角也是一種基本的幾何圖形，凡是由直線組成的圖形都出現(xiàn)角. 角既可以看成有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，也可以看成是一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.
按角的大小可以分成銳角、直角和鈍角. 由于直角和平角在角中顯得特別重要，所以處于不同位置，但兩角的和是一個(gè)直角或是一個(gè)平角的角仍然得到我們的特別關(guān)注. 兩角之和為直角的，這兩個(gè)角叫做互為余角；而兩角之和為平角的，這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，余角和補(bǔ)角的概念及其應(yīng)用在幾何計(jì)算和證明中都有十分重要的地位.
解與角有關(guān)的問題常用到以下知識(shí)與方法：
1. 角的分類；
2. 角平分線的概念；
3. 互余、互補(bǔ)等數(shù)量關(guān)系角；
4. 用方程的觀點(diǎn)來進(jìn)行角的計(jì)算.
例題與求解
【例1】如圖，在3×3的網(wǎng)格上標(biāo)出了∠1和∠2，則 .
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
解題思路：對(duì)圖形進(jìn)行恰當(dāng)?shù)奶幚?，通過拼補(bǔ)求出的值.
【例2】如果與互補(bǔ)，且，則下列表示的余角的式子中：①；②；③；④. 其中正確的有（ ）
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
（2013年浙江省衢江市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）
解題思路：彼此互余的角只要滿足一定的數(shù)量關(guān)系即可，而與位置無關(guān).

【例3】已知，OC是不在直線OA，OB上的任一條射線. OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC. 求∠MON的大小.（題目中考慮的角都小于平角）
（湖北省武漢市武昌區(qū)調(diào)考試題）
解題思路：因OC位置不確定，故分類討論是解本例的關(guān)鍵.
【例4】鐘表在12點(diǎn)鐘時(shí)三針重合，經(jīng)過x分鐘秒針第一次將分鐘和時(shí)針?biāo)鶌A的銳角平分，求x的值.
（湖北省黃岡市競(jìng)賽試題）
解題思路：把秒針第一次將分鐘和時(shí)針?biāo)鶌A的銳角平分所得的兩個(gè)角用x的代數(shù)式表示，通過解方程求出x的值.
【例5】（1）現(xiàn)有一個(gè)19°的“模板”（如圖），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種辦法，只用這個(gè)“模板”和鉛筆在紙上畫出1°的角來.
（2）現(xiàn)有一個(gè)17°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個(gè)1°的角來？
（3）用一個(gè)21°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個(gè)1°的角來？
對(duì)（2）（3）兩問，如果能，請(qǐng)你簡(jiǎn)述畫法步驟；如果不能，請(qǐng)你說明理由.
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
解題思路：若只連續(xù)使用模板，則得到的是一個(gè)19°（或17°或21°）的整數(shù)倍的角，其實(shí)，解題的關(guān)鍵是在于能否找到19°（或17°或21°）的一個(gè)倍數(shù)與某個(gè)特殊角的某個(gè)倍數(shù)相差1°.

【例6】如圖所示，O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC.
（1）如圖①，若，求∠DOE的度數(shù)；
（2）在圖①中，若，直接寫出∠DOE的度數(shù) （用含α的代數(shù)式表示）；
（3）將圖①中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置.
① 探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；
② 在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足，試確定∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由
圖 ① 圖 ②
（湖北省武漢市模擬試題）
解題思路：（1）利用互余、互補(bǔ)關(guān)系易求出∠DOE的度數(shù)；
（2）先根據(jù)∠DOE與∠COE的互余關(guān)系列出相應(yīng)的關(guān)系式，然后用∠BOC表示出∠COE，再根據(jù)互補(bǔ)角的關(guān)系用α表示出所求角的度數(shù)；
（3）①可設(shè)∠BOC為一個(gè)未知數(shù)，分別表示出∠AOC與∠DOE，可得相應(yīng)關(guān)系；②結(jié)合①把所給等式整理為只含所求角的關(guān)系式即可.
能力訓(xùn)練
A 級(jí)
1. 已知一個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角余角的6倍，那么這個(gè)角等于 .
（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）
2. 如圖，，，那么不大于90°的角有 個(gè)，它們的度數(shù)之和是 .
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
3. 如圖，，若，則等于 .
4. 如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，，，OE平分∠BOD，則圖中彼此互補(bǔ)的角有 對(duì).
（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）
5. 一個(gè)角的補(bǔ)角的是6°，則這個(gè)角是（ ）
A. 68° B. 78° C. 88° D. 98°
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
6. 用一副三角板可以畫出大于0°且小于176°的不同角度有（ ）種
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
7. 如圖，若，∠1是銳角，則∠1的余角是（ ）
A. B. C. D.
（甘肅省蘭州市競(jìng)賽試題）
8. 如圖，，OD是∠COB的平分線，OE是∠AOC的平分線，設(shè)，則與α的余角相等的角是（ ）
A.∠COD B.∠COE C.∠DOA D.∠COA
9. 如圖，已知，OD平分∠AOB，且，求∠AOB的度數(shù).
（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）
10. 如圖，已知∠AOB與∠BOC互為補(bǔ)角，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC內(nèi)，，. 求∠EOC的度數(shù).
11. 已知，OC平分∠AOB，，OE平分∠COD. 求∠AOE的大小.
12. 如圖，已知OB，OC，OD為∠AOE內(nèi)三條射線.
（1）圖中共有多少個(gè)角？
（2）若OB，OC，OD為∠AOE四等分線，且圖中所有銳角的和為400°，求∠AOE的度數(shù).
（3）若，，求圖中所有銳角的和.
B 級(jí)
1. 已知一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角余角的3倍大10°，則這個(gè)角的度數(shù)是 .
（浙江省杭州市競(jìng)賽試題）
2. α，β，γ中有兩個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計(jì)算的值時(shí)，有三位同學(xué)分別算出了23°，24°，25°這三個(gè)不同的結(jié)果. 其中只有一個(gè)是正確的答案，則 .
（江蘇省競(jìng)賽試題）
3. 如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一側(cè)的射線，那么在這個(gè)圖形中，不大于平角的角共有 個(gè).
（五城市聯(lián)賽試題）
4. 如圖，射線OC，OD，OE，OF分別平分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC，若，則 .
（2013年“希望杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）
5. 4點(diǎn)鐘后，從時(shí)針到分針第二次成90°角，共經(jīng)過（ ）分鐘（答案四舍五入到整數(shù)）
A. 60 B. 30 C. 40 D. 33
（“五羊杯”競(jìng)賽試題）
6. 如圖是一個(gè)3×3的正方形，則圖中的和等于（ ）
A. 270° B. 315° C. 360° D. 405°
（廣西省競(jìng)賽試題）
7. 已知，OM，ON，OP分別是∠AOB，∠BOC，∠AOC的平分線，則下列各式中成立的是（ ）
A. B. C. D.以上情況都有可能
8. 如圖，∠AOC是直角，，且OB，OD分別是∠AOC，∠BOE的平分線，則∠AOE等于（ ）
A. 111.5° B. 138° C. 134.5° D. 178°
（五城市聯(lián)賽試題）
9. 如圖，在直線AB上取一點(diǎn)O，在AB同側(cè)引射線OC，OD，OE，OF，使∠COE和∠BOE互余，射線OF和OD分別平分∠COE和∠BOE. 求證：.
10. 如圖，∠A1OA11是一個(gè)平角，
. 求的度數(shù).
（山東省競(jìng)賽試題）
11. 在一個(gè)圓形時(shí)鐘的表面，OA表示秒針，OB表示分針（O為兩針的選擇中心）. 若現(xiàn)在時(shí)間恰好是12點(diǎn)整，問經(jīng)過多少秒后，△OAB的面積第一次達(dá)到最大？
（“CASIO杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

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