目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1680" 【典型例題】 PAGEREF _Tc1680 \h 1
\l "_Tc29099" 【類型一 線段和與差問題】 PAGEREF _Tc29099 \h 1
\l "_Tc3927" 【類型二 線段上動點定值問題】 PAGEREF _Tc3927 \h 6
\l "_Tc11785" 【類型三 線段上動點求時間問題】 PAGEREF _Tc11785 \h 11
\l "_Tc27837" 【類型四 幾何圖形中動角定值問題】 PAGEREF _Tc27837 \h 18
\l "_Tc6775" 【類型五 幾何圖形中動角數(shù)量關系問題】 PAGEREF _Tc6775 \h 23
\l "_Tc25912" 【類型六 幾何圖形中動角求運動時間問題】 PAGEREF _Tc25912 \h 30
【典型例題】
【類型一 線段和與差問題】
例題：（2023秋·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點C在線段上，點D，E分別在線段、上．

(1)若C是中點，，求；
(2)若C是上任意一點，且， ，求．
【變式訓練】
1．（2023春·重慶九龍坡·七年級重慶實驗外國語學校?？奸_學考試）已知A，B，C，D四點在同一直線上，點D在線段上．
(1)如圖，若線段，點C是線段的中點，，求線段的長度；
(2)若線段，點C是直線上一點，且滿足，，求線段的長度（用含a的式子表示）．
2．（2023秋·福建龍巖·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知點A、B在直線l上，且線段．
(1)如圖2，當點C在線段上，且，點M是線段的中點，求線段的長；
(2)若點C在直線AB上，且．
①線段________；
②若點M是線段的中點，點N是線段的中點，則線段________，線段________．
3．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）小明在學習了比較線段的長短時對下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣：
如圖1，點在線段上，，分別是，的中點．若，，求的長．
(1)根據(jù)題意，小明求得______．
(2)小明在求解（1）的過程中，發(fā)現(xiàn)的長度具有一個特殊性質，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．
設，是線段上任意一點（不與點，重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．
①如圖1，，分別是，的中點，則______．
②如圖2，，分別是，的三等分點，即，，求的長．
③若，分別是，的等分點，即，，則______．
【類型二 線段上動點定值問題】
例題：（2023秋·河南南陽·七年級南陽市實驗中學?？计谀┤鐖D，已知線段，，是線段的中點，是線段的中點．
(1)若，求線段的長度．
(2)當線段在線段上從左向右或從右向左運動時，試判斷線段的長度是否發(fā)生變化，如果不變，請求出線段的長度；如果變化，請說明理由．
【變式訓練】
1．（2023春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）如圖，點C在線段上，點M、N分別是的中點．

(1)若，求線段的長；
(2)若C為線段上任一點，滿足，其他條件不變，你能猜想的長度嗎？請直接寫出你的答案．
(3)若C在線段的延長線上，且滿足，M 、N分別為的中點，你能猜想MN的長度嗎？請在備用圖中畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由．
2．（2023秋·河北承德·七年級統(tǒng)考期末）應用題：如圖，已知線段，點為線段上的一個動點，點、分別是和的中點．
(1)若，求的長；
(2)若為的中點，則與的數(shù)量關系是______；
(3)試著說明，不論點在線段上如何運動，只要不與點和重合，那么的長不變．
3．（2023秋·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期末）探究題：如圖①，已知線段，點為上的一個動點，點、分別是和的中點．
(1)若點恰好是中點，則____________；
(2)若，求的長；
(3)試利用“字母代替數(shù)”的方法，設“”，請說明不論取何值（不超過），的長不變．
【類型三 線段上動點求時間問題】
例題：（2023秋·云南臨滄·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C是線段上一點，，，點P從A出發(fā)，以的速度沿向右運動，終點為B；點Q同時從點B出發(fā)，以的速度沿向左運動，終點為A，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為s

(1)當P、Q兩點重合時，求t的值；
(2)是否存在某一時刻，使得C、P、Q這三個點中，有一個點恰好是另外兩點所連線段的中點?若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．
【變式訓練】
1．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級?？计谀┤鐖D，已知點、點是直線上的兩點，厘米，點在線段上，且厘米．點、點是直線上的兩個動點，點的速度為1厘米/秒，點的速度為2厘米/秒．點、分別從點、點同時出發(fā)在直線上運動，則經(jīng)過 秒時線段的長為6厘米．
2．（2023秋·河南安陽·七年級統(tǒng)考期末）A，B兩點在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點A對應的有理數(shù)為，點B對應的有理數(shù)為8．動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，設運動時間為t秒（）．
(1)當時，的長為______，點P表示的有理數(shù)為______；
(2)若點P為的中點，則點P對應的有理數(shù)為______；
(3)當時，求t的值．
3．（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考開學考試）如圖，點在線段上，，，動點從點出發(fā)，沿線段以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動；同時，動點從點出發(fā)，沿線段以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動．當點到達終點時，點也隨之停止運動．
設點的運動時間為秒．
(1)線段的長為______．
(2)當點與點相遇時，求的值．
(3)當點與點之間的距離為個單位長度時，求的值．
(4)當時，直接寫出的值．
4．（2023秋·河北唐山·七年級?？计谀┤鐖D，是線段上一動點，沿以的速度往返運動次，是線段的中點，，設點的運動時間為秒（）．
(1)當時，
① ；
②求線段的長度；
(2)用含的代數(shù)式表示運動過程中的長；
(3)當時，求的值；
(4)在運動過程中，若的中點為，則的長是否變化？若不變，求出的長；若發(fā)生變化，請說明理由．
【類型四 幾何圖形中動角定值問題】
例題：（2023秋·湖南懷化·七年級統(tǒng)考期末）已知如圖是的平分線，是的平分線，，
(1)求的度數(shù).
(2)當射線在的內部線繞點轉動時，射線、的位置是否發(fā)生變化？說明理由.
(3)在（2）的條件下，的大小是否發(fā)生變化？如果不變，求其度數(shù)；如果變化，說出其變化范圍.
【變式訓練】
1．（2022秋·陜西延安·七年級校考期末）已知，，平分，平分.
（1）如圖，當、重合時，求的值；
（2）若從上圖所示位置繞點以每秒的速度順時針旋轉秒（），在旋轉過程中的值是否會因的變化而變化，若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由.
2．（2023春·湖北十堰·七年級?？奸_學考試）如圖，過點O在內部作射線．，分別平分和，與互補，．
(1)如圖1，若，則______°，______°，______°；
(2)如圖2，若平分．試探索：是否為定值，若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

3．（2023秋·江西撫州·七年級統(tǒng)考期末）將一副三角板中含有60°角的三角板的頂點和另一塊含有45°角的三角板的頂點重合于一點，繞著點轉動含有60°角的三角板，拼成如圖的情況，請回答問題：
(1)如圖1，當點在射線上時，直接寫出的度數(shù)是____________度；
(2)①如圖2，當為的角平分線時，求出此時的度數(shù)；
②如圖3，當為的角平分線時，求出此時的度數(shù)；
(3)若只在內部旋轉，作平分線交于點，再作的平分線交于點，在轉動過程中的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個值；若變化，請說明理由．
【類型五 幾何圖形中動角數(shù)量關系問題】
例題：（2023秋·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）已知為直線上一點，射線、、位于直線上方，在的左側，，．

(1)如圖1，當平分時，求的度數(shù)；
(2)點在射線上，若射線繞點逆時針旋轉（且），．當在內部（圖2）和的兩邊在射線的兩側（圖3）時，和的數(shù)量關系是否改變，若改變，說明理由，若不變，求出其關系．
【變式訓練】
1．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┤鐖D，點O在直線上，在直線上方，且，射線在內部，．
(1)如圖1，若是的平分線，求的度數(shù)；
(2)如圖2，探究發(fā)現(xiàn)：當?shù)拇笮“l(fā)生變化時，與的數(shù)量關系保持不變．請你用等式表示出與的數(shù)量關系，并說明理由．
2．（2023秋·湖北武漢·七年級?？计谀┤鐖D，，，射線平分，射線平分（本題中的角均為大于且小于的角）．
(1)如圖，當，重合時，求的度數(shù)；
(2)當從圖中所示位置繞點O順時針旋轉n度時，的值是否為定值？若是定值，求出的值，若不是，請說明理由．
(3)當從圖中所示位置繞點O順時針旋轉n度時，與具有怎樣的數(shù)量關系？
3．（2023秋·湖北武漢·七年級校考期末）如圖，，，射線平分，射線平分（本題中的角均為大于且小于的角）．
(1)如圖，當，重合時，求的度數(shù)；
(2)當從圖中所示位置繞點O順時針旋轉n度時，的值是否為定值？若是定值，求出的值，若不是，請說明理由．
(3)當從圖中所示位置繞點O順時針旋轉n度時，與具有怎樣的數(shù)量關系？
【類型六 幾何圖形中動角求運動時間問題】
例題：（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，，，三點在一條直線上，且，，射線，分別平分和．如圖2，將射線以每秒的速度繞點逆時針旋轉一周，同時將以每秒的速度繞點逆時針旋轉，當射線與射線重合時，停止運動．設射線的運動時間為秒．

(1)運動開始前，如圖1，______，______；
(2)旋轉過程中，當為何值時，射線平分?
(3)旋轉過程中，是否存在某一時刻使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【變式訓練】
1．（2023秋·甘肅蘭州·七年級?？计谀┤鐖D，O為直線上一點，過點O作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點放在點O處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．

(1)將圖1中的三角板繞點O以每秒的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖2，經(jīng)過t秒后，恰好平分．求t的值；并判斷此時是否平分？說明理由；
(2)在（1）的基礎上，若三角板在轉動的同時，射線也繞O點以每秒的速度沿逆時針方向旋轉一周，那么經(jīng)過多長時間平分？請說明理由．
2．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知，是內部的一條射線，且．

(1)如圖1所示，若，平分，平分，求的度數(shù)；
(2)如圖2所示，是直角，從點O出發(fā)在內引射線，滿足，若平分，求的度數(shù)；
(3)如圖3所示，，射線，射線分別從出發(fā)，并分別以每秒和每秒的速度繞著點O逆時針旋轉，和分別只在和內部旋轉，運動時間為t秒．
①直接寫出和的數(shù)量關系；
②若，當，求t的值．
3．（2023秋·廣東惠州·七年級?？茧A段練習）解答下列問題．

(1)【探索新知】
如圖1，射線在的內部，圖中共有個角：，和，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．
①一個角的平分線 這個角的“巧分線”．（填“是”或“不是”）
②如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則 ．（用含的代數(shù)式表示出所有可能的結果）
(2)【深入研究】
如圖2，若，且射線繞點從位置開始，以每秒的速度逆時針旋轉，當與與成時停止旋轉，旋轉的時間為秒．
①當為何值時，射線是的“巧分線”．
②若射線同時繞點以每秒的速度逆時針旋轉，并與同時停止．請直接寫出當射線是的“巧分線”時的值．

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