?br>所以橢圓C的方程為．
故選：A．
【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，已知直線的斜率為1，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是 ．
【答案】
【詳解】設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，連接（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
由題意知，則，
∴點(diǎn)的軌跡方程為．
又點(diǎn)在橢圓內(nèi)，
∴，
解得：，
故答案為：.
【變式4】（2023春·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習(xí)）直線不與軸重合，經(jīng)過點(diǎn)，橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.若，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【詳解】設(shè)，，，則，
兩式相減得，即，
所以，因?yàn)槭谴怪逼椒志€，有，
所以，即，化簡(jiǎn)得，
∵，∴.
故答案為：
題型10橢圓中三角形面積問題
【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng)和面積．
【答案】的周長(zhǎng)為，面積為．
【詳解】如下圖所示：

由橢圓方程可知，
根據(jù)橢圓定義可知，
所以的周長(zhǎng)為，
即的周長(zhǎng)為；
易知，
又直線的傾斜角為，則，
所以直線的方程為，設(shè)
聯(lián)立整理可得，
由韋達(dá)定理可知；
由圖可知的面積為；
所以的周長(zhǎng)為，面積為
【典例2】（2023春·北京·高二北京師大附中?？计谥校┮阎獧E圓的離心率為，其左焦點(diǎn)為.直線交橢圓于不同的兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)求的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由已知有 解得
所以橢圓的方程為.
（2）由 消去，整理得.
設(shè)，則
直線的方程為，到直線的距離.
所以的面積為
【典例3】（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)若過點(diǎn)的直線交軌跡于、兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，記與的面積之和為，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意可知，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
則，所以，
因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程是.
（2）如圖：

不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，連接，
因?yàn)榉謩e為有中點(diǎn)，所以，
所以，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，則，，
此時(shí)；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，
設(shè)，，顯然直線不與軸重合，即，
聯(lián)立，得，
則，，
所以，
又點(diǎn)到直線的距離，
所以，令，
則，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以.
綜上，，即的最大值為.
【變式1】（2023春·湖南衡陽·高二校聯(lián)考期末）已知是橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求面積的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）依題意，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，得直線過點(diǎn)，于是，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）依題意，直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，
由消去整理得，則，
的面積
，令，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，即，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故面積的取值范圍為．
【變式2】（2023春·江西九江·高二江西省湖口中學(xué)校考期中）已知橢圓的離心率為，且橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，
(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓左焦點(diǎn)為，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由已知有，解得，則橢圓的方程為.
（2） 消去，整理得，解得，，
如圖

則，，則，
直線的方程為，到直線的距離.
所以的面積為.
【變式3】（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知圓，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過作交于，記點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過的直線交曲線于點(diǎn)、，若的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．
【答案】(1)
(2)或或
【詳解】（1）解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
由題意可得，且為線段的垂直平分線，所以，，
因?yàn)椋?br>所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，，則，
因此，曲線的軌跡方程為.
（2）解：若直線與軸重合，則、、三點(diǎn)共線，不合乎題意.
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，
則，
設(shè)點(diǎn)、，則，，
則，
所以，，
解得或，
故直線的方程為或或.
題型11橢圓的定點(diǎn)、定值、定直線問題
【典例1】（2023春·廣東韶關(guān)·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，求證：直線過定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）由題知，，，，
由的面積為，得，
又，代入可得，，∴橢圓的方程為.
（2）聯(lián)立得，
設(shè)，，可得，，
由題知，
即，
即，解得，
∴直線的方程為，故直線恒過定點(diǎn).
【典例2】（2023春·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.
【答案】(1)
(2)見解析
【詳解】（1）由題意可知：，又，解得，
所以橢圓方程為
（2）證明：由題意可知直線有斜率，由于與點(diǎn)的連線的斜率為，且的橫縱坐標(biāo)恰好與相反，因此直線有斜率滿足且，
直線的方程為：，
聯(lián)立直線與橢圓方程：，
設(shè)，
則，
，
將代入可得故直線AP與AQ的斜率之和為1，即為定值，得證.
【典例3】（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，記AP的斜率為，BQ的斜率為.求證：
①為定值；
②點(diǎn)M在定直線上.
【答案】(1)
(2)①證明見解析，；②證明見解析，點(diǎn)M在定直線上．
【詳解】（1）依題可得，解得：，所以，
即橢圓的方程為．
（2）①設(shè)，，因?yàn)橹本€過點(diǎn)且斜率不為0，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，，其判別式，所以，.
兩式相除得，即．
因?yàn)榉謩e為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，．
從而．
②由①知，設(shè)，則，所以直線的方程為：，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在定直線上.
【變式1】（2023·四川成都·?？家荒＃┮阎謩e為橢圓的左，右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，，且點(diǎn)在橢圓上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且與以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，證明：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）由，可得，解得，
又因?yàn)?，所以?br>因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）證明：當(dāng)與軸重合時(shí)，，所以
當(dāng)不與軸重合時(shí)，設(shè)，直線的方程為，
由整理得，
則，
故
圓心到直線的距離為，則，
所以，即為定值．
【變式2】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，周長(zhǎng)為8的的頂點(diǎn)，為橢圓E的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B，C在E上，且邊BC過E的右焦點(diǎn).
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為M，N,點(diǎn)若直線PM,PN與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)S，T，證明：直線ST過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【詳解】（1）由題意知，橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，
所以設(shè)橢圓方程為，焦距為，
所以周長(zhǎng)為，即，
因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)，所以，，
所以，
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）由題意知，，直線斜率均存在，
所以直線，與橢圓方程聯(lián)立得，
對(duì)恒成立，
則，即，則，
同理，，
所以，
所以直線方程為：，
所以直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為
【變式3】（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知曲線．
(1)若曲線C是橢圓，求m的取值范圍．
(2)設(shè)，曲線C與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N．設(shè)直線AN與直線BM相交于點(diǎn)G．試問點(diǎn)G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．
【答案】(1)
(2)在定直線上，理由見詳解.
【詳解】（1）因?yàn)榍€C是橢圓，所以，解得；.
（2）是在定直線上，理由如下：
當(dāng)時(shí)，此時(shí)橢圓，設(shè)點(diǎn)與直線l聯(lián)立得，
，且，
所以
易知，則，
兩式作商得是定值，
故G在定直線上.

題型12橢圓中的向量問題
【典例1】（2023春·河南周口·高二校考開學(xué)考試）已知橢圓的右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的比值為2．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，若，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，，，，
，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）依題意，知，設(shè)，．
聯(lián)立消去，可得．
，即，，
，．
，．
，
，
整理，得，
解得或（舍去）．
直線的方程為．
【典例2】（2023春·江蘇南京·高二?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3，離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)．已知點(diǎn)，求的值．
【答案】(1);
(2).
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3，所以．
又橢圓的離心率是，所以，解得，，從而．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）因?yàn)橹本€的斜率為，且過右焦點(diǎn)，所以直線的方程為．
聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，
消去，得，其中．
設(shè)，，則，．
因?yàn)?，所?br>．
因此的值是．
【變式1】（2023·全國·高三對(duì)口高考）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別是橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為該橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．6B．5C．4D．2
【答案】A
【詳解】設(shè)，，
則，
則，
因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上，所以有：，即，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，的最大值為6.
故選：A.
【變式2】（2023春·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，若過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn)，求出直線的所有方程.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>所以橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，
所以
解得
所以橢圓的方程為.
（2）若直線與軸垂直，則直線與橢圓的交點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，
以為直徑的圓顯然過點(diǎn)，此時(shí)直線的方程是；
若直線與軸不垂直，設(shè)直線的方程是，
與橢圓的方程聯(lián)立，消去并整理，得.
設(shè)，，則，
，，
.
因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)，
所以，即，，
所以，，
，解得.
顯然滿足，
所以直線與軸不垂直時(shí)，直線的方程是，即.
綜上所述，當(dāng)以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的方程是或.
題型13新定義問題
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）開普勒第一定律也稱橢圓定律?軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.將某行星看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，繞太陽的運(yùn)動(dòng)軌跡近似成曲線，行星在運(yùn)動(dòng)過程中距離太陽最近的距離稱為近日點(diǎn)距離，距離太陽最遠(yuǎn)的距離稱為遠(yuǎn)日點(diǎn)距離.若行星的近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是18（距離單位：億千米），近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是16，則（ ）
A．39B．52C．86D．97
【答案】D
【詳解】根據(jù)橢圓方程，得長(zhǎng)半軸，半焦距，
近日點(diǎn)距離為，遠(yuǎn)日點(diǎn)距離為，
近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是，
近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是，
解得，則.
故選：D.
2．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）韶州大橋是一座獨(dú)塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點(diǎn)，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實(shí)現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點(diǎn)，米，橋塔最高點(diǎn)距橋面米，則此橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】如圖按橢圓對(duì)稱軸所在直線建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)橢圓方程為，
令，即，解得，依題意可得，
所以，所以，所以．
故選：D．
3．（多選）（2023·全國·高二專題練習(xí)）青花瓷又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤，盤子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似看成由大小兩個(gè)橢圓圍成.經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比相等.現(xiàn)不慎掉落一根質(zhì)地均勻的長(zhǎng)筷子在盤面上，恰巧與小橢圓相切，設(shè)切點(diǎn)為，盤子的中心為，筷子與大橢圓的兩交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為.給出下列四個(gè)命題其中正確的是（ ）
A．兩橢圓的焦距長(zhǎng)相等B．兩橢圓的離心率相等
C．D．與小橢圓相切
【答案】BC
【詳解】設(shè)大、小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比均為，
設(shè)點(diǎn)、、，
以橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸、短軸所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)小橢圓的方程為，
則大橢圓的方程為，
對(duì)于A，大橢圓的焦距長(zhǎng)為，兩橢圓的焦距不相等，A錯(cuò)；
對(duì)于B，大橢圓的離心率為，則兩橢圓的離心率相等，B對(duì)；
對(duì)于C，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，則點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，合乎題意，當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立可得，
，可得，
此時(shí)，，
聯(lián)立，
可得，
由韋達(dá)定理可得，
即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，，C對(duì)；
對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，將代入可得，不妨取點(diǎn)、，則，若，則直線的方程為，此時(shí)直線與橢圓不相切，D錯(cuò).
故選：BC
4．（多選）（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市明德中學(xué)校考期中）加斯帕爾?蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家,他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn):橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,其圓心是橢圓的中心,這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖2）．已知長(zhǎng)方形R的四邊均與橢圓相切,則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓C的離心率為B．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為
C．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為D．長(zhǎng)方形R的面積最大值為18
【答案】ACD
【詳解】解:由題知橢圓方程為:,
所以,
故選項(xiàng)A正確;
因?yàn)殚L(zhǎng)方形R的四邊均與橢圓相切,
所以點(diǎn),即在蒙日?qǐng)A上,
故半徑為,
可得橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為;
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤,選項(xiàng)C正確;
設(shè)長(zhǎng)方形R的邊長(zhǎng)為m,n,
則有,
所以長(zhǎng)方形R的面積等于,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,
故選項(xiàng)D正確.
故選:ACD
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】由于，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，故焦點(diǎn)為，
故選：D
2．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由題意得，，所以，．
故選：D．
3．（2023春·上海長(zhǎng)寧·高二上海市第三女子中學(xué)校考期中）橢圓和（ ）
A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B．短軸長(zhǎng)相等C．焦距相等D．頂點(diǎn)相同
【答案】C
【詳解】對(duì)于橢圓，
，，，∴，，，
∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距，
對(duì)于橢圓，
，，，∴，，，
∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距，
∴橢圓和的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)均不相等，故頂點(diǎn)不相同，焦距相等.
故選：C.
4．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于橢圓C：，有下面四個(gè)命題：
甲：長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4；
乙：短軸長(zhǎng)為2；
丙：離心率為；
丁：．
如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【詳解】假設(shè)甲乙正確，則，，所以，所以，，
可得到甲、乙、丙三個(gè)命題中，已知某兩個(gè)正確，均可推出第三個(gè)正確，
故丁是假命題.
故選：D
5．（2023春·河南·高三階段練習(xí)）已知分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且的離心率為為橢圓上的一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．6B．9C．12D．15
【答案】C
【詳解】因?yàn)榈碾x心率為，且，所以，解得，則，所以的周長(zhǎng)為.
故選：C

6．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）橢圓中，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓的短軸上的頂點(diǎn)，若，此橢圓稱為“黃金橢圓”，“黃金橢圓”的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)為橢圓的半焦距，由題意可得，
由對(duì)稱性可設(shè),
則,
因?yàn)?，所?
所以,即,解得或（舍）.
故選:B.
7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過橢圓的中心作直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，則面積的最大值為（ ）
A．6B．12C．24D．48
【答案】B
【詳解】如圖：

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于過橢圓中心，
所以，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是，
所以，因此，
當(dāng)最大時(shí)，的面積最大，
而當(dāng)，為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，
所以，的面積最大為.
故選：B.
8．（2023春·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，圓：，點(diǎn)P和點(diǎn)B分別為橢圓C和圓A上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值3時(shí)，的面積為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【詳解】由題知，所以.
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以.當(dāng)P，B兩點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，等號(hào)成立.
所以，所以，.
所以直線的方程為，即，與方程聯(lián)立，
可得，解得（負(fù)值已舍去，其中為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)）.
所以的面積為.
故選：A.
二、多選題
9．（2023春·湖南常德·高二常德市一中?？计谥校╆P(guān)于橢圓有以下結(jié)論，其中正確的有（ ）
A．離心率為B．長(zhǎng)軸長(zhǎng)是
C．焦距2D．焦點(diǎn)坐標(biāo)為
【答案】ACD
【詳解】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為
所以該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故焦距為2，故C、D正確；
因?yàn)樗蚤L(zhǎng)軸長(zhǎng)是，故B錯(cuò)誤，
因?yàn)?，所以，離心率，故A正確.
故選：ACD
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，若方程所表示的直線恒過定點(diǎn)M，點(diǎn)Q在以點(diǎn)M為圓心，C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為直徑的圓上，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓C的離心率為B．的最大值為4
C．的面積可能為2D．的最小值為
【答案】ABD
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由橢圓C的方程知，，，所以離心率，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，由橢圓的定義可得，所以，即的最大值為4，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，易知，則圓，所以，故選項(xiàng)D正確，
故選：ABD．
三、填空題
11．（2023·全國·高三對(duì)口高考）橢圓上的點(diǎn)到直線:的距離的最小值為 ．
【答案】
【詳解】在橢圓上任取一點(diǎn)，設(shè)，
那么點(diǎn)到直線的距離為：
，其中 .
故答案為：.
12．（2023春·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？奸_學(xué)考試）過橢圓：的右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為
【答案】/
【詳解】解：由橢圓：，可得右焦點(diǎn).
設(shè)此直線與橢圓相交于點(diǎn)，
直線方程為：.
聯(lián)立，
可得，
，.
.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，如果是直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】答案見解析
【詳解】根據(jù)題意可知，，
不妨設(shè)，設(shè)；
①若為直角，即與軸垂直，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與，即；
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
②若為直角，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與，即；
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為或
③若為直角，則，即
可得，聯(lián)立橢圓方程可得，
解得，所以
即點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線和橢圓，為何值時(shí)，直線被橢圓所截的弦長(zhǎng)為．
【答案】
【詳解】設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，
聯(lián)立，可得，
，解得，
，，
弦長(zhǎng)，解得，
故時(shí)，直線被橢圓所截的弦長(zhǎng)為．
15．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭大附中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且右焦點(diǎn)為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，可得．
所以．
又，所以，解得．
所以．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)，，
由，得．
則，．
因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以．
解得，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．
所以直線l的方程為．
B能力提升
1．（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，記為的內(nèi)心．直線交軸于點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，如圖所示，

因?yàn)闉榈膬?nèi)心，所以為的角平分線，
所以，因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則，由橢圓的定義可知，，
可得，所以，，
又因?yàn)椋?br>所以，在中，由余弦定理可得，
，
所以，則，
故選：B.
2．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓方程為，為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，以為中點(diǎn)的弦與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】如圖，

設(shè)，由題意可得，
則由以為中點(diǎn)的弦與橢圓交于點(diǎn)可得，
兩式相減可得，
即，
所以直線方程為，
令，可得，
由知，，
所以直線的方程為，
令，可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)，故.
故選：B
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，橢圓的離心率為，為蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為 .（用含的代數(shù)式表示）
【答案】
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>所以，蒙日?qǐng)A的方程為，
由已知條件可得，則為圓的一條直徑，
由勾股定理可得，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，面積的最大值為.
故答案為：.
4．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在生活中，我們經(jīng)?？吹綑E圓，比如放在太陽底下的籃球， 在地面上的影子就可能是一個(gè)橢圓. 已知影子橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的最小值是 ．
【答案】
【詳解】解：∵橢圓的離心率為，
∴，∴，
∴橢圓的方程為，
不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，
∵，
∴，
∴為正三角形，
∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，
∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，
直線的方程：，
代入橢圓方程，整理得：，
，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，
∴
則，
當(dāng)且僅當(dāng)
故答案為：.
5．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在E及直線上．若，則E的離心率的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則
解得即．
由橢圓定義及對(duì)稱性可得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)P，F(xiàn)，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立．
所以E的離心率．
在中，由余弦定理可得，
又，
所以，
即，
解得，
設(shè)橢圓E的上頂點(diǎn)為Q，
則，
所以，解得，
所以E的離心率的取值范圍是．
故答案為：.
C綜合素養(yǎng)
1．（2023春·湖南·高二統(tǒng)考期末）已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，過點(diǎn)的直線與（1）中點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)（與不重合）.證明：直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）
依題意，，圓的半徑為4.
于是，且，故點(diǎn)的軌跡為橢圓.
.
所以點(diǎn)的軌跡方程為：.
（2）依題意直線的斜率不為0，
設(shè)直線的方程為：
代入橢圓方程得：.
所以①，②
又直線的方程為：，
直線的方程為：
聯(lián)立上述兩直線方程得：，
即，
將①②代入上式得：,
即，解得.
所以直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值4.
2．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比等于，記的軌跡為．點(diǎn)在上，三點(diǎn)共線，為線段的中點(diǎn)．
(1)證明：直線與直線的斜率之積為定值；
(2)直線與相交于點(diǎn)，試問以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)定點(diǎn)，理由見解析
【詳解】（1）設(shè)，則有，
整理得；
設(shè),，，則，，
由 ，兩式相減：，
整理得，，，
即直線與直線的斜率之積為定值．
（2）顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立方程組，消去得：，
所以， ， ，
， 直線， 從而點(diǎn)，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，若以為直徑的圓過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)在軸上，可設(shè)為，
以為直徑的圓過定點(diǎn)，則，
又，，
從而，
整理得，
故 ，解方程組可得，
即以為直徑的圓過定點(diǎn)．
3．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在xOy平面上，設(shè)橢圓，梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在上，且.設(shè)直線AB的方程為

(1)若AB為的長(zhǎng)軸，梯形ABCD的高為，且C在AB上的射影為的焦點(diǎn)，求m的值；
(2)設(shè)，直線CD經(jīng)過點(diǎn)，求的取值范圍；
【答案】(1)2；
(2)；
【詳解】（1）因?yàn)樘菪螢榈拈L(zhǎng)軸，的高為，，
所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入橢圓方程得，
可得，又因?yàn)樵谏系纳溆盀榈慕裹c(diǎn)，
∴，解得，
∵，∴.
（2）由題意，橢圓，直線CD的方程為，
設(shè)，，則，化簡(jiǎn)得，
，得，
∴，，
∴
，
∵，所以，
所以的取值范圍為.
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解橢圓中a，b，c，e的幾何意義。
②會(huì)根據(jù)橢圓的方程解決橢圓的幾何性質(zhì)，會(huì)用橢圓的幾何意義解決相關(guān)問題。
③會(huì)判斷點(diǎn)與橢圓、直線與橢圓的位置關(guān)系，會(huì)求直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)。
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握橢圓的幾何量a，b，c，e的意義，會(huì)利用幾何量之間的關(guān)系，求相關(guān)幾何量的大小，會(huì)利用橢圓的幾何性質(zhì)解決與橢圓有關(guān)的點(diǎn)、弦、周長(zhǎng)、面積等問題。
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在軸上
焦點(diǎn)在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
（）
（）
范圍
，
，
頂點(diǎn)
，，
，
軸長(zhǎng)
短軸長(zhǎng)＝，長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝
焦點(diǎn)
焦距
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：軸、軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)
離心率
，

相關(guān)試卷

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)3.1 橢圓優(yōu)秀同步練習(xí)題：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)3.1 橢圓優(yōu)秀同步練習(xí)題，文件包含第01講311橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程原卷版docx、第01講311橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共73頁， 歡迎下載使用。

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.5 直線與圓、圓與圓的位置優(yōu)秀課堂檢測(cè)：

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.5 直線與圓、圓與圓的位置優(yōu)秀課堂檢測(cè)，文件包含第10講252圓與圓的位置關(guān)系9類熱點(diǎn)題型講練原卷版docx、第10講252圓與圓的位置關(guān)系9類熱點(diǎn)題型講練解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共53頁， 歡迎下載使用。

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.4 圓的方程精品課時(shí)作業(yè)：

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.4 圓的方程精品課時(shí)作業(yè)，文件包含第07講241圓的標(biāo)準(zhǔn)方程6類熱點(diǎn)題型講練原卷版docx、第07講241圓的標(biāo)準(zhǔn)方程6類熱點(diǎn)題型講練解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共31頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.2 直線的方程精品當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)題

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.2 直線的方程精品當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)題
高中人教A版 (2019)2.1 直線的傾斜角與斜率精品精練

高中人教A版 (2019)2.1 直線的傾斜角與斜率精品精練
高中數(shù)學(xué)2.1 直線的傾斜角與斜率優(yōu)秀課后復(fù)習(xí)題

高中數(shù)學(xué)2.1 直線的傾斜角與斜率優(yōu)秀課后復(fù)習(xí)題
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)1.1 空間向量及其運(yùn)算優(yōu)秀課后練習(xí)題

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)1.1 空間向量及其運(yùn)算優(yōu)秀課后練習(xí)題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

3.1 橢圓

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部