構(gòu)成平面圖形的基本元素是點(diǎn)和線，在幾何圖形中，點(diǎn)無大小，線無寬窄，它們都是抽象思維的產(chǎn)物，點(diǎn)與線有著密切的聯(lián)系，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)成線，線與線相交的地方形成點(diǎn)，一條線確定了兩個(gè)端點(diǎn)，線的長(zhǎng)短也就確定了，從這個(gè)意義上講，點(diǎn)是線的界限．
在線中，最簡(jiǎn)單、最常見的就是直線、射線、線段，它們是最基本的圖形，它們的概念、性質(zhì)及畫圖是今后研究由線段所組成的比較復(fù)雜圖形（如三角形、四邊形等）的基礎(chǔ)，解與直線、射線、線段相關(guān)問題常涉及如下知識(shí)與方法：
1．直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系．
2．線段中點(diǎn)的概念．
3．枚舉法、分類討論法．
例題與求解
【例1】已知一條直線上有A，B，C三點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P，AB＝10，線段BC的中點(diǎn)為Q，BC＝6，則線段PQ的長(zhǎng)為＿＿＿＿．
（江蘇省競(jìng)賽試題）
解題思路：未給出圖形，注意C點(diǎn)位置有多種可能．
【例2】在一條直線上已知四個(gè)不同的點(diǎn)依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距離之和最小的點(diǎn)（ ）
A．可以是直線AD外的某一點(diǎn)B．只有點(diǎn)B或點(diǎn)C
C．只是線段AD的中點(diǎn)D．有無窮多個(gè)
（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）
解題思路：直線上的四個(gè)點(diǎn)把直線分成五部分，就每一種情況畫圖表示出到A，B，C，D的距離，從直觀的圖形中作出判斷．
【例3】如圖，C是線段上的一點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，已知圖中所有線段的長(zhǎng)度之和為23，線段AC的長(zhǎng)度與線段BC的長(zhǎng)度都是正整數(shù)，求線段AC的長(zhǎng)．
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
解題思路：解題的關(guān)鍵是將每一條線段用AC或BC來表示，依題意可列一個(gè)關(guān)于AC，BC的方程，討論此不定方程的正整數(shù)解．
【例4】如圖所示，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AE的中點(diǎn)．
（1）若線段AB＝，CE＝，＝0，求，．
（2）如圖①，在（1）的條件下，求線段DE的長(zhǎng)．
（3）如圖②，若AB＝15，AD＝2BE，求線段CE的長(zhǎng)．
圖①
圖②
（湖北省武漢市調(diào)考試題）
解題思路：將幾何問題代數(shù)化，對(duì)于（3），引入未知數(shù)，列方程求解．
【例5】（1）一條直線可以把平面分成兩個(gè)部分（或區(qū)域），如圖，兩條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？三條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫圖說明．
（2）四條直線最多可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關(guān)系．
（3）平面上有條直線，每?jī)蓷l直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)，處于這種位置的條直線分一個(gè)平面所成的區(qū)域最多，記為，試研究與之間的關(guān)系．
（山東省聊城市中考試題）
解題思路：從簡(jiǎn)單情形入手，由簡(jiǎn)到繁，歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
【例6】已知線段AB＝，CD＝，線段CD在直線上運(yùn)動(dòng)（A在B左側(cè)，C在D左側(cè)），若與互為相反數(shù)．
（1）求線段AB，CD的長(zhǎng)．
（2）M，N分別是線段AC，BD的中點(diǎn)，若BC＝4，求MN．
（3）當(dāng)CD運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí)，D點(diǎn)與B點(diǎn)重合，P是線段延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：
①是定值；②是定值．可以證明，有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你作出正確的選擇并畫圖求值．
（浙江省寧波市中考試題改編）
解題思路：（1）與的平方互為相反數(shù)，可以推出二者都為零，否則一個(gè)正數(shù)是不可能等于一個(gè)負(fù)數(shù)的，所以＝6，＝12．
（2）需要分類討論：如圖①，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，根據(jù)“M，N分別為線段AC，BD的中點(diǎn)”，先計(jì)算出AM，DN的長(zhǎng)度，然后計(jì)算MN＝ADAMDN；如圖②，當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，利用線段間的和差關(guān)系求得MN的長(zhǎng)度．
（3）能計(jì)算出①或②的值是一個(gè)常數(shù)的，即為符合題意的結(jié)論．
能力訓(xùn)練
A級(jí)
1．已知點(diǎn)O在直線AB上，且線段OA的長(zhǎng)度為4cm，線段OB的長(zhǎng)度為6cm，E，F(xiàn)分別為線段ｏA，OB的中點(diǎn)，則線段EF的長(zhǎng)度為＿＿＿＿．
（黑龍江省中考試題）
2．如圖，線段AB＝BC＝CD＝DE＝1厘米，那么圖中所有線段的長(zhǎng)度之和等于＿＿＿厘米．
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
3．如圖，B，C，D依次是上的三點(diǎn)，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，則圖中以A，B，C，D，E這5個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長(zhǎng)度的和為＿＿＿＿cm．
（《中學(xué)生數(shù)理化》讀刊用刊知識(shí)競(jìng)賽試題）
4．平面內(nèi)兩兩相交的8條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為＿＿＿＿，最多為＿＿＿＿．
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
5．直線，，，，共點(diǎn)O，直線與上述五條直線分別交于A，B，C，D，E五點(diǎn)，則上述圖形中共有線段（ ）條．
A．4B．5C．10D．15
6．如圖，點(diǎn)A，B，C順次在直線上，M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BC的中點(diǎn)．若想求出MN的長(zhǎng)度，則只需條件（ ）
A．AB＝12B．BC＝4C．AM＝5D．CN＝2
（海南省競(jìng)賽試題）
7．如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一直線上，M是線段AB的中點(diǎn)，N是線段DC的中點(diǎn)，MN＝，BC＝則AD＝（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，AC＝AB，BD＝AB，且AE＝CD，則CE為AB長(zhǎng)的（ ）
A．B．C．D．
9．已知線段AB＝6．
（1）取線段AB的三等分點(diǎn)，這些點(diǎn)連同線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)可以組成多少條線段？求這些線段長(zhǎng)度的和．
（2）再在線段AB上取兩種點(diǎn)：第一種是線段AB的四等分點(diǎn)；第二種是線段AB的六等分點(diǎn)，這些點(diǎn)連同（1）中的三等分點(diǎn)和線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)可以組成多少條線段？求這些線段長(zhǎng)度的和．
（湖北省武漢市武昌區(qū)期末調(diào)考試題）
10．已知AB＝60cm，點(diǎn)C是直線AB上不同于A，B的點(diǎn)，M為AC中點(diǎn)，N是BC中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)度．
11．如圖，已知點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．
（1）求點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的數(shù)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，C出發(fā)，分別以每秒6個(gè)單位和3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)．M為AP的中點(diǎn)，N在CQ上，且CN＝CQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間（＞0）．
①求點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的數(shù)（用含的式子表示）．
②為何值時(shí)，OM＝2BN？
B級(jí)
1．把線段AB延長(zhǎng)至D，使BD＝AB，再延長(zhǎng)BA至C，使CA＝AB，則BC是CD的＿＿＿＿倍．
2．如圖，AB︰BC︰CD＝2︰3︰4，AB的中點(diǎn)M與CD的中點(diǎn)N的距離是3厘米，則BC＝＿＿＿＿厘米．
3．如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段CB上的一點(diǎn)，若所有線段的長(zhǎng)度都是正整數(shù)，且線段AB的所有可能的長(zhǎng)度數(shù)的乘積等于140，則線段AB的所有可能的長(zhǎng)度數(shù)的和等于＿＿＿＿．
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
4．如圖，已知B，C是線段AD上的兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，若MN＝，BC＝，則線段AD＝＿＿＿＿．
5．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)，，都不為0，且C是AB的中點(diǎn)．如果＝0，那么原點(diǎn)O的位置在（ ）
A．線段AC上B．線段CA的延長(zhǎng)線上
C．線段BC上D．線段CB的延長(zhǎng)線上
（江蘇省競(jìng)賽試題）
6．如圖，已知B是線段AC上的一點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，N為線段AC的中點(diǎn)，P為NA的中點(diǎn)，Q為MA的中點(diǎn)，則MN︰PQ等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．平面上有四個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過其中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)畫一條直線，那么一共可以畫直線（ ）
A．6條B．1條或3條或6條
C．1條或4條D．1條或4條或6條
8．如圖，在一條筆直的公路上有7個(gè)村莊，其中A，B，C，D，E，F(xiàn)離城市的距離分別為4，10，15，17，19，20公里，而村莊G正好是AF的中點(diǎn)，現(xiàn)要在某個(gè)村莊建一個(gè)活動(dòng)中心，使各村到活動(dòng)中心的路程之和最短，則活動(dòng)中心應(yīng)建在（ ）
A．A處B．C處C．G處D．E處
城市
（江蘇省競(jìng)賽試題）
9．電子跳蚤游戲盤為△ABC，AB＝，AC＝，BC＝，如果電子跳蚤開始時(shí)在BC邊上P0點(diǎn)，BP0＝，第一步跳蚤跳到AC邊上P1點(diǎn)，且CP1＝CP0；第二步跳蚤從P1跳到邊上P2點(diǎn)，且AP2＝AP1；第三步跳蚤從P2跳到BC邊上P3點(diǎn)，且BP3＝BP2…跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第2001次落到P2001，請(qǐng)計(jì)算P0與P2001之間的距離．
（“華杯賽”邀請(qǐng)賽試題）
10．設(shè)有甲、乙、丙三人，他們步行的速度相同，騎車的速度也相同，騎車的速度為步行速度的3倍．現(xiàn)甲自A地去B地，乙、丙則從B地去A地，雙方同時(shí)出發(fā)，出發(fā)時(shí)，甲、乙為步行，丙騎車．途中，當(dāng)甲、丙相遇時(shí)，丙將車給甲騎，自己改為步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進(jìn)；當(dāng)甲、乙相遇時(shí)，甲將車給乙騎，自己又步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進(jìn)．問：三人之中誰最先到達(dá)自己的目的地？誰最后到達(dá)自己的目的地？
（“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題）
11．已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為2和4，P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為．
（1）若P為線段AB的三等分點(diǎn)，求P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．
（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使P點(diǎn)到A點(diǎn)，B點(diǎn)距離和為10？若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P（點(diǎn)P在原點(diǎn)）同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為1，2，1個(gè)（長(zhǎng)度單位/分），則第幾分鐘時(shí)，P為AB的中點(diǎn)？
12．—條直線順次排列著1990個(gè)點(diǎn)：P1，P2，…，P1990，已知點(diǎn)是線段的等分點(diǎn)當(dāng)中最靠近巧的那個(gè)點(diǎn)（2≤≤1989），如P5是線段P4P6的5等分點(diǎn)當(dāng)中最靠近P6的那個(gè)分點(diǎn)．如果線段P1P2的長(zhǎng)度是1，線段P1989P1990的長(zhǎng)度為．
求證：＝．
（浙江省競(jìng)賽試題）

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