例2 D
例3 (1)左視圖有以下5種情形：
(2)n＝8，9，10，11．
例4正方體個(gè)數(shù)至少為4個(gè)．正方體露在外面的面積和的最大值為9． 提示:最下面正方體1個(gè)面的面積是1，側(cè)面露出的面積和是4，每相鄰兩個(gè)正方體中上面的1個(gè)正方體每個(gè)面的面積都正好是其下面正方體1個(gè)面面積的 EQ \F(1,2)，所有正方體側(cè)面面積之和加上所有正方體的上面露出的面積和(正好是最下面正方體上底面的面積1)即是這些正方體露在外面的面積和．如：2個(gè)正方體露出的面積和是4＋ EQ \F(4,2)＋1＝7，3個(gè)正方體露出的面積和是4＋ EQ \F(4,2)＋ EQ \F(4,4)＋1＝8，4個(gè)正方體露出的面積和是4＋ EQ \F(4,2)＋ EQ \F(4,4)＋ EQ \F(4,8)＋1＝8 EQ \F(1,2)，5個(gè)正方體露出的面積和是4＋ EQ \F(4,2)＋ EQ \F(4,4)＋ EQ \F(4,8)＋ EQ \F(4,16)＋1＝8 EQ \F(3,4)，6個(gè)正方體露出的面積和是4＋ EQ \F(4,2)＋ EQ \F(4,4)＋ EQ \F(4,8)＋ EQ \F(4,16)＋ EQ \F(4,32)＋1＝8 EQ \F(7,8)，…… 故隨著小正方體木塊的增加，其外露的面積之和都不會(huì)超過9．
例5為方便起見，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為6個(gè)單位，首先不能切出棱長(zhǎng)為5的立方體，否則不可能分割成49個(gè)小正方體．
設(shè)切出棱長(zhǎng)為1的正方體有a個(gè)，棱長(zhǎng)為2的正方體有b個(gè)，如果能切出1個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體，則有 EQ \B\lc\{(\a\al(a＋8b＋64＝216,a＋b＝49－1))，解之得b＝14 EQ \F(6,7)．不合題意，所以切不出棱長(zhǎng)為4的正方體．
設(shè)切出棱長(zhǎng)為1的正方體有a個(gè)，棱長(zhǎng)為2的正方體有b個(gè)，棱長(zhǎng)為3的正方體有c個(gè)，
則 EQ \B\lc\{(\a\al(a＋8b＋27c＝216,a＋b＋c＝49))，解得a＝36，b＝9，c＝4，
故可分割棱長(zhǎng)分別為1，2，3的正方體各有36個(gè)，9個(gè)，4個(gè)，分法如圖所示．
例6(1)6 6 V＋F－E＝2 (2)20 (3)這個(gè)多面體的面數(shù)為x＋y，棱數(shù)為 EQ \F(24×3,2)＝36條．根據(jù)V＋F－E＝2，可得24＋(x＋y)－36＝2，∴x＋y＝24．
模型應(yīng)用
設(shè)足球表面的正五邊形有x個(gè)，正六邊形有y個(gè)，總面數(shù)F為x＋y個(gè)．因?yàn)橐粭l棱連著兩個(gè)面，所以球表面的棱數(shù)E為 EQ \F(1,2)(5x＋6y)，又因?yàn)橐粋€(gè)頂點(diǎn)上有三條棱，一條棱上有兩個(gè)頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)數(shù)V＝ EQ \F(1,2)(5x＋6y)· EQ \F(2,3)＝ EQ \F(1,3)(5x＋6y)．
由歐拉公式V＋F－E＝2得(x＋y)＋ EQ \F(1,3)(5x＋6y)－ EQ \F(1,2)×(5x＋6y)＝2,解得x＝12．
所以正五邊形只要12個(gè)．
又根據(jù)每個(gè)正五邊形周圍連著5個(gè)正六邊形，每個(gè)正六邊形又連著3個(gè)正五邊形，所以六邊形個(gè)數(shù) EQ \F(5x,3)＝20，即需20個(gè)正六邊形．
A級(jí)
1．6 2．5 3．8 4．4(2n－1) 5．C 6．B 7．C 8．B 9(1)5 22 (2)略
10．(1)
(2)11塊．
B級(jí)
1．上空格填 EQ \F(1,2)，下空格填2 2．38 3．2π 4．B
5．D提示:設(shè)大立方體的棱長(zhǎng)為n，n>3，若n＝6，即使6個(gè)面都油漆過，未油漆的單位立方體也有43＝64個(gè)>45，故n＝4或5．除掉已漆的單位立方體后，剩下未漆的構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)其長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，abc＝45，只能是3×3×5＝45，故n＝5．
6．C提示:若分割出棱長(zhǎng)為3的正方體，則棱長(zhǎng)為3的正方體只能有1個(gè)，余下的均是棱長(zhǎng)為1的正方體，共37個(gè)不滿足要求．設(shè)棱長(zhǎng)為2的正方體有x個(gè)，棱長(zhǎng)為1的正方體有y個(gè)，則 EQ \B\lc\{(\a\al(x＋y＝29,8x＋y＝64))，得 EQ \B\lc\{(\a\al(x＝5,y＝24))．
7．有不同的搬法．為保證“影子不變”，可依如下原則操作：在每一行和每一列中，除保留一摞最高的不動(dòng)以外，該行(列)的其余各摞都搬成只剩最下面的一個(gè)小正方體．如圖所示，20個(gè)方格中的數(shù)字，表示5行6列共20摞中在搬完以后最終留下的正方體個(gè)數(shù)．照這樣，各行可搬個(gè)數(shù)累計(jì)為27，即最多可搬走27個(gè)小正方體．
8．要使平面展開圖的周長(zhǎng)最小，剪開的七條棱長(zhǎng)就要盡量小，因此要先剪開四條髙(因?yàn)閏最小)，再剪開一條長(zhǎng)a厘米的棱(否則，不能展開成平面圖)，最后再剪開兩條寬b厘米的棱(如圖中所表示的①?⑦這七條棱)．由此可得圖甲，這時(shí)最小周長(zhǎng)是c×8＋b×4＋a×2＝2a＋4b＋8c厘米．
圖甲 圖乙
要使平面展開圖的周長(zhǎng)最大，剪開的七條棱長(zhǎng)就要盡量大，因此要先剪開四條最長(zhǎng)的棱(長(zhǎng)a)，再剪開兩條次長(zhǎng)的棱(寬b)，最后剪開一條最短的棱(高c)，即得圖乙，這時(shí)最大周長(zhǎng)是a×8＋b×4＋c×2＝8a＋4b＋2c厘米．
9．如圖，由題意知AB＝12，CD＝13，AC＝12，BD＝13，過點(diǎn)D作DE垂直于AB于點(diǎn)E，則DE＝12，于是Rt△BDE中BE＝5．
延長(zhǎng)AC，BD交于F，則由CD:AB＝5:10＝1:2知CF=12，AF=24
于是一個(gè)杯子的容積等于兩個(gè)圓錐的體積之差，即
而大容器內(nèi)果汁的體積是所以果汁可以倒?jié)M杯。
剩下的部分：從上往下，第一層有個(gè)；第二層有個(gè)；第三層有個(gè)；第四層、第五層有0個(gè)，故共有56個(gè)完整的棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體。

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