思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一、任意角的正弦、余弦、正切、余切
考點(diǎn)二、單位圓
考點(diǎn)三、同角三角關(guān)系
考點(diǎn)一、任意角的正弦、余弦、正切、余切
1. 任意角的正弦、余弦、正切、余切
我們將銳角置于平面直角坐標(biāo)系中，銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，那么它的終邊在第一象限. 在角的終邊上任取異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，則點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為
過(guò)P作x軸的垂線垂足為M，則線段OM的長(zhǎng)度為x，線段MP的長(zhǎng)度為y.
銳角的正弦、余弦、正切及余切的定義
，，
，.
這說(shuō)明銳角的正弦、余弦、正切及余切可以用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義. 這樣，就可以對(duì)任意給定的角，定義其相應(yīng)的正弦、余弦、正切及余切.
在任意角的終邊上任取異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為，并令，必有. 這樣，就可以分別定義角的正弦、余弦、正切及余切為
， ， （），（）.
【注意】當(dāng)（），即角的終邊位于軸上，無(wú)意義；而當(dāng)（），即角的終邊位于軸上時(shí)，無(wú)意義.
2. 任意角的正弦、余弦、正切、余切的符號(hào)
【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符號(hào)：一全二正弦，三切四余弦
考點(diǎn)二、單位圓
根據(jù)定義，角的正弦、余弦、正切及余弦值僅與角的大小有關(guān)，而與角的終邊上的點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，因此我們可以用角的終邊上到原點(diǎn)距離為1（）的點(diǎn)來(lái)確定角的正弦、余弦、正切及余切值.
半徑為1個(gè)單位的圓稱為單位圓. 本章中，如無(wú)特別說(shuō)明，單位圓通常指在平面直角坐標(biāo)系中以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓.
設(shè)角的終邊與單位圓的交于唯一的一點(diǎn)，則根據(jù)定義可知，
，. 因此，單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)必可以寫為（）.
考點(diǎn)三、同角三角關(guān)系
設(shè)角的終邊經(jīng)過(guò)異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，并記.
由定義，有，，（），（）.
由，就有 .
當(dāng)時(shí)，有 .
當(dāng)時(shí)，有 .
當(dāng)、都有意義時(shí)，有 .
【注意】（1）“同角”的概念與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)，如：，.
（2）利用“平方關(guān)系”公式，最終需求平方根，會(huì)出現(xiàn)兩解，應(yīng)盡可能少用，若使用時(shí)，要注意討論符號(hào).
題型一：正弦、余弦、正切、余切的求解
【例1】（1）（2021春?寶山區(qū)校級(jí)試題）角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，其終邊上有一點(diǎn)，則 ．
（2）（2021春?徐匯區(qū)校級(jí)試題）若角的始邊落在軸正半軸，終邊落在直線上，則 ．
（3）（2021春?徐匯區(qū)試題）已知角的終邊上的一點(diǎn)，，則 ．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解答】（1）則．
（2）由已知得，終邊落在直線上，
所以，即，
再由 可得．
（3）因?yàn)榻堑慕K邊上一點(diǎn)，，
又時(shí)，．
【變式1】（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)試題）★☆☆☆☆
已知點(diǎn)在角的終邊上，且，則 .
【答案】
【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，且，可得，解得，解得．
【變式2】（2021春?金山區(qū)校級(jí)試題）
已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則 ．
【答案】
【解答】解：角的終邊過(guò)點(diǎn)，，
，，，
，，
．
故答案為：．
【變式3】（2020秋?徐匯區(qū)校級(jí)試題）★☆☆☆☆
若角終邊過(guò)點(diǎn)，且，則等于 ．
【答案】3
【解答】解：角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
則，
又，
解得．
題型二：正弦、余弦、正切、余切的符號(hào)
【例2】（2021春?虹口區(qū)校級(jí)試題）已知點(diǎn)在第四象限，則角是第 象限角．
【答案】二
【解答】解：點(diǎn)在第四象限，
，且，
是第二象限角.
【變式1】已知是第三象限的角，則的符號(hào)是 號(hào)（填正或負(fù)）.
【答案】負(fù)
【解答】解：是第三象限的角，，，
則，，
即則，
故答案為：負(fù)．
【變式2】已知，則角所在的象限為 ．
【答案】三、四
【解答】解：可以轉(zhuǎn)化為和異號(hào)，或者，由①得，為第四象限角，由②得，為第三象限角．故填：三、四
【變式3】函數(shù)的值域是 ．
【答案】，，
【解答】解：由題意可知不在坐標(biāo)軸上，
當(dāng)為第一象限角時(shí)，函數(shù)；
當(dāng)為第二象限角時(shí)，函數(shù)；
當(dāng)為第三象限角時(shí)，函數(shù)；
當(dāng)為第四象限角時(shí)，函數(shù)．
函數(shù)的值域是數(shù)集，，．
故答案為：，，．
題型三：?jiǎn)挝粓A
【例3】求的正弦、余弦和正切值.
【解析】如圖，在中，，
，，進(jìn)而
【變式】、若角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，則sin α的值為
【答案】－eq \f(\r(2),2)；
【解析】利用任意角三角函數(shù)的定義可知，點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))到原點(diǎn)的距離為1，則sin α＝eq \f(－\f(\r(2),2),1)＝－eq \f(\r(2),2)；
【考點(diǎn)】任意角的三角比、單位圓；注意：利用單位圓簡(jiǎn)化計(jì)算；
題型四：同角三角函數(shù)
【例4】已知，且為第二象限的角，求，及.
【解析】為第二象限的角，. 由，得，
從而，.
【變式1】已知，求、及.
【解析】. ，為第二象限或第四象限的角.
，. 又，解方程組，得
，，或，.
于是，當(dāng)為第二象限的角時(shí)，，；
而當(dāng)為第四象限的角時(shí)，，.
【變式2】已知，求下列各式的值：（1）； （2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
（2）
【小結(jié)】（1）齊一次，分子分母同除；（2）齊二次，分子分母同除
一、填空題
1、如果角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(2sin30°，－2cs30°)，則sinα的值等于
【答案】－eq \f(\r(3),2)；
【解析】由題意得P(1，－eq \r(3))，它與原點(diǎn)的距離r＝eq \r(12＋?－\r(3)?2)＝2，所以sinα＝－eq \f(\r(3),2)；
2、設(shè)角α的終邊上有一點(diǎn)P(4，－3)，則2sin α＋cs α的值是
【答案】－eq \f(2,5)；
【解析】由三角函數(shù)的定義可知sin α＝eq \f(－3,\r(42＋（－3）2))＝－eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,\r(42＋（－3）2))＝eq \f(4,5)，
所以2sin α＋cs α＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＋eq \f(4,5)＝－eq \f(2,5)；
3、已知P(－2，y)是角α終邊上一點(diǎn)，且sin α＝－eq \f(\r(5),5)，則cs α＝________
【答案】－eq \f(2\r(5),5)；
【解析】因?yàn)閞＝eq \r(4＋y2)，所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(y,\r(y2＋4))＝－eq \f(\r(5),5)，所以y0)；
第三步，求值：由sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)求值
4、當(dāng)α為第四象限時(shí)，eq \f(|sin α|,sin α)－eq \f(|cs α|,cs α)的值是____________．
【答案】－2；
【解析】因?yàn)棣翞榈谒南笙藿?，所以eq \f(|sin α|,sin α)＝－1，eq \f(|cs α|,cs α)＝1.所以eq \f(|sin α|,sin α)－eq \f(|cs α|,cs α)＝－1－1＝－2；
5、若三角形的兩內(nèi)角α，β滿足sin α·cs β

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